Wyobraźmy sobie, że w roku 1654 Pierre de Fermat opublikowałby jakiś wzór dotyczący liczb, nazwijmy go prawem gamma. Co prawda nie udało mu się pokazać, że wszystkie liczby je spełniają, ale zatrudnił 200 rachmistrzów, sprawdzili oni liczby od 1 do 1'000'000 i prawo gamma zawsze zachodziło. W oparciu o to prawo, Gauss, Sierpiński i inni pisali liczne prace.
Wreszcie w 1967 roku powstał program komputerowy który pozwalał szybko i bezpiecznie przesyłać dane falami radiowymi. Zasada działania tego programu opierała się na pracach Gaussa, więc pośrednio też na prawie gamma. Program działał bardzo skutecznie, udało się nawet przesłać dane z Los Angeles, do odległego o 12 tysięcy kilometrów Tokio.
Aż tu nagle, około roku 1980 program przestał działać. Przesyłane dane docierały zakłócone, lub wcale nie docierały. Wielu matematyków badało problem, ale nie mogli zrozumieć, dlaczego program nie działa. Wreszcie okazało się, że prawo gamma nie zachodzi dla liczby 7'543'432. A właśnie około roku 1980 komputery stały się tak szybkie, a liczba danych tak duża, że w obliczeniach występowały czasami tak wielkie liczby.
Wobec tego prawo gamma zostało wykreślone z podręczników, przepisano też od nowa prace Fermata, Gaussa i Sierpińskiego. Przy okazji okazało się, że trzeba zmienić konstrukcję pewnego modelu telewizora, która też korzystała z prawa gamma.
Oczywiście powyższa historia nie jest prawdziwa. Ale tłumaczy, dlaczego matematycy chcą mieć absolutną pewność. Dzięki temu raz udowodnione twierdzenia są prawdziwe zawsze, niezależnie od sposobu w jaki się z nich korzysta.
Przykład
Poniżej, zaprezentowane jest przykładowe rozumowanie używane w matematyce. Pomimo skomplikowanego sposobu wnioskowania, jest ono w pełni ścisłe i poprawne. Więcej takich dowodów znaleźć można w kolejnych rozdziałach.
Korzystając z praw logiki, pokażemy że istnieją takie liczby niewymierne a,b, że ab jest liczbą wymierną. Korzystać będziemy z faktu, że \(\sqrt{2}\) jest liczbą niewymierną. Rozpatrzymy dwa przypadki, w obu szukana liczba b, będzie równa \(\sqrt{2}\). Rozważmy wartość \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\):
- Jeśli \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) jest liczbą wymierną, to \(a=\sqrt{2},b=\sqrt{2}\), są szukanymi liczbami a,b - obie są niewymierne i ab jest wymierna.
- Drugi przypadek jest taki, że \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\) jest liczbą niewymierną. Ale wiemy, że \(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2\). Czyli \(a=\sqrt{2}^\sqrt{2}\) jest niewymierna i ab = 2 jest wymierne.
W każdym z przypadków istnieje liczba a, dla której \(a^\sqrt{2}\) jest wymierne. Więc taka liczba w ogóle istnieje, pomimo tego, że nie wiemy, który przypadek zachodzi. W ten sposób pokazaliśmy, że pewna liczba istnieje, ale nie określiliśmy dokładnie, czy jest to \(\sqrt{2}\), czy \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\).