Zadanie 1.10.1: Ile jest liczb naturalnych od 1 do 1000 włącznie podzielnych przez 7?
Zadanie 1.10.2: Ile jest liczb naturalnych od 100 do 1000 włącznie dających resztę 2 przy dzieleniu przez 7?
Zadanie 1.10.3: Ile jest liczb naturalnych od 1 do 500 włącznie dających resztę 2, 3 lub 4 przy dzieleniu przez 7?
Zadanie 1.10.4: Ile jest liczb naturalnych od 1 do 1000 włącznie podzielnych przez 3 i niepodzielnych przez 7?
Zadanie 1.10.5: Ile jest liczb naturalnych od 1 do 500 włącznie podzielnych przez 3, 5 lub 7?
Zadanie 1.10.6: Ile różnych wyników (w postaci par liczb) można uzyskać rzucając dwukrotnie kostką?
Zadanie 1.10.7: Ile jest różnych ciągów składających się z co najwyżej pięciu symboli: kropek lub kresek (takich jak w alfabecie Morse'a)?
Zadanie 1.10.8: Ile można utworzyć różnych ciągów składających się dokładnie z \(n\) znaków: kropek lub kresek?
Zadanie 1.10.9: Ile można utworzyć różnych ciągów składających się co najwyżej z \(n\) znaków: kropek lub kresek?
Zadanie 1.10.10: Ile różnych trzyliterowych wyrazów (ciągów liter) można utworzyć z czterech liter A, C, G i T?
Zadanie 1.10.11: Ile różnych siedmiocyfrowych numerów telefonów można utworzyć z cyfr od 0 do 9 zakładając, że żaden numer nie może zaczynać się cyfrą 6, 8, 9 i 0?
Zadanie 1.10.12: Ile można utworzyć różnych samochodowych tablic rejestracyjnych składających się z trzech liter i czterech cyfr? (Wolno używać 24 liter.)
Zadanie 1.10.13: Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych mających różne cyfry?
Zadanie 1.10.14: Ile jest parzystych liczb naturalnych trzycyfrowych mających różne cyfry?
Zadanie 1.10.15: W finale biegu na 100 metrów startuje ośmiu zawodników. Na ile sposobów mogą być wśród nich rozdzielone trzy medale: złoty, srebrny i brązowy?
Zadanie 1.10.16: W rozgrywkach ligi piłkarskiej bierze udział 16 drużyn. Ile meczów muszą ze sobą rozegrać, by każda drużyna rozegrała dokładnie jeden mecz z każdą inną?
Zadanie 1.10.17: W grupie liczącej 24 osoby 11 osób zna język angielski, 12 osób zna język francuski i 3 osoby znają oba języki. Ile osób nie zna żadnego z tych języków?
Zadanie 1.10.18: W grupie liczącej 17 osób 7 osób zna język angielski, 8 osób zna język francuski i 4 osoby nie znają żadnego z tych języków. Ile osób zna oba języki?
Zadanie 1.10.19: W pewnej grupie składającej się z 33 osób:
- 16 osób zna język angielski,
- 15 osób zna język francuski,
- 19 osób zna język niemiecki,
- 7 osób zna języki angielski i francuski,
- 8 osób zna języki angielski i niemiecki,
- 10 osób zna języki francuski i niemiecki,
- 4 osoby znają wszystkie trzy języki.
Ile osób nie zna żadnego języka?
Zadanie 1.10.20: W pewnej grupie składającej się z 33 osób:
- 16 osób zna język angielski,
- 15 osób zna język francuski,
- 17 osób zna język niemiecki,
- 7 osób zna języki angielski i francuski,
- 6 osób zna języki angielski i niemiecki,
- 9 osób zna języki francuski i niemiecki,
- 3 osoby nie znają żadnego języka.
Ile osób zna wszystkie trzy języki?
Zadanie 1.10.21:
W pewnej grupie składającej się z 33 osób:
- 18 osób zna język angielski,
- 17 osób zna język francuski,
- 12 osób zna język niemiecki,
- 7 osób zna języki angielski i niemiecki,
- 5 osób zna języki francuski i niemiecki,
- 2 osoby znają wsystkie trzy języki,
- 6 osób nie zna żadnego języka.
Ile osób zna języki angielski i francuski?
Zadanie 1.10.22:
W pewnej grupie składającej się z 33 osób:
- 18 osób zna język angielski,
- 15 osób zna język niemiecki,
- 9 osób zna języki angielski i francuski,
- 6 osób zna języki angielski i niemiecki,
- 5 osób zna języki francuski i niemiecki,
- 2 osoby znają wszystkie trzy języki,
- 2 osoby nie znają żadnego języka.
Ile osób zna język francuski?
Zadanie 1.10.23: Na ile sposobów można posadzić na ławce 5 osób z grupy 9 osób?
Zadanie 1.10.24: Na ile sposobów można uporządkować 6 liczb?
Zadanie 1.10.25: Na ile sposobów można uporządkować 9 liczb (od 1 do 9) w taki sposób, by liczby 1, 2 i 3 stały obok siebie (w dowolnej kolejności)?
Zadanie 1.10.26: Ile czteroliterowych wyrazów (niekoniecznie sensownych) można utworzyć z 32 liter polskiego alfabetu?
Zadanie 1.10.27: W jedenastopiętrowym domu jedzie windą 7 osób. Na ile sposobów mogą one wysiadać z windy tak, by na jednym piętrze wysiadła co najwyżej jedna osoba?
Zadanie 1.10.28: Na ile sposobów można uporządkować liczby od 1 do 7 tak, by liczby 2, 3 i 5 stały na pierwszych trzech miejscach?
Zadanie 1.10.29: Na ile sposobów można wybrać 5 liczb ze zbioru siedmioelementowego?
Zadanie 1.10.30: Ile trzyelementowych podzbiorów ma zbiór ośmioelementowy?
Zadanie 1.10.31: Na ile sposobów można wybrać 5 kart z talii 24 kart?
Zadanie 1.10.32: Na ile sposobów można wybrać 13 kart z talii 52 kart?
Zadanie 1.10.33: Na ile sposobów można wybrać 6 liczb spośród 49 liczb?
Zadanie 1.10.34: Na ile sposobów można wybrać 3 chłopców i 2 dziewczyny z klasy liczącej 13 chłopców i 12 dziewcząt?
Zadanie 1.10.35: Na ile sposobów można wybrać 5 pików, 2 kiery, 3 kara i 3 trefle z talii 52 kart?
Zadanie 1.10.36: Na ile sposobów można wybrać 13 kart z talii 52 kart w taki sposób, by w jednym kolorze było 5 kart, w dwóch innych po 3 karty i w czwartym 2 karty?
Zadanie 1.10.37: Na ile sposobów można wybrać 13 kart z talii 52 kart w taki sposób, by w jednym kolorze były 4 karty, a w trzech pozostałych po 3 karty?
Zadanie 1.10.38: Na ile sposobów można wybrać 13 kart z talii 52 kart w taki sposób, by w dwóch kolorach były po 4 karty, w trzecim 3 karty i w czwartym 2 karty?
Zadanie 1.10.39: Z talii 52 kart wybieramy 10 kart. W ilu przypadkach
wybierzemy:
- dokładnie jednego asa,
- co najmniej jednego asa,
- dokładnie dwa asy,
- co najmniej dwa asy?
Zadanie 1.10.40: Na ile sposobów możemy posadzić na ławce 10 chłopców i 7 dziewcząt tak, aby żadne dwie dziewczyny nie siedziały obok siebie?
Zadanie 1.10.41: Na ile sposobów można podzielić zbiór sześcioelementowy na trzy zbiory dwuelementowe?
Zadanie 1.10.42: Na ile sposobów można podzielić zbiór \(mn\)-elementowy na \(n\) zbiorów \(m\)-elementowych?
Zadanie 1.10.43: Udowodnij, że \((n^2)!\) dzieli się bez reszty przez \((n!)^{n+1}\).
Zadanie 1.10.44: Udowodnij, że:
$$ {n \choose 0} + {n \choose 1} +\ldots+ {n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n. $$
Zadanie 1.10.45: Udowodnij, że jeśli \(k \le m \le n\), to:
$$ {n \choose m}{m \choose k} = {n \choose k}{n-k \choose m-k}. $$
Zadanie 1.10.46: Udowodnij, że jeśli \(k \le m\) i \(k \le n\), to:
$$ {n \choose 0} \cdot {m \choose k} + {n \choose 1} \cdot {m \choose k-1} +\ldots+ {n \choose k-1} \cdot {m \choose 1} + {n \choose k} \cdot {m \choose 0} = {m+n \choose k}. $$
Zadanie 1.10.47: Udowodnij, że jeśli \(n \ge 1\), to:
$$ 1 \cdot {n \choose 1} + 2 \cdot {n \choose 2} +\ldots+ (n-1) \cdot {n \choose n-1} + n \cdot {n \choose n} = n \cdot 2^{n-1}. $$
Zadanie 1.10.48: Udowodnij, że jeśli \(n \ge 2\), to:
$$ 2 \cdot 1 \cdot {n \choose 2} + 3 \cdot 2 \cdot {n \choose 3} +\ldots+ (n-1) \cdot (n-2) \cdot {n \choose n-1} + n \cdot (n-1) \cdot {n \choose n} = n(n-1)2^{n-2}. $$
Zadanie 1.10.49: Udowodnij, że jeśli \(n \ge 1\), to:
$$ 1^2 \cdot {n \choose 1} + 2^2 \cdot {n \choose 2} +\ldots+ (n-1)^2 \cdot {n \choose n-1} + n^2 \cdot {n \choose n} = n(n+1) \cdot 2^{n-2}. $$
Zadanie 1.10.50: Udowodnij, że jeśli \(m \le n\), to:
$$ {m \choose m} + {m+1 \choose m} +\ldots+ {n-1 \choose m} + {n \choose m} = {n+1 \choose m+1}. $$