Miara układu wektorów

Macierz Grama. Wyznacznik Grama

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny (oznaczony w tym rozdziale przez $g$ ) jako odwzorowanie dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat normy

$g(v,v)=\Vert v\Vert ^2.$

Niech teraz $v_1,...,v_k$ będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni $V$ . Definiujemy macierz

$\left [ \begin{array} {lcccr} \ g(v_1,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_1,v_k)\\ \ g(v_2,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_2,v_k)\\ \ ..................................\\ \ g(v_k,v_1) \ . \ .\ .\ g(v_k,v_k) \end{array} \right ].$ (1.1)

Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów $v_1,...,v_k$ . Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.

Macierz i wyznacznik Grama

Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności wektorów $v_1,...,v_k$ . Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w ciągu $v_1,...,v_k$ odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu $v_1,...,v_k$ oznaczać będziemy przez ${\rm G} (v_1,...,v_k)$ .

Jeżeli $V$ jest skończenie wymiarowa, to macierz odwzorowania dwuliniowego $g$ przy dowolnej bazie ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru (0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy $g$ przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.

Twierdzenie 1.1

Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów jest liniowo zależny.

Dowód

Oznaczmy przez $U$ przestrzeń rozpiętą na danych wektorach $v_1,...,v_k$ . Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny $g$ (dokładniej mówiąc, zawężenie $g$ do $U\times U$ ).

Jeśli wektory $v_1,..., v_k$ są liniowo zależne, to pewien wektor $v_j$ jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy $j$ -ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Załóżmy teraz, że wektory $v_1,..., v_n$ są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę przestrzeni $U$ . Macierz Grama tego układu, jest macierzą $g$ przy bazie $v_1,...,v_n$ przestrzeni $U$ . A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w

szczególności niezerowy).

Przykład 1.2

Niech dane będą dwa wektory $v$ i $u$ . Mamy macierz Grama

$\left [\begin{array} {lr} \ g(v,v)\ g(v,u)\\ \ g(u, v)\ g(u,u) \end{array} \right ].$

Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.

Niech $e_1,...,e_n$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$ i niech $v_1,...,v_n$ będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni $V$ . Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy $e_1,..., e_n$ do układu $v_1,...,v_n$ . Mianowicie, definiujemy macierz $P=[v_{ij}]$ wzorami

$\displaystyle v_j=\sum _{i=1}^n v_{ij} e_i.$ (1.2)

Macierz $P$ jest macierzą współrzędnych wektorów $v_1,...,v_n$ w bazie $e_1,...e_n$ . Zupełnie tak samo jak wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący

$\left [ \begin{array} {lcccr} \ g(v_1,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_1,v_k)\\ \ ..................................\\ \ g(v_k,v_1) \ . \ .\ .\ g(v_k,v_k) \end{array} \right ] =P^*P,$ (1.3)

gdzie $P$ jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).

Otrzymaliśmy więc

Twierdzenie 1.3

Wyznacznik Grama układu wektorów $v_1,...,v_n$ jest równy $({\rm det} P)^2$ , gdzie $P$ jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów $v_1,...,v_n$ w bazie ortonormalnej $e_1,...,e_n$ .

Niech $V$ będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią wektorową. Niech $U$ będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy wtedy $V=U\oplus U^{\perp}$ . Niech $v\in V$ będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę $v=u+u'$ , gdzie $u\in U$ i $u'\in U^{\perp}$ . Zdefiniujmy liczbę

$d(v,U)= \Vert u'\Vert .$ (2.4)

Niech teraz $V$ będzie dowolną (niekoniecznie skończenie wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i $v_1,...,v_n$ dowolnym ciągiem wektorów.

Zdefiniujemy liczbę ${\rm vol} (v_1,...,v_n)$ , którą nazywać będziemy miarą układu $v_1,...,v_n$ (lub $n$ -wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.

Definicja 2.1

Jeżeli $n=1$ , to miarą wektora $v_1$ jest jego długość $\Vert v_1\Vert$ . Jeżeli określona już jest miara układów $n$ -elementowych, to miarą układu $v_1,...,v_n, v$ jest liczba zdefiniowana wzorem

${\rm vol} (v_1,...,v_n,v) =d(v, {\rm lin}\{v_1,...,v_n\}){\rm vol} (v_1,...,v_n).$

Miara układu wektorów (objętość)

Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.

Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że ${\rm vol} (v_1,...,v_n) =0$ , jeśli wektory $v_1,...,v_n$ są liniowo zależne.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Dla każdego układu wektorów $v_1,..., v_n$ zachodzi równość

${\rm vol} (v_1,...,v_n) = \sqrt{{\rm G} (v_1,...,v_n)}.$ (2.5)

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na $n$ .

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego $n$ .

Niech dany będzie układ wektorów $v_1,...,v_n,v$ . Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.

W $(n+1)$ -wymiarowej przestrzeni $V'={\rm lin} \{v_1,...,v_n, v\}$ weźmy $n$ -wymiarową podprzestrzeń $U={\rm lin} \{ v_1,...,v_n\}$ . Oznaczmy przez $d$ liczbę $d=d(v, U)$ . Niech $v= u+u'$ , gdzie $u\in U$ i $u'\in U^{\perp}$ , zaś $U^{\perp}$ jest dopełnieniem ortogonalnym do $U$ w $V'$ . W szczególności $g(u,u')=0$ . Ponieważ $v_1,...,v_n$ jest bazą $U$ , wektor $u$ możemy zapisać jako

$\displaystyle u= \sum _{i=1}^n x_iv_i.$

Zachodzą następujące równości

$\begin{aligned} d^2=\Vert u'\Vert ^2&= g(u',u')=g(u',u+u')=g(u',v)=g(v-u,v)\\ &= g(v,v)-g(u,v) =\Vert v\Vert ^2 -g\left (\sum _{i=1}^n x_iv_i ,v\right )= \Vert v\Vert ^2- \sum _{i=1}^n x_ig(v_i ,v). \end{aligned}$

A zatem mamy równość

$\displaystyle \sum _{i=1}^n x_ig(v_i ,v) +(-1)(\Vert v\Vert ^2 -d^2)=0.$ (2.6)

Oczywiście $g(u, v_j)= g(v,v_j)$ dla każdego $j=1,...n$ . Stąd

$\displaystyle g\left (\sum _{i=1}^n x_iv_i,v_j\right )= g(v,v_j)$

dla $j=1,...,n$ . Zatem

$\displaystyle \sum _{i=1}^n x_ig(v_i,v_j)+(-1)g(v,v_j)=0.$ (2.7)

Przyjmijmy $x_{n+1}=-1$ . Łącząc (2.6) i (2.7) otrzymujemy układ $n+1$ równości

$\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} \ \sum _{i}^n x_ig(v_i,v_j)+x_{n+1} g(v,v_j)=0,\ \ j=1,...,n\\ \ \sum _{i}^n x_ig(v_i ,v) +x_{n+1}(\Vert v\Vert ^2 -d^2)=0. \end{array} \right .$ (2.8)

Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ $n+1$ równań liniowych z $n+1$ niewiadomymi $x_1,...,x_{n+1}$ . Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie $(x_1,...,x_n, -1)$ . A zatem wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy $0$ . Macierz współczynników tego układu jest następująca

$\left [\begin{array} {lccccr} \ g(v_1,v_1) \ . \ . \ . \ g(v_n, v_1) \ \ \ \ \ \ g(v,v_1)\\ \ ....................................................... \\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ .\ \ g(v_n,v_n)\ \ \ \ \ g(v,v_n ) \\ \ g(v_1, v) \ \ .\ . \ . \ \ \ g(v_n,v)\ \ \ \ \ g(v,v)-d^2 \end{array} \right ]$ (2.9)

Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy

$\left [\begin{array} {lccccr} \ g(v_1,v_1)\ .\ .\ .\ g(v_n,v_1)\ g(v,v_1) \\ \ ...............................................\\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ . \ g(v_n,v_n) \ g( v,v_n) \\ \ g(v_1,v)\ .\ .\ . \ \ g(v_n,v) \ \ \ \ g(v,v) \end{array} \right ],$ (2.10)

$\left [\begin{array} {lccccl} \ g(v_1,v_1)\ .\ .\ .\ g(v_n,v_1)\ \ \ \ 0 \\ \ ...............................................\\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ . \ g(v_n,v_n) \ \ \ \ 0\\ \ g(v_1,v)\ .\ .\ . \ \ g(v_n,v) \ \ \ \ \ \ d^2 \end{array} \right ],$ (2.11)

Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy ${\rm G} ( v_1,...,v_n,v)$ , zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy $d^2 {\rm G} (v_1,...,v_n)$ . Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący

Wniosek 2.3

Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.

Ponadto udowodniliśmy następujący wzór

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych wektorów $v_1,...v_n,v$ zachodzi wzór

${\rm G} (v_1,...,v_n,v)=d^2 G(v_1,...,v_n),$ (2.12)

gdzie liczba $d=d(v,U)$ zdefiniowana jest formułą (2.4) i $U={\rm lin} \{v_1,...,v_n\}$ .

Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.

Niech $f$ będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej $V$ . Załóżmy, że $V$ jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną $e_1,...,e_n$ . Miara układu wektorów $(e_1,...,e_n)$ jest równa 1. Jeśli $f$ jest endomorfizmem przestrzeni $V$ , to $f$ przeprowadza daną bazę w układ $f(e_1),...,f(e_n)$ . Kolumny macierzy $A$ odwzorowania $f$ przy bazie $e_1,...,e_n$ są współrzędnymi wektorów $f(e_1),...,f(e_n)$ w bazie $e_1,..., e_n$ . A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy

Wniosek 2.5

Miara wektorów $f(e_1),...,f(e_n)$ jest równa mierze bazy $e_1,..., e_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\rm det} f=\pm 1$ .

O endomorfizmie $f$ mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego wyznacznik jest równy $\pm 1$ . Oczywiście izometrie maja tę własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.

Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach $n$ na $n$ , których wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy $GL(n;{\mathbb R} )$ . Grupę tę oznacza się $SL (n;\mathbb R)$ i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.