Aby skonstruować model dla dwóch pierwszych aksjomatów, posłużymy się drzewami binarnymi. Oznaczymy jako
∙ drzewo składające się z jednego liścia. Oznaczmy, dla dwu drzew binarnych
r i
s, drzewo powstałe z nich przez dodanie korzenia i połączenia go z tymi drzewami jako
r∧s. Zaniedbujemy orientację w drzewach, a więc zawsze
r∧s jest tym samym drzewem co
s∧r. Rozważmy teraz wszystkie drzewa binarne tego typu i zdefiniujmy dla dwóch drzew
s i
t
s∈t, jeśli istnieje jakieś drzewo
r takie, że drzewo
t jest równe
s∧r.
Sprawdźmy, czy w tym modelu aksjomat zbioru pustego i aksjomat pary są spełnione.
Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje drzewo t, dla którego nie ma drzew s spełniających s∈t. Oczywiście w naszym modelu jest to drzewo ∙.
Aksjomat pary mówi, że dla dowolnych dwóch drzew r i s istnieje drzewo t takie, że r∈t i s∈t i relacja ta nie zachodzi dla żadnych innych zbiorów. W naszym modelu własność tę spełnia drzewo r∧s. Niewątpliwie r∈r∧s, ale ponieważ r∧s i s∧s są identyczne, to również s∈r∧s. Co więcej drzewo r∧s nie posiada żadnych innych poddrzew tego typu.
Wykazaliśmy, że nasz model spełnia aksjomat zbioru pustego i aksjomat pary. Pozostaje wykazać że, wszystkie zbiory są zero, jedno lub dwuelementowe. Zbiór ∙ jest zeroelementowy. Każde drzewo postaci t∧t jest jednoelementowe, a każde drzewo postaci r∧s dla r różnego od s jest dwuelementowe (choć elementy tych zbiorów mogą być bardzo skomplikowane).