Aksjomat zbioru pustego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru pustego, jest prawdą
\( \exists x \forall y\; y\notin x, \)
a zbiór \( x \) spełniający ten warunek nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez \( \emptyset \).
Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje zbiór nieposiadający elementów. Dokładnie, definiująca go formuła mówi, że każdy \( y \) nie należy do \( \emptyset \). Symbol \( \emptyset \) oznacza dokładnie jeden zbiór, czego dowodzą poniższe fakty.
W następującym fakcie pokażemy, że istnieje nie więcej niż jeden zbiór pusty. Aksjomat zbioru pustego gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego zbioru pustego i w związku z tym zbiór pusty jest dokładnie jeden.
Fakt 3.1.
Istnieje co najwyżej jeden zbiór pusty, czyli następująca formuła jest prawdziwa
\( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow x=y. \)
Dowód
Niewątpliwie
\( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,(z\notin x\land z\notin y )) \)
skąd możemy wnioskować, że
\( \forall x\forall y \;(\forall z\,z\notin x\land \forall z \,z\notin y ) \Longrightarrow (\forall z\,z\in x\iff z\in y ) \)
gdzie prawa strona implikacji jest definicją równości zbiorów. Intuicyjnie dowód przebiega następująco. Dwa zbiory są sobie równe, jeśli każdy element albo należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego. Weźmy dwa zbiory puste i dowolny element. Element ten nie należy do żadnego z tych zbiorów. Wnioskujemy, że zbiory te muszą być sobie równe.