Tożsamości

Jeśli niezależnie od zmiennych występujących w danym wyrażeniu, jest ono zawsze równe \(\top\), nazywamy takie wyrażenie tautologią rachunku zdań. Na przykład ostatnie równanie z listy pokazuje, że tautologią jest \(P\Rightarrow P\). Oto przykłady tautologii:

1. \(P\vee\top\) : P lub prawda,
2. \(P\Rightarrow P\) : jeśli P to P,
3. \(P\vee \lnot P\) : albo P, albo nie P,
4. \(\lnot (P\wedge\lnot P)\) : fałszem jest ,P i nie P',
5. \(\lnot(P\wedge Q)\Leftrightarrow \lnot P\vee\lnot Q\) : ,nie (P i Q)', to to samo co ,nie P lub nie Q'.

Aby sprawdzić, że jakieś zdanie jest tautologią, wystarczy sprawdzić czy niezależnie od wartości zmiennych, zawsze wychodzi \(\top\). Czasami jednak można zrobić to nieco sprytniej, rozważając różne przypadki. Weźmy na przykład tautologię \(P\Rightarrow (P\vee Q)\). Wszystkich możliwych par wartości P,Q jest cztery. Można jednak najpierw rozważyć tylko wartość P:

• Jeśli \(P=\bot\), to cała implikacja ma wartość \(\top\).
• Jeśli natomiast \(P=\top\), to \(P\vee Q\equiv \top\), niezależnie od Q.

Czyli w obu przypadkach wartość całego wyrażenia, niezależnie od Q, jest równa \(\top\). Czyli sprawdziliśmy, że zdanie jest tautologią rozpatrując tylko dwa przypadki, zamiast czterech.

Nie ma ogólnego przepisu, jakie przypadki rozpatrywać, by sprawdzić możliwie szybko czy dane zdanie jest tautologią.

Intuicje

Tautologie rachunku zdań mają silny związek z rozumowaniami z życia codziennego. Możemy mianowicie zamiast liter P,Q,R w tautologii wstawić jakieś zdania dotyczące świata. Na przykład dla P równego ,będzie padać', tautologia \(P\vee\lnot P\), brzmi ,będzie padać, lub nie będzie padać'. Jest to tautologia często wykorzystywana przez górali, zapytanych o ich przewidywania dotyczące pogody.

\((P\vee \lnot P)\Rightarrow (H\vee\lnot H)\).

Aby sprawdzić, że jest to tautologia, skorzystajmy z faktu, że tautologią jest zdanie postaci \(Q\vee \lnot Q\). Czyli niezależnie od wartości P,H, powyższa implikacja ma postać \(\top\Rightarrow \top\). Czyli jest prawdziwa.

Pozostaje sprawdzić, że to jest tautologia rachunku zdań. Rozpatrzmy dwa przypadki:

1. Jeśli \(P\equiv \top\), to zdanie jest po prostu prawdziwe, bo prawa strona znaku \(\Rightarrow\) jest prawdziwa.
2. Rozpatrzmy przypadek \(P\equiv \bot\). Pokażemy, że wtedy niezależnie od K zachodzi \(((P\vee K)\wedge \lnot K)\equiv \bot\). Wtedy lewa strona znaku \(\Rightarrow\) będzie fałszywa, więc całe zdanie będzie prawdą. Znowu dwa przypadki:
   1. \(K\equiv \top\). Wtedy \(P\vee K\) jest prawdą, ale nie jest prawdą \(((P\vee K)\wedge \lnot K)\), bo prawa strona znaku \(\wedge\) jest fałszywa.
   2. \(K\equiv \bot\). Wtedy z kolei \(P\vee K\) jest fałszywe, bo zarówno P, jak i K są fałszywe. Więc nie zachodzi \(((P\vee K)\wedge \lnot K)\).

Należy jednak uważać, gdyż intuicje z życia codziennego mogą doprowadzić nas do dziwnych wniosków. Na przykład, jeśli \(Q\equiv \top\), to niezależnie od P, prawdą jest zdanie \(P\Rightarrow Q\). Podstawmy za P jakieś zdanie (niekoniecznie prawdziwe), na przykład ,prawdą jest teoria Wielkiego Wybuchy'. Za Q natomiast, podstawmy zdanie prawdziwe, na przykład ,Ziemia krąży wokół Słońca'. Otrzymujemy wtedy prawdziwe (aczkolwiek nie intuicyjne) zdanie:

Jeśli prawdą jest teoria Wielkiego Wybuchu, to Ziemia krąży wokół Słońca.

Z formalnego punktu widzenia, jest to zdanie postaci \(Q\Rightarrow \top\), czyli niezależnie od Q ma wartość logiczną \(\top\). Ale w potocznym rozumieniu, zdanie to sugeruje jakąś zależność przyczynowo-skutkową pomiędzy podanymi faktami.