Informatyka MIMUW

Definicja przestrzeni afinicznej. Własności

Niech \(X\) będzie zbiorem niepustym a \(V\) przestrzenią wektorową nad ciałem \({\mathbb K}\). Załóżmy, że dane są dwie operacje (odwzorowania)

Znak "plus" jest tutaj symbolem użytym w nowym znaczeniu. Mamy ciągle "plus" oznaczający dodawanie w przestrzeni wektorowej i "plus" oznaczający dodawanie w ciele. Z kontekstu zawsze wynika, co oznacza "plus" pojawiający się w danej formule.

Mówimy, że \(X\) jest przestrzenią afiniczną o kierunku \(V\), jeśli spełnione są dwa następujące warunki

A1) Dla każdych \(x\in X\), \(v\in V\) zachodzi równoważność: \(x+v=y\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\overrightarrow {xy}=v\).

A2) Dla każdych \(x,y, z \in X\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}\).

Elementy przestrzeni afinicznej \(X\) nazywamy punktami. Odwzorowanie (1.1) nazywa się wyznaczaniem wektora przez parę punktów. Odwzorowanie (1.2) nazywa się zaczepianiem wektora w punkcie.

Przestrzeń afiniczną zapisujemy także jako parę \((X,V)\). Używamy także określenia przestrzeń afiniczna \(X\) nad \(V\). Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej \(V\) i oznaczamy \(\dim X\).

Zbierzmy na początek kilka podstawowych własności przestrzeni afinicznych.

Twierdzenie 1.1

Dla każdych punktów \(x,y\in X\) i każdych wektorów \(v,w\in V\) zachodzą następujące warunki:

1. \(\overrightarrow {xx} = 0\),
2. \(x+0 = x\), gdzie \(0\) jest wektorem zerowym w \(V\).
3. \(\overrightarrow {xy} = 0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y\),
4. \(-\overrightarrow {xy} = \overrightarrow {yx}\),
5. \(x = y\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy}\) dla każdego \(z\in X\),
6. \(x=y\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(z\in X\) takie, że \(\overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy}\),
7. \(\overrightarrow {x(y+v)} = \overrightarrow {xy}+v\),
8. \(x + (v + w) = (x + v) + w\).
9. \(\overrightarrow {(x+v)(y+w)} = \overrightarrow{xy} + (w-v)\)

Dowód

1) Korzystając z A2) otrzymujemy równość

Dodając do obu stron \(-\overrightarrow {xx}\) otrzymujemy żądaną równość.

2) Korzystając z A1) i udowodnionej już własności 1) dostajemy

równość \(x+ 0=x\), bo \(\overrightarrow{xx}=0\).

3) Z aksjomatu A1) i udowodnionej już własności 2) wiemy, że \(\overrightarrow {xy}=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(y=x+0=x\).

4) Z aksjomatu A2) i własności 1) otrzymujemy równości

5) i 6) Następująca implikacja jest oczywista.

Jeśli \(x=y\), to dla każdego punktu \(z\in X\) zachodzi równość \(\overrightarrow {zx} =\overrightarrow {zy}\).

Udowodnimy implikację:

Jeśli istnieje punkt \(z\in X\) taki, że \(\overrightarrow {zx}=\overrightarrow {zy}\), to \(x=y\).

Korzystając z własności 4) i aksjomatu A2) dostajemy implikacje

Z własności 3) mamy równość \(x=y\).

7) Korzystając z aksjomatu A2) otrzymujemy równość

Stosując teraz A1) dostajemy

8) Na podstawie 6) wiemy, że \(x+(v+w) =(x+v)+w\) wtedy i tylko wtedy, gdy

Lewa strona ostatniej równości jest równa (na podstawie własności 6) i 1))

Dla prawej strony zachodzą równości (również na podstawie 6) i 1))

9) Wykorzystując udowodnione już własności otrzymujemy

Z własności 8) wynika, że możemy stosować zapis \(x+v+w\).

Przykład 1.2

Każda przestrzeń wektorowa \(V\) jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą. Operacje zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów dane są następująco. Dla \(v,w \in V\)

W ostatnim wzorze z lewej strony mamy zaczepianie wektora \(w\) w punkcie \(v\), z prawej strony dodawanie wektorów w \(V\).

Przykład 1.3

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową \(\{0\}\).

Przykład 1.4

Najlepiej znanym przykładem przestrzeni afinicznej jest przykład znany ze szkoły. Mianowicie, płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna ze znanymi ze szkoły operacjami zaczepiania wektora swobodnego w punkcie i wyznaczania wektora swobodnego przez parę punktów są oczywiście przestrzeniami afinicznymi. Płaszczyzna i trójwymiarowa przestrzeń fizyczna są zbiorami punktów. Proponujemy, aby czytelnik prześledził na tym przykładzie wszystkie własności z Twierdzenia 1.1. Własności te w większości wydają się całkiem oczywiste, ale pamiętajmy, że definicja przestrzeni afinicznej (tak samo zresztą jak definicje przestrzeni wektorowej, ciała czy grupy) jest definicją aksjomatyczną i wszystkie własności tej struktury, choćby wydawały się najbardziej oczywiste, muszą być wywiedzione z aksjomatów.

Punkt bazowy, układ bazowy

Ustalmy pewien punkt \({\rm o}\) w przestrzeni afinicznej \((X,V)\). Punkt ten nazwiemy punktem bazowym. Rozważmy odwzorowanie

Odwzorowanie to jest bijekcją. Istotnie, odwzorowanie odwrotne dane jest formułą

Ponieważ \(\Phi _{{\rm o}}\) jest bijekcją, więc możemy przenieść strukturę przestrzeni wektorowej z \(V\) na \(X\). Robimy to tak, aby odwzorowanie \(\Phi\) było izomorfizmem liniowym, tzn. definiujemy działania w \(X\) następująco:

Dla \(x,y\in X\) punkt \(x+y\) jest równy takiemu punktowi \(z\in X\), że \(\overrightarrow {{\rm o} x} +\overrightarrow {{\rm o} y} = \overrightarrow {{\rm o} z}\).

Dla \(x\in X\) i \(\lambda \in {\mathbb K}\) punkt \(\lambda x\) zdefiniowany jest jako punkt \(z\in X\) taki, że \(\overrightarrow {{\rm o} z}= \lambda \overrightarrow {{\rm o} x}.\)

Innymi słowy,

Łatwy eksperyment pokazuje, że struktura przestrzeni wektorowej na \(X\) wprowadzona przez zadanie punktu bazowego, w istotny sposób zależy od tego punktu.

Niech teraz dany będzie punkt bazowy \(o\) i baza przestrzeni wektorowej \(V\). Załóżmy, że przestrzeń \(V\) jest skończenie wymiarowa i \(e_1,...,e_n\) jest daną bazą tej przestrzeni.

Układ \(({\rm o} ;e_1,...,e_n)\) nazywamy układem bazowym przestrzeni afinicznej \(X\). Układ bazowy nazywa się też układem współrzędnych. Punkt \({\rm o}\) jest początkiem tego układu zaś \(e_1,...e_n\) są wektorami wyznaczającymi osie współrzędnych. Taki układ współrzędnych nazywa się ukośnokątnym układem współrzędnych (dla podkreślenia, że nie musi to być układ prostokątny). Na razie zresztą nie mamy pojęcia prostopadłości w przestrzeni afinicznej.

Mając dany układ bazowy \(({\rm o} ;e_1,...,e_n)\) każdemu punktowi \(x\in X\) możemy przyporządkować ciąg współrzędnych \((x_1,...,x_n)\) wektora \(\overrightarrow {ox}\) w bazie \(e_1,..., e_n\), tzn. \(\overrightarrow {{\rm o} x} =x_1e_1+...+x_ne_n\). Ciąg ten nazywamy współrzędnymi punktu \(x\) w danym układzie bazowym (układzie współrzędnych).

Afiniczna niezależność punktów

Niech \((X,V)\) będzie przestrzenią afiniczną i \(A= {\{x_t\}}_{t\in T}\) zbiorem punktów przestrzeni \(X\). Oznaczmy jeden z elementów zbioru wskaźników \(T\) przez \(0\). Mówimy, że zbiór \(A\) jest afinicznie niezależny, jeśli zbiór wektorów

jest liniowo niezależny. Definicja ta zależy a priori od wyboru punktu \(x_0\). Za chwilę wykażemy, że zależność ta jest tylko pozorna.

Zbiór punktów nazywa się afinicznie zależnym, jeśli nie jest afinicznie niezależny. Podobne definicje afinicznej zależności i niezależności obowiązują dla układu punktów. Dwa punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe. Pojedynczy punkt uważamy za afinicznie niezależny.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Niech \({\rm o}\) będzie punktem bazowym przestrzeni afinicznej \(X\). Punkty \(x_0,x_1,...x_n\) są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skalary \(r_0,...,r_n\) nie wszystkie równe zeru takie, że \(r_0+...+ r_n=0\) oraz

Dowód

Załóżmy najpierw, że \(\{ x_0,...x_n\}\) są afinicznie zależne, czyli \(\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n}\) są liniowo zależne. Istnieją więc skalary \(r_1,...,r_n\) nie wszystkie równe zeru, takie, że

Zdefiniujmy \(r_0=-r_1-...-r_n\). Zachodzą równości

Odwrotnie załóżmy, że istnieją skalary \(r_0,...,r_n\) nie wszystkie równe zeru, których suma jest równa zeru i takie, że \(\sum _{i=0}^n r_0\overrightarrow {{\rm o} x_i}=0.\)

Zachodzą następujące równości

Ponieważ nie wszystkie skalary \(r_0,...r_n\) są równe zeru a ich suma jest równa zeru, więc wśród skalarów \(r_1,...,r_n\) istnieje skalar niezerowy. A zatem \(\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n}\) są liniowo zależne, co kończy dowód twierdzenia.

Warunek w powyższym twierdzeniu zależy a priori od wyboru punktu bazowego, ale nie zależy od wyboru \(x_0\). W definicji punkt bazowy w ogóle się nie pojawia. Ponieważ warunek definicyjny i warunek z twierdzenia są sobie równoważne afiniczna zależność nie zależy ani od wyboru punktu \(x_0\), ani od wyboru punktu bazowego.

W \(n\)-wymiarowej przestrzeni afinicznej może istnieć co najwyżej \(n+1\) punktów afinicznie niezależnych. Na fizycznej płaszczyźnie każde trzy niewspółliniowe punkty są afinicznie niezależne i każda większa liczba punktów stanowi zbiór afinicznie zależny.

Ustalmy pewien układ bazowy \(({\rm o} ;e_1,...,e_n)\) w przestrzeni afinicznej \((X,V)\). Jeśli dane są punkty \(x\), \(y\) i ich współrzędne \((x_1,...,x_n)\), \((y_1,...,y_n)\) w danym układzie bazowym, to wektor \(\overrightarrow {xy}\) ma współrzędne \((y_1-x_1,...,y_n-x_n)\) w bazie \(e_1,...,e_n\).

Niech dane będą punkty \(x_0,...,x_m\in X\) i niech

będą współrzędnymi punktu \(x_i\), dla \(i=0,...,m\), w danym układzie bazowym.

Mamy następujące równości

Wektory \(\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_m}\), \(m\le n\), są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Udowodniliśmy

Twierdzenie 3.2

Punkty \(x_0,..., x_m\), \(m\le n=\dim X\), są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Podobnie uzasadnia się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3

Punkty \(x_0,..., x_n\), \(n=\dim X\), są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy