Ciągi - własności i operacje

pon., 09/13/2010 - 16:30 — ciebie

Definicja 1.

Powiemy, że ciąg $(a n)$ jest:

1. rosnący, jeśli dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a_{n+1} \geq a_n$,

2. ściśle rosnący, jeśli powyższa nierówność jest ostra (nie dopuszcza równości), czyli dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a n + 1 > a n$ ,

3. malejący, jeśli dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a_{n+1}\leq a_n$,

4. ściśle malejący, jeśli dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a n + 1 < a n$ .

Jeśli ciąg spełnia któryś z tych warunków, to mówimy, że jest monotoniczny. Jeśli spełnia 2. lub 4. warunek, to można powiedzieć, że jest ściśle monotoniczny.

Czyli ciąg jest ściśle rosnący, jeśli patrząc po kolei na jego wyrazy widzimy coraz większe liczby; a po prostu rosnący, jeśli patrząc na kolejne wyrazy nie napotkamy liczby mniejszej od tych, które widzieliśmy. Pojęcia ciągu malejącego i ściśle malejącego wymagają odwrotnego warunku: kolejne wyrazy ciągu muszą być niemniejsze lub, w drugim przypadku, większe od wcześniejszych.

Ciąg rosnący, ale nie ściśle rosnący

Przykładem ciągu rosnącego, który nie jest ściśle rosnący, jest ciąg $a_n = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$. Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to $a_n = \frac{n}{2}$, ponieważ $\frac{n}{2}$ jest liczbą całkowitą. Wówczas $a_{n+1} = \lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor = \lfloor \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \rfloor = \frac{n}{2} = a_n$. Każda liczba całkowita występuje w ciągu dwa razy, na sąsiednich miejscach. Wobec tego ciąg $(a n)$ nie może być ściśle rosnący, ale łatwo sprawdzić, że jest rosnący.

Ciąg ściśle malejący

Pytanie: Czy ciąg stały jest monotoniczny?

Odpowiedź:

Zadanie 1.

Czy ciąg zdefiniowany wzorem $a n = n 2 - 8 n + 15$ jest monotoniczny?

Wskazówka:

Rozwiązanie:

Wobec tego $a 3 = f (3) = 0$ oraz $a 5 = f (5) = 0$ . Ciąg $(a n)$ dla dwóch różnych wartości $n$ przyjmuje tę samą wartość, więc wiemy już, że nie jest ściśle monotoniczny.

Żeby mógł być rosnący lub malejący, wyraz $a 4$ musiałby być równy 0. Ale to by oznaczało, że również $f (4) = 0$ , i mamy sprzeczność - niezerowa funkcja kwadratowa nie może mieć więcej niż dwóch miejsc zerowych. Wobec tego ciąg $(a n)$ nie może być monotoniczny.

Okazuje się natomiast, że jeśli obetniemy z ciągu $(a n)$ trzy pierwsze wyrazy, to otrzymamy ciąg ściśle rosnący - dlaczego?

Pytania testowe:

Definicja 2.

Powiemy, że ciąg $(a n)$ jest:

1. ograniczony z góry, jeśli istnieje liczba rzeczywista $M 1$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a n < M 1$ ; liczba $M 1$ jest wówczas ograniczeniem górnym ciągu $(a n)$ ;

2. ograniczony z dołu, jeśli istnieje liczba rzeczywista $M 2$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $a n > M 2$ ; liczba $M 2$ jest wówczas ograniczeniem dolnym ciągu $(a n)$ ;

3. obustronnie ograniczony, jeśli istnieje liczba rzeczywista $M$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $- M < a n < M$ .

Dobrym przykładem jest ciąg $a n = sin n$ - obcięcie funkcji $sin$ , określonej na zbiorze liczb rzeczywistych, do zbioru liczb naturalnych. Wiemy, że funkcja $sin$ przyjmuje wartości z odcinka $[ - 1,1]$ . Wobec tego wyrazy ciągu $(a n)$ będą spełniały nierówności $-1\leq a_n \leq 1$. Czyli ciąg $(a n)$ jest obustronnie ograniczony ( $M = 1$ ). Poza tym jest to ciąg zachowujący się bardzo dziwnie...

Ciąg ograniczony z góry, ale nieograniczony z dołu to na przykład $b n = - n 3 + 7 n 2 + 33$ .

A ciąg ograniczony z dołu, ale nieograniczony z góry to na przykład $c n = - b n = n 3 - 7 n 2 - 33$ , lub $d_n = \sqrt{n}$. Warto sprawdzić, jakie są ograniczenia tych ciągów.

Ciąg ograniczony z góry przez $M 1$

Ciąg ograniczony z dołu przez $M 2$

Ciąg obustronnie ograniczony

Definicja ciągu obustronnie ograniczonego wymaga, żeby ograniczenie górne i dolne miały tę samą wartość bezwzględną. Ale tak naprawdę wystarczy powiedzieć, że ograniczenia górne i dolne istnieją, a wtedy można je trochę zmienić tak, żeby 3. część definicji była spełniona (chociaż możemy dostać w ten sposób trochę gorsze ograniczenie z którejś strony).

Zadanie 2. Wykaż, że jeśli ciąg $(a n)$ jest ograniczony z góry i z dołu, to jest ograniczony.

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, że $M$ jest dobrym ograniczeniem górnym: dla każdego $n$ mamy $a_n \leq M_1 \leq |M_1| \leq M$.

Sprawdzamy również, że $- M$ jest dobrym ograniczeniem dolnym: dla każdego $n$ mamy $a_n \geq M_2 \geq -|M_2| \geq -M$. Wobec tego $M$ spełnia 3. część definicji dla ciągu $(a n)$ .

Pytania testowe:

Zadanie 3. Ciąg $(a n)$ jest zdefiniowany następująco: $a 1 = 1$ , $a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 1}$. Wykaż, że $(a n)$ jest monotoniczny i ograniczony.

Rozwiązanie (szkic):

Z tych dwóch faktów wynika, że ciąg $(a n)$ ma granicę - wyrazy ciągu o dużych indeksach skupiają się blisko pewnej liczby.

Definicja 3.

Niech $(i_m)_{m=1}^{\infty}$ będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Wówczas ciąg $(b_m)_{m=1}^{\infty}$ zdefiniowany wzorem $b_m = a_{i_m}$ nazywamy podciągiem ciągu $(a_n)_{n=1}^{\infty}$.

To znaczy, że podciąg tworzymy, wybierając niektóre elementy z danego ciągu $(a n)$ i ustawiając je w tej samej kolejności, w jakiej były w $(a n)$ . Inaczej, wybieramy te miejsca w ciągu $(a n)$ , które chcemy wziąć do podciągu. Numery tych miejsc to właśnie ciąg $(i m)$ - warunek, że ten ciąg jest rosnący, oznacza, że nie zmienimy kolejności wyrazów, wybierając je do podciągu. Początek może wyglądać tak:

Jeśli ciąg $(a n)$ jest nieskończony, to tak naprawdę (czyli we wszystkich ważnych matematycznych zastosowaniach) interesują nas tylko nieskończone podciągi.

Z ciągu liczb naturalnych $a n = n$ możemy wybrać na przykład:

podciąg liczb nieparzystych: $b n = a 2 n - 1 = 2 n - 1$ ,
podciąg liczb podzielnych przez 173: $c n = a 173 n = 173 n$ ,
podciąg sześcianów liczb naturalnych: $d_n = a_{n^3} = n^3$

i mnóstwo innych podciągów.

Weźmy teraz ciąg kwadratów liczb naturalnych $a n = n 2$ . Dla ciągu indeksów $i n = 2 n$ dostaniemy podciąg $b_n = a_{i_n} = a_{2n} = (2n)^2$, czyli podciąg kwadratów liczb parzystych.

Pytanie: Jaki ciąg $(i n)$ trzeba wziąć, żeby w ciągu $a n = n 2$ otrzymać podciąg szóstych potęg liczb naturalnych?

Wskazówka:

Odpowiedź:

Pytanie: Ile różnych podciągów ma ciąg stały $a n = c$ ?

Odpowiedź:

Ale może być on "umieszczony" w ciągu $(a n)$ na wiele różnych sposobów, czyli wskazywany przez różne ciągi $(i m)$ .

Niech $(a n)$ i $(b n)$ będą ciągami nieskończonymi (lub skończonymi, ale wtedy koniecznie tej samej długości). Możemy dodać te ciągi, dodając do siebie wyrazy, które stoją w tym samym miejscu: suma to ciąg $(c n)$ zdefiniowany wzorem $c n = a n + b n$ .

Tak samo odejmujemy ciągi, wykonując odejmowanie wyraz po wyrazie: różnica jest określona wzorem $d n = a n - b n$ .

Pytania testowe:

Jeśli $c$ jest liczbą rzeczywistą, a $(a n)$ ciągiem, to możemy pomnożyć $(a n)$ przez stałą $c$ , mnożąc osobno każdy wyraz $a n$ . Otrzymujemy ciąg $(b_n) = c \cdot (a_n)$, zdefiniowany wzorem $b_n = c \cdot a_n$.

Definicja 4.

Powiemy, że ciągi $(a n)$ i $(b n)$ są proporcjonalne, jeśli istnieje liczba $c \in \mathbb{R}$ taka, że $(a_n) = c\cdot (b_n)$.

Jak sprawdzić, czy dwa dane ciągi są proporcjonalne? Jeśli ciągi są zapisane wzorami jawnymi, to nie powinno być problemu: wystarczy zbadać wzór na iloraz kolejnych wyrazów i zobaczyć, czy definiuje on ciąg stały. Jeśli ciąg $\frac{a_n}{b_n}$ jest stale równy $c$ , to oczywiście dla każdego $n$ zachodzi $a_n = c\cdot b_n$.

Może się zdarzyć, że niektóre wyrazy ciągów, których proporcjonalność sprawdzamy, są zerowe. Wtedy nie możemy wykonać dzielenia na wszystkich miejscach, tylko tam, gdzie $b_n \neq 0$. Jeśli na tych miejscach zachodzi równość $\frac{a_n}{b_n} = c$, a na pozostałych zarówno $b n$ , jak i $a n$ są zerowe, to ciągi są proporcjonalne.

Zadanie 4.

Czy ciągi $a n = 2 n$ i $b n = 3 n - 4$ są proporcjonalne?

Rozwiązanie:

Pytania testowe

Możemy też mnożyć ciąg przez inny ciąg, analogicznie do operacji dodawania i odejmowania. Iloczyn ciągów $(a n)$ i $(b n)$ to ciąg $(c n)$ określony wzorem $c_n = a_n \cdot b_n$.

Z dzieleniem trzeba trochę uważać - nie można dzielić przez zero, więc możemy zdefiniować iloraz ciągów $a n$ i $b n$ tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy ciągu $(b n)$ są różne od zera. Jeśli ten warunek jest spełniony, to ilorazem $(a n)$ i $(b n)$ jest ciąg $(c n)$ zdefiniowany wzorem $c_n = \frac{a_n}{b_n}$.

Pytanie: Jak opisać mnożenie ciągu przez stałą za pomocą mnożenia ciągu przez ciąg?

Odpowiedź:

Ciągi - własności i operacje

dla autorów