Aksjomat Pary

Aby aksjomatyczna teoria mnogości była podobna do naiwnej teorii, którą chcemy naśladować, powinna gwarantować istnienie więcej niż jednego zbioru. Niestety, aksjomat zbioru pustego gwarantuje istnienie tylko jednego zbioru. Jednoelementowy model \( \{a\} \), gdzie \( a\notin a \), spełnia aksjomat zbioru pustego. Wprowadzenie następnego aksjomatu gwarantuje istnienie "nieskończonej ilości" zbiorów. Jest to aksjomat mówiący, że dla dowolnych dwóch bytów możemy stworzyć zbiór zawierający je i żadnych innych elementów. Stwierdzenie to jest prawdziwe w naiwnej teorii mnogości i zgodne z intuicją.

Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem pary, jest prawdą

\( \forall x \forall y \exists z \forall w\;\ w\in z \iff (w = x\lor w =y). \)

Zbiór \( z \) którego istnienie gwarantuje ten aksjomat jest oznaczany przez \( \{x,y\} \). W przypadku kiedy \( x=y \) stosujemy skrót \( \{x,x\} = \{x\} \).

Podobnie jak dowodziliśmy unikalności zbioru pustego, możemy wykazać, że dla ustalonych zbiorów \( x \) i \( y \) istnieje dokładnie jeden zbiór \( \{x,y\} \). Weźmy dwa zbiory \( z_1 \) i \( z_2 \) takie, że dla każdego \( w \) mamy \( w\in z_1 \iff (w=x\lor w = y) \) i \( w\in z_2 \iff (w=z\lor w=y) \). Natychmiast otrzymujemy \( w\in z_1 \iff w\in z_2 \), co dowodzi, że \( z_1=z_2 \) i że dla dowolnych dwóch zbiorów istnieje dokładnie jeden zbiór zawierający wyłącznie te zbiory jako elementy.

Aksjomat pary razem z aksjomatem zbioru pustego gwarantują, że modele dla aksjomatycznej teorii mnogości zawierają nieskończenie wiele zbiorów. Każdy model zawiera, na mocy aksjomatu zbioru pustego, zbiór pusty oznaczony przez \( \emptyset \). Na mocy aksjomatu pary w modelu istnieje również zbiór \( \{\emptyset\} \) różny od zbioru pustego. Używając aksjomatu pary, jeszcze raz możemy skonstruować następny, różny od poprzednich zbiór \( \{\{\emptyset\}\} \). Tą procedurę możemy powtarzać dowolną ilość razy, konstruując za każdym razem nowy zbiór. Aksjomat pary nie gwarantuje istnienia zbiorów więcej niż dwuelementowych. Na podstawie aksjomatu zbioru pustego posiadamy zbiór zeroelementowy, aksjomat pary gwarantuje istnienie zbiorów jedno- i dwuelementowych.

Ćwiczenie 4.1

Skonstruuj model dla dwu pierwszych aksjomatów posiadający wyłącznie zbiory zero, jedno oraz dwuelementowe.

Podpowiedź

Użyj w tym celu drzew binarnych.

Rozwiązanie

Aby skonstruować model dla dwóch pierwszych aksjomatów, posłużymy się drzewami binarnymi. Oznaczymy jako \( \bullet \) drzewo składające się z jednego liścia. Oznaczmy, dla dwu drzew binarnych \( r \) i \( s \), drzewo powstałe z nich przez dodanie korzenia i połączenia go z tymi drzewami jako \( r\,{}^{\land} s \). Zaniedbujemy orientację w drzewach, a więc zawsze \( r\,{}^{\land} s \) jest tym samym drzewem co \( s\,{}^{\land} r \). Rozważmy teraz wszystkie drzewa binarne tego typu i zdefiniujmy dla dwóch drzew \( s \) i \( t \)
\( s\in t \), jeśli istnieje jakieś drzewo \( r \) takie, że drzewo \( t \) jest równe \( s\,{}^{\land} r \).

Sprawdźmy, czy w tym modelu aksjomat zbioru pustego i aksjomat pary są spełnione.

Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje drzewo \( t \), dla którego nie ma drzew \( s \) spełniających \( s\in t \). Oczywiście w naszym modelu jest to drzewo \( \bullet \).

Aksjomat pary mówi, że dla dowolnych dwóch drzew \( r \) i \( s \) istnieje drzewo \( t \) takie, że \( r\in t \) i \( s\in t \) i relacja ta nie zachodzi dla żadnych innych zbiorów. W naszym modelu własność tę spełnia drzewo \( r\,{}^{\land} s \). Niewątpliwie \( r\in r\,{}^{\land} s \), ale ponieważ \( r\,{}^{\land} s \) i \( s\,{}^{\land} s \) są identyczne, to również \( s\in r\,{}^{\land} s \). Co więcej drzewo \( r\,{}^{\land} s \) nie posiada żadnych innych poddrzew tego typu.

Wykazaliśmy, że nasz model spełnia aksjomat zbioru pustego i aksjomat pary. Pozostaje wykazać że, wszystkie zbiory są zero, jedno lub dwuelementowe. Zbiór \( \bullet \) jest zeroelementowy. Każde drzewo postaci \( t\,{}^{\land} t \) jest jednoelementowe, a każde drzewo postaci \( r\,{}^{\land} s \) dla \( r \) różnego od \( s \) jest dwuelementowe (choć elementy tych zbiorów mogą być bardzo skomplikowane).