Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych jest zasada indukcji matematycznej. Używając aksjomatów, możemy wykazać, że indukcja matematyczna działa. Formalnie, dla dowolnej własności, którą chcemy dowodzić przez indukcję, definiujemy zbiór elementów, które ją spełniają. Jeśli zbiór ten spełnia wymagane własności, jest on równy zbiorowi liczb naturalnych, czyli własność jest prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. W formalny sposób przedstawia to poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 3.1. [o indukcji matematycznej]
Dla dowolnego zbioru \( P \) jeśli \( P\subset\mathbb{N} \)
oraz
to \( P=\mathbb{N} \).
Dowód
Ustalmy dowolny zbiór \( P \) spełniający założenia twierdzenia. Zbiór \( P \) jest zbiorem induktywnym, a więc, na mocy definicji zbioru liczb naturalnych, \( \mathbb{N}\subset P \). Równocześnie założyliśmy, że \( P\subset\mathbb{N} \) i w związku z tym \( P=\mathbb{N} \), co dowodzi twierdzenia.