Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:
\( \exists x\; (\emptyset\in x \land (\forall y\; y\in x \Longrightarrow y\cup\{y\}\in x )). \) Każdy zbiór \( x \) spełniający warunek występujący w aksjomacie nieskończoności nazywamy zbiorem induktywnym. Aksjomat nieskończoności nie nakłada żadnych ograniczeń górnych na zbiory induktywne -- mogą być one dowolnie wielkie. Zbiorem liczb naturalnych będziemy nazywać najmniejszy ze zbiorów induktywnych. Wcześniej jednak musimy udowodnić, że zbiór taki istnieje. Następujące fakty pozwolą nam go zdefiniować.
Lemat 2.1.
Jeśli \( x \) jest niepustym zbiorem zbiorów induktywnych to \( \bigcap x \) jest również zbiorem induktywnym.
Dowód
Aby wykazać, że \( \bigcap x \) jest zbiorem induktywnym, musimy wykazać, że:
oraz że
Ponieważ każdy z elementów \( x \) jest zbiorem induktywnym, to \( \forall z\; z\in x\Longrightarrow \emptyset\in z \), czyli zbiór pusty jest w każdym z elementów \( x \). Jeśli jakiś zbiór jest w każdym elemencie zbioru, to jest również w jego przecięciu, czyli \( \emptyset \in \bigcap x \). Pozostaje wykazać drugi fakt, weźmy dowolny \( y\in\bigcap x \). Natychmiastową konsekwencją jest, że dla każdego \( z \), elementu \( x \) mamy \( y\in z \). Skoro każdy element \( x \) jest zbiorem induktywnym, to dla każdego \( z \) w \( x \) mamy \( y\cup\{y\}\in z \) i, z definicji przecięcia, \( y\cup \{y\}\in\bigcap x \). W ten sposób udowodniliśmy oba warunki i równocześnie lemat.
Przechodzimy do dowodu głównego twierdzenia. Mówi ono, że istnieje zbiór induktywny będący podzbiorem wszystkich zbiorów induktywnych.
Twierdzenie 2.2.
Istnieje najmniejszy, pod względem inkluzji, zbiór induktywny.
Dowód
Na mocy aksjomatu nieskończoności istnieje co najmniej jeden zbiór induktywny -- oznaczmy go przez \( x \). Rozważmy wszystkie podzbiory \( \mathcal{P}(x) \) tego zbioru i wybierzmy z nich, na mocy aksjomatu wyróżniania, zbiory induktywne -- powstały w ten sposób podzbiór \( \mathcal{P}(x) \) nazwijmy \( y \). Zbiór \( y \) jest niepusty, ponieważ \( x\in y \) jest zagwarantowane przez fakt, że \( x\subset x \) i założenie mówiące, że \( x \) jest zbiorem induktywnym. Wnioskujemy, że zbiór \( y \) spełnia założenia Lematu 2.1 i w związku z tym \( \bigcap y \) jest zbiorem induktywnym.
Postulujemy, że zbiór \( \bigcap y \) jest najmniejszym zbiorem induktywnym. Aby to wykazać, pokażemy, że dla dowolnego zbioru induktywnego \( z \) mamy \( \bigcap y\subset z \). Ustalmy dowolny zbiór induktywny \( z \), na mocy Lematu 2.1, zastosowanego do zbioru \( \{x,z\} \) otrzymujemy, że \( x\cap z \) jest zbiorem induktywnym. W związku z tym \( x\cap z \in y \) i dalej \( \bigcap y\subset x\cap z \subset z \). To dowodzi, że zbiór \( \bigcap y \) jest podzbiorem każdego zbioru induktywnego, czyli najmniejszym pod względem inkluzji zbiorem induktywnym.
Natychmiastowym wnioskiem jest, że zbiór taki jest jedyny.
Wniosek 2.3.
Istnieje unikalny, najmniejszy pod względem inkluzji, zbiór induktywny.
Dowód
Ustalmy dwa dowolne, najmniejsze pod względem inkluzji zbiory induktywne \( x \) i \( y \). Wtedy \( x\subset y \) i \( y\subset x \), skąd wnioskujemy, że \( x=y \), co należało wykazać.
Tak skonstruowany zbiór nazywamy zbiorem liczb naturalnych.
Definicja 2.4.
Najmniejszy pod względem inkluzji zbiór induktywny nazywamy zbiorem liczb naturalnych i oznaczamy, przez \( \mathbb{N} \). Elementy tego zbioru nazywamy liczbami naturalnymi.
Skonstruowaliśmy, przy pomocy aksjomatów ZF zbiór posiadający pewne własności i nazwaliśmy go zbiorem liczb naturalnych. Zbiór ten niewątpliwie zawiera liczbę zero, zdefiniowaną wcześniej jako zbiór pusty. Zawiera również liczbę jeden \( 1=0'=\{\emptyset\} \), ponieważ zawiera \( 0 \) i dla każdego elementu zawiera również jego następnik. Każda, z intuicyjnie oczywistych własności liczb naturalnych, musi być wykazana na gruncie aksjomatów ZF zanim uznamy ją za prawdziwą. Pozostała część tego wykładu poświęcona jest dowodzeniu podstawowych faktów dotyczących liczb naturalnych.