Dla dowodu wykazującego dobre zdefiniowanie operacji na liczbach całkowitych ustalmy dowolne pary
(n,k),(p,q),(m,l),(r,s) spełniające
(n,k)≈(m,l) oraz
(p,q)≈(r,s).
Dla dowodu dobrego zdefiniowania elementów przeciwnych musimy wykazać, że −[(n,k)]≈=−[(m,l)]≈, czyli że [(k,n)]≈=[(l,m)]≈. Potrzebujemy (k,n)≈(l,m), co jest równoważne stwierdzeniu, że k+m=n+l, który to fakt jest oczywistą konsekwencją (n,k)≈(m,l). Wykazaliśmy, że definicja elementu przeciwnego nie zależy od wyboru reprezentantów dla klas.
Analogiczny dowód przeprowadzamy dla dodawania. Musimy wykazać, że
[(n,k)]≈+[(p,q)]≈=[(m,l)]≈+[(r,s)]≈. Równość ta jest prawdą wtedy i tylko wtedy, kiedy [(n+p,k+q)]≈=[(m+r,l+s)]≈, czyli kiedy (n+p,k+q)≈(m+r,l+s). Korzystając z definicji relacji ≈, potrzebujemy (n+p)+(l+s)=(k+q)+(m+r). Z założeń wynika, że n+l=k+m oraz p+s=q+r - dodając te równości stronami i korzystając z łączności i przemienności dodawania w liczbach naturalnych, otrzymujemy żądany fakt.
Wykażemy, że mnożenie dwóch liczb całkowitych nie zależy od wyboru reprezentantów w klasach równoważności. Niewątpliwie, używając założeń i przemienności, łączności i definicji mnożenia, mamy:
(n+l+k+m)(q+r)=2(k+m)(q+r)=2(q+r)(k+m)=(p+s+q+r)(k+m) i dalej, używając rozdzielności mnożenia:
n(q+r)+l(q+r)+k(q+r)+m(q+r)=p(k+m)+s(k+m)+q(k+m)+r(k+m).
Używamy raz jeszcze założeń i dostajemy:
n(p+s)+l(q+r)+k(q+r)+m(p+s)=p(k+m)+s(l+n)+q(l+n)+r(k+m) co, po wymnożeniu daje:
np+ns+lq+lr+kq+kr+mp+ms=pk+pm+sl+sn+ql+qn+rk+rm.
Stosujemy prawo skracania dla liczb naturalnych do ns+lq+kr+mp i dostajemy:
np+lr+kq+ms=pk+sl+qn+rm
co, używając przemienności mnożenia i przemienności i łączności dodawania, daje:
(np+kq,nq+kp)≈(mr+ls,ms+lr).
Wywnioskowaliśmy, że [(n,k)]≈⋅[(p,q)]≈=[(m,l)]≈⋅[(r,s)]≈, co oznacza, że definicja mnożenia nie zależy od wyboru reprezentantów dla klas.