Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje

strict warning: Only variables should be passed by reference in /usr/share/drupal6/modules/book/book.module on line 559.

Wstęp



Liczby naturalne to jedna z najbardziej podstawowych idei matematycznych. Operacje dodawania i mnożenia liczb naturalnych są najczęściej uznawane za najprostsze operacje matematyczne. W aksjomatycznym podejściu do teorii mnogości wszystkie "oczywiste fakty" dotyczące liczb naturalnych należy wywieść z aksjomatów. W pierwszej części tego wykładu wykażemy, że aksjomatyka ZF gwarantuje istnienie zbioru liczb naturalnych. Druga część poświęcona jest dowodzeniu własności tych liczb.

W teorii mnogości liczby naturalne, podobnie jak wszystkie inne byty, muszą być zbiorami. Od aksjomatyki teorii mnogości niewątpliwie należy wymagać, aby gwarantowała ich istnienie. W aksjomatyce ZF opisanej w wykładzie "Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach" jako liczby naturalne przyjmuje się zbiory, do których istnienia niezbędny jest aksjomat zbioru pustego, aksjomat pary i aksjomat sumy. Konstrukcja liczb naturalnych przedstawiona w dalszej części wykładu została zaproponowanych przez Johna von Neumanna jak specyficzny przypadek liczb porządkowych, które będą dokładniej przedstawione w wykładzie "Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady".

Liczby naturalne definiujemy następująco. Liczbą naturalną zero jest zbiór pusty \( \emptyset \). Każdą następną liczbę naturalną otrzymujemy z poprzedniej w prosty sposób:

jeśli \( n \) jest liczbą naturalną, to następną po niej liczbą jest \( n'\stackrel{\textrm{def}}{\equiv} \{n\} \cup n \)

Początkowe liczby naturalne to:

\( \begin{array} {ll} \text{liczba naturalna zero to zbiór } & \emptyset , \\ \text{liczba naturalna jeden to zbiór } & \{\emptyset\} , \\ \text{liczba naturalna dwa to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \\ \text{liczba naturalna trzy to zbiór } & \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}, \\ \text{i tak dalej\dots} & \text{ } \end{array} \)

Liczby naturalne to zbiory, których istnienie jest zagwarantowane przez aksjomaty ZF. Intuicyjnie, patrząc na nie widzimy, że posiadają tyle elementów jaka jest "wartość" liczby. Zero, to zbiór pusty, jeden, to zbiór którego jedynym elementem jest \( \emptyset \) i tak dalej.