Potęgi. Ćwiczenia - cz.1.

Ćwiczenie 1.1 Zapisz w prostszej postaci:

1. $2^5 \cdot 2^2\;$,
2. $\frac{2^5}{2^2}\;$,
3. $\frac{2^6}{2^8}\;$,
4. $4^{10}\cdot \left(\frac {1}{2}\right)^{10}\;$,
5. $\frac{8^{10}}{4^{10}}\;$,
6. $(2^3)^4\;$,
7. $2^3\cdot 2^8:(2^2\cdot 2^7)\;$,
8. $(2^2)^5\cdot 2\;$,
9. $4^3\cdot 8^2:2^{11}\;$.

Odpowiedź:

1. $2^7\;$.
2. $2^3\;$.
3. $\frac{1}{4}.\;$
4. $2^{10}\;$.
5. $2^{10}\;$.
6. $2^{12}\;$.
7. $4\;$.
8. $2^{11}\;$.
9. $2\;$.

Rozwiązanie:

1. $2^5 \cdot 2^2=2^{5+2}=2^7\;$.
2. $\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3\;$.
3. $\frac{2^6}{2^8}=\frac{1}{2^{8-6}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\;$.
4. $4^{10}\cdot \left(\frac {1}{2}\right)^{10}=\left(4\cdot \frac{1}{2}\right)^{10}=2^{10}\;$.
5. $\frac{8^{10}}{4^{10}}=\left(\frac{8}{4}\right)^{10} = 2^{10}\;$.
6. $(2^3)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}\;$.
7. $2^3\cdot 2^8:(2^2\cdot 2^7)=2^{3+8}:2^{2+7}=2^{11}:2^9=2^{11-9}=2^2=4\;$.
8. $(2^2)^5\cdot 2=2^{2\cdot 5} \cdot 2^1=2^{10+1}=2^{11}\;$.
9. $4^3\cdot 8^2:2^{11}=$ $(2^2)^3\cdot (2^3)^2:2^{11}=$ $2^{2\cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 2}:2^{11}=$ 26 + 6 − 11 = 21 = $2\;$.

∎
Ćwiczenie 1.2 Czy jest prawdą, że:

1. $(-2)^{34}=-2^{34},\;$
2. $(-2)^{33}=-2^{33},\;$
3. $(-2)^{32}=2^{32},\;$
4. $(-2)^{31}=2^{31},\;$
5. $((-2)^{111})^{157}\;$ jest liczbą ujemną,
6. $((-2)^{222})^{157}\;$ jest liczbą ujemną?

Odpowiedź:

1. Nie.
2. Tak.
3. Tak.
4. Nie.
5. Tak.
6. Nie.

Rozwiązanie:

1. Nie, gdyż $34\;$ jest liczbą parzystą, a zatem $(-2)^{34}=2^{34}.\;$
2. Tak, gdyż $33\;$ jest liczbą nieparzystą, a zatem $(-2)^{33}=-2^{33}.\;$
3. Tak, gdyż $32\;$ jest liczbą parzystą, a zatem $(-2)^{32}=2^{32}.\;$
4. Nie, gdyż $31\;$ jest liczbą nieparzystą, a zatem $(-2)^{31}=-2^{31}\;$.
5. Tak, gdyż $111\;$ i $157\;$ są liczbami nieparzystymi, a zatem $((-2)^{111})^{157}=-2^{111\cdot 157}\;$, czyli jest to liczba ujemna.
6. Nie, gdyż $222\;$ jest liczbą parzystą, a zatem $((-2)^{222})^{157}=2^{222\cdot 157}\;$, czyli jest to liczba dodatnia.

∎ \