rycina

Jakob Bernoulli (1654-1705)

Definicja 14.16.

Równanie różniczkowe

$\displaystyle \dot{x}(t)+p(t)x=q(t)x^r, \quad$ gdzie $\displaystyle r\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$

nazywamy równaniem różniczkowym Bernoullego (rrB).

Zauważmy, że dla $\displaystyle r=0$ lub $\displaystyle r=1$ powyższe równanie staje się równaniem różniczkowym liniowym (jednorodnym lub nie).

Równanie różniczkowe Bernoullego rozwiązujemy za pomocą podstawienia

$\displaystyle x^{1-r}=z$

i sprowadzenia równania do równania liniowego. Faktycznie, skoro $\displaystyle z=x^{1-r}$, to $\displaystyle \displaystyle\dot{z}=(1-r)x^{-r}\dot{x}.$ Mnożąc (rrB) obustronnie przez $\displaystyle \displaystyle (1-r)x^{-r}$, dostajemy równanie

$\displaystyle (1-r)x^{-r}\dot{x}+p(t)(1-r)x^{1-r}=q(t)(1-r),$

i podstawiając, mamy:

$\displaystyle \dot{z}+(1-r)p(t)z=(1-r)q(t),$

czyli równanie liniowe rzędu pierwszego z niewiadomą funkcją $\displaystyle z.$ Takie równanie umiemy już rozwiązać.

Zauważmy też, że jeśli $\displaystyle 1-r < 0$, czyli $\displaystyle r>1$, to zawsze "gubimy" rozwiązanie $\displaystyle x\equiv 0$.

Przykład 14.17.

Rozwiązać równanie

$\displaystyle 3\dot{x}-x=\frac{t}{x^2}.$

Zapiszmy to równanie jako

$\displaystyle \dot{x}-\frac{1}{3}x=\frac{t}{3x^2}.$

Zatem $\displaystyle p(t)=-\frac{1}{3}, \ q(t)=\frac{t}{3}, \ r=-2.$

Nasze równanie, po pomnożeniu obustronnie przez $\displaystyle 3x^{2}$, zamienia się w równanie

$\displaystyle 3x^2\dot{x}-x=t,$

czyli po podstawieniu

$\displaystyle z=x^{1-r}=x^3,$

dostajemy równanie liniowe niejednorodne

$\displaystyle \dot{z}-z=t.$

Zgodnie ze wzorem na rozwiązanie ogólne równania liniowego podanym w stwierdzeniem 14.13 mamy

$\displaystyle z(t)=\displaystyle e^{-\int(-1)dt}\displaystyle( C+\int te^{\int (-1) dt} dt),$

czyli

$\displaystyle z(t)=Ce^t-(t+1),$

a zatem rozwiązanie naszego równania Bernoullego to

$\displaystyle (x(t))^3=Ce^t-(t+1).$