Implikacje

Jednym z głównych praw rachunku zdań jest prawo dedukcji. Mówi ono, że jeśli założenie, że zachodzi jakaś własność α, doprowadza nas do wniosku, że zachodzi też β, to tautologią jest implikacja $\alpha\Rightarrow \beta$. Formalne uzasadnienie tego prawa wykracza poza prezentowany tutaj materiał.

Rozważmy na przykład implikację $(P\wedge Q)\Rightarrow P$. Jak łatwo sprawdzić, jest to tautologia rachunku zdań. Ale można przeprowadzić jej dowód, korzystając z prawa dedukcji:

1. załóżmy, że zachodzi $P\wedge Q$,
2. wtedy w szczególności zachodzi też P,
3. więc w oparciu o prawo dedukcji, prawdą jest implikacja $(P\wedge Q)\Rightarrow P$.

Kontrapozycja

Powiedzmy, że mamy dwie zmienne P,Q. Rozważmy dwie implikacje:

1. $P\Rightarrow Q$,
2. $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$.

Okazuje się, że są one równoważne, tzn. zawsze zachodzi $P\Rightarrow Q\equiv \lnot Q\Rightarrow \lnot P$.

Można to zrozumieć w następujący sposób: $P\Rightarrow Q$ mówi, że ilekroć zachodzi P, musi też zachodzić Q. Pomyślmy co będzie, gdy $Q\equiv\bot$? Gdyby wtedy zachodziło P, to była by sprzeczność, bo było by P i nie było by Q. Więc jeśli $P\Rightarrow Q$ i $\lnot Q$ mają być prawdą, to musi też być prawdą $\lnot P$. Czyli, żeby lewa strona równości była prawdą, musi nią też być prawa strona.

Analogicznie w drugą stronę, można pokazać, że jeśli prawdą ma być $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$, to prawdą też musi być $P\Rightarrow Q$.

Warto zapamiętać powyższą równość, pozwala ona zamieniać jedną implikację na inną (z negacjami).

Implikacja w drugą stronę

Trzeba jednak uważać, gdyż implikacje $P\Rightarrow Q$ i $Q\Rightarrow P$, nie są równoważne. Pomylenie ich jest bardzo częstym błędem. Weźmy na przykład zdanie z życia codziennego:

Jeśli zdam egzamin, to pójdę na lody.

Czy z tego zdania wynika, co będzie jak nie zdam egzaminu? Bardzo wiele osób odpowie:

Oczywiście, jak nie zdasz egzaminu, nie pójdziesz na lody, bo nie będziesz miał nastroju.

Z punktu widzenia logiki, takie rozumowanie jest błędne. Oznaczmy przez E zdanie ,zdam egzamin', a przez L zdanie ,pójdę na lody'. Zacytowaną powyżej deklarację, możemy zapisać $E\Rightarrow L$. Implikacja w drugą stronę to $L\Rightarrow E$, czyli równoważnie $\lnot E\Rightarrow \lnot L$.

Wyrażenie $E\Rightarrow L$ jest prawdziwe w trzech przypadkach:

• $E\equiv L\equiv\top$, czyli egzamin zdany, lody zjedzone.
• $E\equiv L\equiv\bot$, czyli egzamin oblany, a zamiast lodów herbata w domu.
• $E\equiv \bot$, $L\equiv \top$, czyli egzamin oblany, ale mimo wszystko lody (na pociechę).

Czyli w szczególności, z logicznego punktu widzenia, prawdą jest deklaracja ,jeśli zdam, to zjem lody', w sytuacji gdy nie zdam egzaminu i mimo wszystko zjem lody. W logice przekłada się to na sytuację, gdy $E=\bot, L=\top$, prawdą jest $E\Rightarrow L$ i nie jest prawdą $\lnot E\Rightarrow \lnot L$ (czyli też nie jest prawdą $L\Rightarrow E$).

Przykład ten ilustruje subtelną różnicę pomiędzy językiem codziennym, a logiką. Ludzie często wypowiadają zdania takie jak powyżej, starając się w ten sposób wyrazić więcej niż mówi logika. Na przykład mama mówi do dziecka:

Jeśli nie sprzątniesz pokoju, nie będziesz mógł oglądać telewizji.

Mama w istocie powiedziała: (nie sprzątniesz pokoju) $\Rightarrow$ (nie oglądasz telewizji). Ale dziecko wierzy, że (sprzątnę pokój) $\Rightarrow$ (będę mógł oglądać telewizję), czego mama wcale nie powiedziała. Jako ćwiczenie warto zapisać te zdania w języku logiki i zobaczyć, jakie implikacje w których sytuacjach zachodzą, a w których nie zachodzą.

Implikacja $\Leftrightarrow$

Również operator podwójnej implikacji $\Leftrightarrow$, ma swoje szczególne znaczenie. Mianowicie wyrażenie $P\Leftrightarrow Q$ jest prawdziwe w dwóch sytuacjach:

1. Gdy $P\equiv Q\equiv \top$ (bo prawdziwa jest implikacja $\top\Rightarrow \top$).
2. Gdy $P\equiv Q\equiv \bot$ (bo prawdziwa jest implikacja $\bot\Rightarrow \bot$).

Czyli w sumie $P\Leftrightarrow Q$ jest prawdą dokładnie wtedy, gdy $P\equiv Q$. Z tego powodu, często symbole $\Leftrightarrow$ i $\equiv$ są mylone. Należy jednak pamiętać o różnicy:

• $\Leftrightarrow$ to operacja, taka jak + , * , czy − . Gdy po obu stronach $\Leftrightarrow$ postawi się jakieś wartości logiczne, całe wyrażenie też ma jakąś wartość logiczną.
• $\equiv$ to równość w logice, analogiczna do znaku = w arytmetyce.

Rozumiejąc różnicę pomiędzy tymi symbolami, można z nich korzystać i pisać równoważnie:

• [...] wtedy wyrażenie $\alpha \Leftrightarrow \beta$ ma wartość $\top$. [...]
• [...] wtedy $\alpha\equiv \beta$. [...]

Eliminacja implikacji

Z definicji implikacji, zdanie $P\Rightarrow Q$ jest równoważne zdaniu $Q\vee\lnot P$. Czyli w każdym miejscu gdzie występuje implikacja można ją zamienić na alternatywę i negację. Dzięki temu, każde wyrażenie rachunku zdań można doprowadzić do równoważnej postaci, w której występują tylko operacje $\vee,\wedge,\lnot$.