Skończone ciągi rzecz jasna pojawiają się wszędzie - wystarczy wspomnieć numery telefonów, numery kont bankowych i całe mnóstwo podobnych przykładów. Ciągami są również słowa, albo ogólniej teksty; nie są to co prawda ciągi liczbowe, tylko ciągi liter (ale z punktu widzenia matematyki i informatyki również warto się nimi interesować).
Można powiedzieć, że skończonymi ciągami (najczęściej zer i jedynek) zajmuje się kryptografia. Szyfrowanie to przekształcenie pewnego ciągu znaków w inny ciąg w taki sposób, żeby można było to przekształcenie wykonać w odwrotnym kierunku, czyli z zaszyfrowanego tekstu odzyskać jego pierwotną wersję. Najprostsze szyfry polegają na przykład na dodaniu do początkowego ciągu pewnego ustalonego ciągu, czyli klucza znanego przez nadawcę i odbiorcę wiadomości. Odbiorca, żeby odszyfrować komunikat, musi wykonać odejmowanie. (Jeśli chcemy w wyniku działań otrzymywać ciągi zer i jedynek, musimy brać wyniki mod 2.) Inny prosty szyfr można otrzymać, ustalając, że będziemy zamieniać krókie (kilkuznakowe) sekwencje zer i jedynek na inne sekwencje - wtedy kluczem będzie tabela zamian sekwencji. Oczywiście takie szyfry bardzo łatwo złamać i od setek lat nie są stosowane.
Ciągi nieskończone w obserwowanej przez nas rzeczywistości pojawiają się rzadko, jak zresztą nieskończoność w ogóle. Ale jednak czasami można je zobaczyć. Chyba najprostszym przykładem są przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.
Jak wiadomo, bardzo wiele (a nawet większość) liczb rzeczywistych ma nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Tę własność mają liczby niewymierne (niewyrażalne jako ułamek zwykły), na przykład liczba π, która wyraża stosunek długości okręgu do jego średnicy. Ale niektóre liczby wymierne także mają nieskończone rozwinięcia dziesiętne. Różnica jest taka, że rozwinięcie liczby wymiernej jest okresowe, czyli od pewnego momentu pewna ustalona sekwencja cyfr się powtarza, natomiast rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej nie jest okresowe.
Kolejne, coraz dłuższe fragmenty rozwinięcia dziesiętnego możemy traktować jako ciąg. Wyrazy takiego ciągu coraz lepiej przybliżają daną liczbę - ta liczba jest jego granicą. Dla liczby π początkowe, niezbyt dokładne przybliżenia, to
a1 = 3
a2 = 3,1
a3 = 3,14
a4 = 3,141
a10 = 3,141592653
Łatwo zauważyć, że an, czyli przybliżenie z n − 1 cyframi po przecinku, różni się od prawidłowej wartości π o nie więcej niż \(\frac{1}{10^{n-1}}\), czyli faktycznie ciąg (an) zbiega do π. Co ważne, wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami wymiernymi, ponieważ mają skończone rozwinięcia dziesiętne. Wobec tego umiemy łatwo podać ciąg liczb wymiernych zbieżny do π. I oczywiście tą samą metodą dla dowolnie wybranej liczby rzeczywistej możemy skonstruować ciąg liczb wymiernych, którego kolejne wyrazy coraz lepiej ją przybliżają.
Ciągi arytmetyczne opisują zjawiska, w których występuje stały przyrost (albo ubytek) pewnej wartości. Przyjrzyjmy się następującej sytuacji: Przewiduje się (skąd ten optymizm?), że studia na kierunkach technicznych w Polsce w najbliższych latach będą cieszyć się rosnącym zainteresowaniem studentów. Według wstępnych oszacowań w okresie od 2012 do 2025 roku liczba absolwentów tych kierunków co roku ma się zwiększać o 400. Przewidywana liczba absolwentów tych kierunków w roku 2012 to 17500. Ilu studentów według tych oszacowań skończy studia na kierunkach technicznych w Polsce w okresie od 2012 do 2025?
(Uwaga: dane są absolutnie fikcyjne.)
Jest to całkiem praktyczne (i uzasadnione w chwili obecnej) pytanie. Łatwo zauważyć, że liczby absolwentów kierunków technicznych w kolejnych latach tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 400. A pytanie o sumaryczną liczbę absolwentów w okresie 2012-2025 to po prostu pytanie o sumę 14 początkowych wyrazów tego ciągu. Wystarczy przypomnieć sobie wzór i mamy gotową prognozę odnośnie stanu kształcenia na kierunkach technicznych w najbliższym czasie. Szkoda, że rzeczywistość nie jest taka prosta...
Spróbujmy teraz zmienić jeden szczegół: powiedzmy, że liczba absolwentów kierunków technicznych co roku ma rosnąć o 4\%. Czy ciąg liczb absolwentów w podanym czasie ma jakieś ciekawe własności? Jeśli przez ai oznaczymy liczbę absolwentów w roku 2011 + i, to ai + 1 otrzymujemy, dodając do ai wartość \(a_i \cdot 4\%\). Czyli \(a_{i+1} = a_i + a_i \cdot 4\% = a_i + 0,04\cdot a_i = 1,04\cdot a_i\) - otrzymaliśmy ciąg geometryczny o ilorazie 1,04. Wobec tego pytanie o sumaryczną liczbę absolwentów w podanym okresie sprowadza się do zastosowania wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Podobnie ciąg geometryczny pojawia się w finansach. Dla lokaty o stałym oprocentowaniu kwoty po kolejnych kapitalizacjach odsetek będą tworzyły właśnie ciąg geometryczny - uzasadnia się to analogicznie, jak w poprzedniej sytuacji. Trochę dokładniejszy, ale również ograniczający się do najprostszych problemów opis zastosowań finansowych można znaleźć między innymi w wielu szkolnych podręcznikach matematyki. Jak zwykle, życie nie jest takie proste, jak podstawowy model matematyczny. Żeby dokładnie przeanalizować możliwe zyski i straty z poważnych inwestycji, trzeba uwzględnić bardzo wiele różnych czynników - ciągi geometryczne nie wystarczają już do opisu tych problemów.
Zastosowanie granic najłatwiej jest pokazać w analizie matematycznej. Jeśli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to nasza intuicja jest taka, że kolejne wyrazy ciągu (an) coraz lepiej przybliżają liczbę g. Oczywiście nie musi być dokładnie tak - może na przykład wyrazy od a1 do a1000 są odległe od g o nie więcej niż 0,005, nagle pojawia się wyraz a1001 = g + 100, a kolejne wyrazy znowu są blisko g. Ale, z definicji granicy, jeśli będziemy chcieli przybliżyć g z dokładnością do dowolnie wybranego ε, to od pewnego miejsca w ciągu (an) wszystkie wyrazy będą tak dobrymi przybliżeniami. Łatwym do zrozumienia przykładem jest omawiany wcześniej ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych.
Używając ciągów zbieżnych do g jako różnych sposobów przybliżania liczby g, możemy wyrażać różne przydatne własności funkji. Na przykład wartości funkcji f na argumentach bliskich liczbie g są bliskie wartości f(g). To jest intuicja stojąca za pojęciem ciągłości funkcji f w punkcie g. Funkcje spełniające ten warunek dla wszystkich liczb g z dziedziny to funkcje ciągłe - dość porządne funkcje, które w różnych miejscach w matematyce się pojawiają. (Tak naprawdę funkcje nie spełniające warunku ciągłości często są uznawane za zbyt mało porządne, żeby się nimi zajmować...)
Inna własność, którą można wyrazić za pomocą ciągów zbieżnych, to: w pewnym otoczeniu liczby g funkcja f zachowuje się podobnie jak funkcja liniowa h(x) = ax + b. Ta własność jest blisko związana z pojęciem pochodnej funkcji, które definiuje się, rozpatrując ciągi zbieżne do punktów z dziedziny funkcji.
Żeby przyjrzeć się dokładniej definicjom tych pojęć i dowiedzieć się, po co one zostały wprowadzone oraz jakie informacje o funkcjach nam dają, warto sięgnąć do podręczników analizy matematycznej.