Zwróciliśmy już uwagę na fakt, że reguła de l'Hospitala -- podobnie jak każde twierdzenie -- wymaga przed zastosowaniem tezy sprawdzenia, czy spełnione są założenia twierdzenia. Jednak nawet w przypadku, gdy są spełnione założenia, nie ma gwarancji, czy rachunki w oparciu o wzór z tezy prowadzą krótką drogą do celu, jakim jest stwierdzenie czy istnieje oraz ile wynosi granica ilorazu dwóch funkcji.
Rozważmy następujący
Przykład 11.18.
Sprawdźmy, czy istnieje granica
lim
Zauważamy, że iloraz funkcji \displaystyle f(t)=8t-\sqrt{63+t} oraz \displaystyle g(t)=4-\root{3}\of{63+t} stanowi w punkcie \displaystyle t=1 symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{0}{0} . Obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu, więc pozostaje zbadanie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych \displaystyle \frac{f'(t)}{g'(t)} w punkcie \displaystyle t=1 . Próba wyznaczenia ilorazu pochodnych prowadzi do otrzymania ułamków piętrowych, które nie zachęcają do dalszych przekształceń. Zauważmy jednak, że podstawienie \displaystyle u:=\root{6}\of{63+t} sprowadza zadanie do zbadania, czy istnieje granica
\displaystyle \frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}}=\frac{8(u^6-63)-u^3}{4(u^6-63)-u^2}
ilorazu dwóch wielomianów \displaystyle F(u)=8(u^6-63)-u^3 oraz \displaystyle G(u)=4(u^6-63)-u^2 w punkcie \displaystyle u=2 , ponieważ \displaystyle u(t)=\root{6}\of{63+t}\to 2 , gdy \displaystyle t\to 1 . Iloraz \displaystyle \frac{F(u)}{G(u)} stanowi symbol nieoznaczony \displaystyle \frac{0}{0} w punkcie \displaystyle u=2 . Sprawdzenie, czy istnieje granica ilorazu pochodnych tych wielomianów jest bardzo proste
\displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{48u^5-3u^2}{24u^5-2u} =\frac{48u^4-3u}{24u^4-2}\to \frac{381}{191}, gdy u\to 2.
Stąd na mocy reguły de l'Hospitala istnieje granica \displaystyle\lim_{t\to 1}\frac{8t-\sqrt{63+t}}{4t-\root{3}\of{63+t}} i jest równa \displaystyle \frac{381}{191} .
Przykład 11.19.
Zbadajmy, czy funkcja \displaystyle f(x)=(x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big) ma asymptotę ukośną. Stwierdzamy, że iloraz \displaystyle \frac{f(x)}{x}\to e , gdy \displaystyle x\to\infty . Następnie stajemy przed zadaniem wyznaczenia granicy różnicy \displaystyle f(x)-ex przy \displaystyle x\to \infty . Wyrażenie to stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \infty-\infty . Przekształćmy je:
\displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & = (x+2)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-ex \\ & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e}{\frac{1}{x}}. \end{align*}
Ułamek o liczniku \displaystyle \big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e oraz mianowniku \displaystyle \frac{1}{x} stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \frac{0}{0} przy \displaystyle x\to \infty . Licznik i mianownik są funkcjami różniczkowalnymi w sąsiedztwie nieskończoności, tj. w przedziale typu \displaystyle (M, \infty) , dla pewnego \displaystyle M . Jednak już próba policzenia i uproszczenia pochodnej licznika jest dość nieprzyjemnym zadaniem. Zauważmy jednak, że podstawienie za \displaystyle \frac{x+1}{x-1}=:u nowej zmiennej, znacznie uprości rachunki. Mamy bowiem
\displaystyle \begin{align*} f(x)-ex & =x\bigg(\big(1+\frac{2}{x}\big)\exp\big(\frac{x+1}{x-1}\big)-e\bigg) \\ & =\frac{u+1}{u-1}\bigg[\big(1+2\frac{u-1}{u+1}\big)\exp u-e\bigg] \\ & =\frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1}. \end{align*}
Stwierdzenie, czy istnieje granica ilorazu
\displaystyle \frac{(3u-1)\exp u-(u+1)e}{u-1} przy u\to 1
(ponieważ \displaystyle u(x)=\frac{x+1}{x-1}\to 1 , gdy \displaystyle x\to\infty ) jest prostym zadaniem. Iloraz funkcji
\displaystyle F(u)=(3u-1)\exp u-(u+1)e oraz G(u)=u-1
stanowi symbol nieoznaczony typu \displaystyle \frac{0}{0} w punkcie \displaystyle u=1 ; obie funkcje są różniczkowalne w otoczeniu tego punktu. Wyznaczamy iloraz pochodnych i potrzebną granicę
\displaystyle \frac{F'(u)}{G'(u)}=\frac{3\exp u+(3u-1)\exp u -e}{1}\to 4e, gdy u\to 1.
Z reguły de l'Hospitala wynika więc, że istnieje granica ilorazu \displaystyle \lim_{u\to 1}\frac{F(u)}{G(u)} i jest równa \displaystyle 4e . Stąd ostatecznie wnioskujemy, że prosta \displaystyle y=ex+4e jest asymptotą ukośną funkcji \displaystyle f przy \displaystyle x\to \infty . Podobne obliczenia pozwalają stwierdzić, że ta sama prosta jest także asymptotą funkcji \displaystyle f przy \displaystyle x\to -\infty .