Informatyka MIMUW

Definicja przestrzeni afinicznej. Własności

Niech $X$ będzie zbiorem niepustym a $V$ przestrzenią wektorową nad ciałem ${\mathbb K}$. Załóżmy, że dane są dwie operacje (odwzorowania)

Znak "plus" jest tutaj symbolem użytym w nowym znaczeniu. Mamy ciągle "plus" oznaczający dodawanie w przestrzeni wektorowej i "plus" oznaczający dodawanie w ciele. Z kontekstu zawsze wynika, co oznacza "plus" pojawiający się w danej formule.

Mówimy, że $X$ jest przestrzenią afiniczną o kierunku $V$, jeśli spełnione są dwa następujące warunki

A1) Dla każdych $x\in X$, $v\in V$ zachodzi równoważność: $x+v=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow {xy}=v$.

A2) Dla każdych $x,y, z \in X\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}$.

Elementy przestrzeni afinicznej $X$ nazywamy punktami. Odwzorowanie (1.1) nazywa się wyznaczaniem wektora przez parę punktów. Odwzorowanie (1.2) nazywa się zaczepianiem wektora w punkcie.

Przestrzeń afiniczną zapisujemy także jako parę $(X,V)$. Używamy także określenia przestrzeń afiniczna $X$ nad $V$. Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej $V$ i oznaczamy $\dim X$.

Zbierzmy na początek kilka podstawowych własności przestrzeni afinicznych.

Twierdzenie 1.1

Dla każdych punktów $x,y\in X$ i każdych wektorów $v,w\in V$ zachodzą następujące warunki:

1. $\overrightarrow {xx} = 0$,
2. $x+0 = x$, gdzie $0$ jest wektorem zerowym w $V$.
3. $\overrightarrow {xy} = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=y$,
4. $-\overrightarrow {xy} = \overrightarrow {yx}$,
5. $x = y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy}$ dla każdego $z\in X$,
6. $x=y$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $z\in X$ takie, że $\overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy}$,
7. $\overrightarrow {x(y+v)} = \overrightarrow {xy}+v$,
8. $x + (v + w) = (x + v) + w$.
9. $\overrightarrow {(x+v)(y+w)} = \overrightarrow{xy} + (w-v)$

Dowód

1) Korzystając z A2) otrzymujemy równość

Dodając do obu stron $-\overrightarrow {xx}$ otrzymujemy żądaną równość.

2) Korzystając z A1) i udowodnionej już własności 1) dostajemy

równość $x+ 0=x$, bo $\overrightarrow{xx}=0$.

3) Z aksjomatu A1) i udowodnionej już własności 2) wiemy, że $\overrightarrow {xy}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y=x+0=x$.

4) Z aksjomatu A2) i własności 1) otrzymujemy równości

5) i 6) Następująca implikacja jest oczywista.

Jeśli $x=y$, to dla każdego punktu $z\in X$ zachodzi równość $\overrightarrow {zx} =\overrightarrow {zy}$.

Udowodnimy implikację:

Jeśli istnieje punkt $z\in X$ taki, że $\overrightarrow {zx}=\overrightarrow {zy}$, to $x=y$.

Korzystając z własności 4) i aksjomatu A2) dostajemy implikacje

Z własności 3) mamy równość $x=y$.

7) Korzystając z aksjomatu A2) otrzymujemy równość

Stosując teraz A1) dostajemy

8) Na podstawie 6) wiemy, że $x+(v+w) =(x+v)+w$ wtedy i tylko wtedy, gdy

Lewa strona ostatniej równości jest równa (na podstawie własności 6) i 1))

Dla prawej strony zachodzą równości (również na podstawie 6) i 1))

9) Wykorzystując udowodnione już własności otrzymujemy

Z własności 8) wynika, że możemy stosować zapis $x+v+w$.

Przykład 1.2

Każda przestrzeń wektorowa $V$ jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą. Operacje zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów dane są następująco. Dla $v,w \in V$

W ostatnim wzorze z lewej strony mamy zaczepianie wektora $w$ w punkcie $v$, z prawej strony dodawanie wektorów w $V$.

Przykład 1.3

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową $\{0\}$.

Przykład 1.4

Najlepiej znanym przykładem przestrzeni afinicznej jest przykład znany ze szkoły. Mianowicie, płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna ze znanymi ze szkoły operacjami zaczepiania wektora swobodnego w punkcie i wyznaczania wektora swobodnego przez parę punktów są oczywiście przestrzeniami afinicznymi. Płaszczyzna i trójwymiarowa przestrzeń fizyczna są zbiorami punktów. Proponujemy, aby czytelnik prześledził na tym przykładzie wszystkie własności z Twierdzenia 1.1. Własności te w większości wydają się całkiem oczywiste, ale pamiętajmy, że definicja przestrzeni afinicznej (tak samo zresztą jak definicje przestrzeni wektorowej, ciała czy grupy) jest definicją aksjomatyczną i wszystkie własności tej struktury, choćby wydawały się najbardziej oczywiste, muszą być wywiedzione z aksjomatów.

Punkt bazowy, układ bazowy

Ustalmy pewien punkt ${\rm o}$ w przestrzeni afinicznej $(X,V)$. Punkt ten nazwiemy punktem bazowym. Rozważmy odwzorowanie

Odwzorowanie to jest bijekcją. Istotnie, odwzorowanie odwrotne dane jest formułą

Ponieważ $\Phi _{{\rm o}}$ jest bijekcją, więc możemy przenieść strukturę przestrzeni wektorowej z $V$ na $X$. Robimy to tak, aby odwzorowanie $\Phi$ było izomorfizmem liniowym, tzn. definiujemy działania w $X$ następująco:

Dla $x,y\in X$ punkt $x+y$ jest równy takiemu punktowi $z\in X$, że $\overrightarrow {{\rm o} x} +\overrightarrow {{\rm o} y} = \overrightarrow {{\rm o} z}$.

Dla $x\in X$ i $\lambda \in {\mathbb K}$ punkt $\lambda x$ zdefiniowany jest jako punkt $z\in X$ taki, że $\overrightarrow {{\rm o} z}= \lambda \overrightarrow {{\rm o} x}.$

Innymi słowy,

Łatwy eksperyment pokazuje, że struktura przestrzeni wektorowej na $X$ wprowadzona przez zadanie punktu bazowego, w istotny sposób zależy od tego punktu.

Niech teraz dany będzie punkt bazowy $o$ i baza przestrzeni wektorowej $V$. Załóżmy, że przestrzeń $V$ jest skończenie wymiarowa i $e_1,...,e_n$ jest daną bazą tej przestrzeni.

Układ $({\rm o} ;e_1,...,e_n)$ nazywamy układem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. Układ bazowy nazywa się też układem współrzędnych. Punkt ${\rm o}$ jest początkiem tego układu zaś $e_1,...e_n$ są wektorami wyznaczającymi osie współrzędnych. Taki układ współrzędnych nazywa się ukośnokątnym układem współrzędnych (dla podkreślenia, że nie musi to być układ prostokątny). Na razie zresztą nie mamy pojęcia prostopadłości w przestrzeni afinicznej.

Mając dany układ bazowy $({\rm o} ;e_1,...,e_n)$ każdemu punktowi $x\in X$ możemy przyporządkować ciąg współrzędnych $(x_1,...,x_n)$ wektora $\overrightarrow {ox}$ w bazie $e_1,..., e_n$, tzn. $\overrightarrow {{\rm o} x} =x_1e_1+...+x_ne_n$. Ciąg ten nazywamy współrzędnymi punktu $x$ w danym układzie bazowym (układzie współrzędnych).

Afiniczna niezależność punktów

Niech $(X,V)$ będzie przestrzenią afiniczną i $A= {\{x_t\}}_{t\in T}$ zbiorem punktów przestrzeni $X$. Oznaczmy jeden z elementów zbioru wskaźników $T$ przez $0$. Mówimy, że zbiór $A$ jest afinicznie niezależny, jeśli zbiór wektorów

jest liniowo niezależny. Definicja ta zależy a priori od wyboru punktu $x_0$. Za chwilę wykażemy, że zależność ta jest tylko pozorna.

Zbiór punktów nazywa się afinicznie zależnym, jeśli nie jest afinicznie niezależny. Podobne definicje afinicznej zależności i niezależności obowiązują dla układu punktów. Dwa punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe. Pojedynczy punkt uważamy za afinicznie niezależny.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Niech ${\rm o}$ będzie punktem bazowym przestrzeni afinicznej $X$. Punkty $x_0,x_1,...x_n$ są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skalary $r_0,...,r_n$ nie wszystkie równe zeru takie, że $r_0+...+ r_n=0$ oraz

Dowód

Załóżmy najpierw, że $\{ x_0,...x_n\}$ są afinicznie zależne, czyli $\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n}$ są liniowo zależne. Istnieją więc skalary $r_1,...,r_n$ nie wszystkie równe zeru, takie, że

Zdefiniujmy $r_0=-r_1-...-r_n$. Zachodzą równości

Odwrotnie załóżmy, że istnieją skalary $r_0,...,r_n$ nie wszystkie równe zeru, których suma jest równa zeru i takie, że $\sum _{i=0}^n r_0\overrightarrow {{\rm o} x_i}=0.$

Zachodzą następujące równości

Ponieważ nie wszystkie skalary $r_0,...r_n$ są równe zeru a ich suma jest równa zeru, więc wśród skalarów $r_1,...,r_n$ istnieje skalar niezerowy. A zatem $\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n}$ są liniowo zależne, co kończy dowód twierdzenia.

Warunek w powyższym twierdzeniu zależy a priori od wyboru punktu bazowego, ale nie zależy od wyboru $x_0$. W definicji punkt bazowy w ogóle się nie pojawia. Ponieważ warunek definicyjny i warunek z twierdzenia są sobie równoważne afiniczna zależność nie zależy ani od wyboru punktu $x_0$, ani od wyboru punktu bazowego.

W $n$-wymiarowej przestrzeni afinicznej może istnieć co najwyżej $n+1$ punktów afinicznie niezależnych. Na fizycznej płaszczyźnie każde trzy niewspółliniowe punkty są afinicznie niezależne i każda większa liczba punktów stanowi zbiór afinicznie zależny.

Ustalmy pewien układ bazowy $({\rm o} ;e_1,...,e_n)$ w przestrzeni afinicznej $(X,V)$. Jeśli dane są punkty $x$, $y$ i ich współrzędne $(x_1,...,x_n)$, $(y_1,...,y_n)$ w danym układzie bazowym, to wektor $\overrightarrow {xy}$ ma współrzędne $(y_1-x_1,...,y_n-x_n)$ w bazie $e_1,...,e_n$.

Niech dane będą punkty $x_0,...,x_m\in X$ i niech

będą współrzędnymi punktu $x_i$, dla $i=0,...,m$, w danym układzie bazowym.

Mamy następujące równości

Wektory $\overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_m}$, $m\le n$, są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Udowodniliśmy

Twierdzenie 3.2

Punkty $x_0,..., x_m$, $m\le n=\dim X$, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Podobnie uzasadnia się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3

Punkty $x_0,..., x_n$, $n=\dim X$, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy