Opisane powyżej operacje będziemy ze sobą łączyć, tworząc różnorodne wyrażenia ('wzory'). Najprostrze takie wzory to po prostu wartości \(\top,\bot\). Bardziej złożone, powstają jako połączenie prostszych jakąś operacją (na przykład \(\wedge\)). Przykład takiego wyrażenia to \(\left((\bot\vee\top)\Rightarrow \top\right)\wedge\top\). Jak obliczyć wartość takiego wyrażenia opisane jest w następnej sekcji.
Podobnie jak w arytmetyce, oprócz operacji i stałych, używać będziemy też zmiennych, czyli literek w miejsce których można wstawić wartość logiczną. Zmienne takie zazwyczaj będą oznaczone P,Q,R.
Na przykład poprawnymi wyrażeniami rachunku zdań, są:
- \((P\vee Q)\wedge R\) - wyrażenie zawierające zmienne P,Q,R,
- \(R\vee (\bot\wedge \top)\),
- \(P\Rightarrow (P\wedge Q)\).
Wyliczanie wartości
Wartość logiczną wyrażenia możemy jednoznacznie określić, jeśli wpierw przypiszemy wartość logiczną każdej zmiennej występującej w wyrażeniu. Na przykład jeśli P i R mają wartość prawda, a Q ma wartość fałsz, to całe wyrażenie \((P\vee Q)\wedge R\) ma wartość prawda.
Aby wyliczyć wartość wyrażenia, dla danych wartości zmiennych, wykonujemy dwa kroki:
- Podstawiamy wartości zmiennych do wyrażenia,
- Korzystamy z definicji operacji \(\wedge,\vee,\lnot,\ldots\), by wyliczyć wartość całego wyrażenia.
Obliczmy wartość wyrażenia \((P\wedge Q)\vee ((P\vee \lnot Q)\Rightarrow P)\) dla \(P\equiv \top, Q\equiv\bot\):
- Podstawiamy, otrzymując \((\top\wedge \bot)\vee ((\top\vee \lnot \bot)\Rightarrow \top)\).
- Obliczamy po kolei wartości (podkreślone jest działanie, które zostanie wykonane)
- \((\underline{\top\wedge \bot})\vee ((\top\vee \lnot \bot)\Rightarrow \top)\),
- \(\bot\vee ((\top\vee \underline{\lnot \bot})\Rightarrow \top)\),
- \(\bot\vee ((\underline{\top\vee \top})\Rightarrow \top)\),
- \(\bot\vee (\underline{\top\Rightarrow \top})\),
- \(\underline{\bot\vee \top}\),
- \(\top\).
Na koniec okazało się, że po podstawieniu całe wyrażenie ma wartość \(\top\).
Obliczenia takie są bardzo podobne do obliczeń arytmetycznych. A nawet są prostsze, bo nie występują tutaj żadne duże liczby, ani ułamki. Zamiast tego są jedynie dwie wartości: \(\top,\bot\).