Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Przyjrzyjmy się dwóm rodzajom ciągów o szczególnych własnościach.

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy wyznaczyć, znając pierwszy wyraz i liczbę r - różnicę: a_n = a₁ + r(n − 1).

1) Oczywiście \(a_1 = a_1 + 0\cdot (n-1)\).

2) Zakładamy, że udowodniliśmy tezę dla liczb mniejszych od n i dowodzimy dla n. Zauważmy, że a_n = a_{n − 1} + r, więc, korzystając z założenia indukcyjnego,

a_n = a_{n − 1} + r = a₁ + r(n − 2) + r = a₁ + r(n − 1).

A można od razu zapisać a_n jako \(a_n = a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - a_{n-2} + \ldots + a_2 - a_1 + a_1\), dodając i odejmując wszystkie wyrazy ciągu o mniejszych indeksach. Teraz wystarczy odpowiednio ustawić nawiasy: \(a_n = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) \ldots + (a_2 - a_1) + a_1\) i zauważyć, że wartość każdego nawiasu to właśnie r, a nawiasów jest oczywiście n − 1.

Tak naprawdę chcielibyśmy powiedzieć, jak w definicji ciągu arytmetycznego, że ciąg (a_n) jest geometryczny, jeśli ilorazy kolejnych wyrazów są takie same: dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) jest równa pewnej ustalonej liczbie r. Ale wtedy pojawia się problem, jeśli chcemy sprawdzić, czy ciąg (a_n) mający wyrazy równe 0 jest geometryczny. Ale tak naprawdę te definicje są prawie równie dobre, bo kłopotliwych ciągów geometrycznych, czyli mających wyrazy zerowe, jest niedużo. Są to wyłącznie ciągi, które mają iloraz równy 0. To oznacza, że ich pierwszy wyraz może być dowolny, ale dalej są już tylko zera. Wobec tego, żeby stosować powyższy warunek zamiast definicji 2, wystarczy najpierw wykluczyć możliwość, że badany ciąg ma od drugiego miejsca same zera.

Zauważmy, że jeśli (a_n) jest ciągiem geometrycznym, a \(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\) - ilorazem sąsiednich wyrazów w tym ciągu, to \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).

Albo można sprowadzić problem do sytuacji ciągu arytmetycznego, logarytmując wyrazy ciągu geometrycznego dostajemy ciąg arytmetyczny.

Dla ciągów tak porządnych, jak arytmetyczne i geometryczne możemy wyprowadzić kilka przydatnych wzorów.

Jest takie stare zadanie: obliczyć sumę liczb naturalnych od 1 do 1000... Na pierwszy rzut oka raczej pracochłonne niż trudne, ale można podejść do tego z pomysłem. Rozwiążmy ogólniejszy problem znalezienia sumy wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.

Żeby to zrobić, wystarczy ustawić liczby w następujące pary: 1 i n, 2 i n − 1, 3 i n − 2... (jak na rysunku) Suma liczb w każdej z par jest równa n + 1. Mamy dwa przypadki.

1) Jeśli n jest parzysta, to każda liczba znajdzie się w jakiejś parze, a par będzie oczywiście \(\frac{n}{2}\). Wobec tego wynikiem jest \(\frac{n}{2}(n+1)\).

2) Jeśli n jest nieparzysta, to powstanie \(\frac{n-1}{2}\) par, a liczba w środku zbioru, czyli \(\frac{n+1}{2}\) pozostanie bez pary. Liczby w parach sumują się do \(\frac{n-1}{2}(n+1)\), a dodając \(\frac{n+1}{2}\) otrzymujemy... \(\frac{n+1}{2}(n-1 + 1) = \frac{n(n+1)}{2}\)!

Połączenie liczb w pary dla n = 10

Połączenie liczb w pary dla n = 11

Postępując analogicznie, można obliczyć sumę dowolnego skończonego ciągu kolejnych liczb naturalnych, nie tylko zaczynającego się od 1. Ale tak naprawdę można zrobić o wiele więcej!

Okazuje się, że podobnie można wyprowadzić wzór na sumę kolejnych wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego (a_n).

Naszym celem jest zapisanie prostego wzoru na \(a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{m-1} + a_m\). Tak jak poprzednio, łączymy wyrazy w pary: a_k z a_m, a_{k + 1} z a_{m − 1}, a ogólnie a_{k + i} z a_{m − i}, jeśli i jest takie, że k + i < m − i (inaczej, \(i < \frac{k+m}{2}\)).

Zauważmy, że a_{k + i} + a_{m − i} = a_k + a_m. Można to uzasadnić, zapisując wyrazy ciągu występujące w tym wzorze za pomocą a₁ i różnicy r:

a_k + a_m = a₁ + r(k − 1) + a₁ + r(m − 1) = a₁ + r(k + i − 1) + a₁ + r(m + i − 1) = a_{k + i} + a_{m − i}.

Wobec tego sumy we wszystkich parach są równe. Tak jak powyżej, trzeba rozpatrzyć dwa przypadki, w zależności od parzystości liczby wyrazów, które sumujemy, i otrzymujemy wzór:

Czasami przydaje się trochę inny zapis tego wzoru, korzystający tylko z wartości a₁ i różnicy r:

\(\frac{(m-k+1)(a_k + a_m)}{2} = \frac{(m-k+1)(a_1 + (k-1)r + a_1 + (m-1)r)}{2} = a_1(m-k+1) + \frac{(m-k+1)(m+k-2)r}{2}\).

Sumę k początkowych wyrazów ciągu będziemy oznaczać przez S_k (lub S_k(a_n), jeśli trzeba będzie zaznaczyć, o jakim ciągu mówimy): \(S_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_{k} = \sum_{n=1}^{k} a_n\).

Z twierdzenia 2 wynika wzór, który warto zapamiętać:

Znów można to zapisać, używając tylko a₁ i różnicy r:

\(S_k(a_n) = ka_1 + \frac{rk(k-1)}{2}\).

Najpierw przydatny wzór na sumę kolejnych potęg danej liczby:

\(1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}\).

Żeby policzyć sumę k początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_n) o ilorazie q, korzystamy ze wzoru a_n = a₁q^{n − 1}.

\(S_n = \sum_{n=1}^k a_n = \sum_{n=1}^k a_1 q^{n-1} = a_1 \sum_{n=1}^k q^{n-1} = a_1 \frac{q^n - 1}{q-1}\).

Łatwo stąd wprowadzić wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu od a_m do a_k, odejmując S_{k − 1} od S_m (oczywiście musi być \(m \geq k\)): \(a_k + \ldots + a_m = S_m - S_{k-1} = \frac{a_1}{q-1}(q^m - q^{k-1}) = \frac{a_1 q^{k-1}}{q-1}(q^{m-k+1} - 1)\).

Dla ciągu arytmetycznego wypisywanie wzoru na iloczyn kolejnych elementów nie ma większego sensu - można to potraktować jako (męczące) zadanie...

Niech (a_n) będzie ciągiem geometrycznym. Chcemy wyznaczyć iloczyn \(a_k \cdot a_{k+1} \cdots a_{m-1}\cdot a_m\). Postępujemy właściwie tak samo, jak w przypadku ciągu arytmetycznego: łączymy w pary wyrazy a_{k + i} z a_{m − i} i zauważamy, że iloczyn wyrazów w każdej parze jest równy \(a_k\cdot a_m\). Po nietrudnych obliczeniach (to dobre zadanie!) otrzymujemy

Można też zapisać ten wzór, używając tylko a₁ i ilorazu q: iloczyn kolejnych wyrazów od a_m do a_k jest równy \(a_1^{m-k+1}q^{\frac{(m+k-2)(m-k+1)}{2}}\).