Następujący aksjomat gwarantuje istnienie zbiorów nieskończonych. Działanie tego aksjomatu jest podobne do działania indukcji matematycznej omawianej wcześniej. Intuicyjnie aksjomat ten gwarantuje nam istnienie przynajmniej jednego zbioru zawierającego wszystkie liczby naturalne. Zbiór taki musi być nieskończony.
Aksjomat Nieskończoności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:
\( \exists x\; (\emptyset\in x \land (\forall y\; y\in x\Longrightarrow y\cup\{y\}\in x )). \)
Rozważmy zbiór \( x \), którego istnienie jest gwarantowane przez aksjomat nieskończoności. Niewątpliwie \( \emptyset\in x \). Na podstawie drugiej części definicji wnioskujemy, że \( \emptyset\cup \{\emptyset\}=\{\emptyset\}\in x \). Stosując drugą część definicji raz jeszcze, otrzymujemy dalej \( \{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\in x \). Powtarzając tę operację za każdym razem, otrzymujemy nowy element zbioru \( x \). Intuicyjnie, wymagania stawiane zbiorowi \( x \) w definicji gwarantują, że, na zasadzie podobnej do zasady indukcji matematycznej, będzie on posiadał "nieskończenie" wiele elementów. Zbiór ten może posiadać inne elementy niż te, które udają się skonstruować za pomocą procedury wymienionej powyżej.
Zbiór, którego istnienie gwarantuje aksjomat nieskończoności, jest używany do konstruowania liczb naturalnych. W konstrukcji liczb naturalnych opartej na liczbach porządkowych wprowadzonych po raz pierwszy przez Johna von Neumanna wyżej wymienione zbiory to kolejne liczby naturalne.
\( \begin{array} {ll} \text{liczba naturalna zero to zbiór } & \emptyset \\ \text{liczba naturalna jeden to zbiór } & \{\emptyset\} \\ \text{liczba naturalna dwa to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\ \text{liczba naturalna trzy to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ \text{i tak dalej\dots} & \text{ } \end{array} \)
W powyższej konstrukcji liczba naturalna to bardzo konkretny zbiór. Zbiór będący liczbą naturalną ma, intuicyjnie mówiąc, tyle elementów, jaka jest wartość tej liczby, choć nie każdy zbiór posiadający tyle elementów jest liczbą naturalną. Wykład 7 jest w całości poświęcony konsekwencjom tego aksjomatu; uzyskany tam zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym \( x \) spełniającym warunki aksjomatu nieskończoności.