Aksjomat zbioru pustego

Formuły, które daje się udowodnić wyłącznie na gruncie rachunku predykatów nie są interesujące. Aby na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości udało się udowodnić nawet podstawowe fakty, potrzebujemy aksjomatów. Pierwszy aksjomat gwarantuje, oczywiste w naiwnej teorii mnogości, istnienie zbioru pustego.

Aksjomat zbioru pustego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru pustego, jest prawdą

$\exists x \forall y\; y\notin x,$

a zbiór $x$ spełniający ten warunek nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez $\emptyset$ .

Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje zbiór nieposiadający elementów. Dokładnie, definiująca go formuła mówi, że każdy $y$ nie należy do $\emptyset$ . Symbol $\emptyset$ oznacza dokładnie jeden zbiór, czego dowodzą poniższe fakty.

W następującym fakcie pokażemy, że istnieje nie więcej niż jeden zbiór pusty. Aksjomat zbioru pustego gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego zbioru pustego i w związku z tym zbiór pusty jest dokładnie jeden.

Fakt 3.1.

Istnieje co najwyżej jeden zbiór pusty, czyli następująca formuła jest prawdziwa

$\forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow x=y.$

Dowód

Niewątpliwie

$\forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,(z\notin x\land z\notin y ))$

skąd możemy wnioskować, że

$\forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,z\in x\iff z\in y )$

gdzie prawa strona implikacji jest definicją równości zbiorów. Intuicyjnie dowód przebiega następująco. Dwa zbiory są sobie równe, jeśli każdy element albo należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego. Weźmy dwa zbiory puste i dowolny element. Element ten nie należy do żadnego z tych zbiorów. Wnioskujemy, że zbiory te muszą być sobie równe.