Ćwiczenie 1.1 Zapisz w prostszej postaci:
- \(2^5 \cdot 2^2\;\),
- \(\frac{2^5}{2^2}\;\),
- \(\frac{2^6}{2^8}\;\),
- \(4^{10}\cdot \left(\frac {1}{2}\right)^{10}\;\),
- \(\frac{8^{10}}{4^{10}}\;\),
- \((2^3)^4\;\),
- \(2^3\cdot 2^8:(2^2\cdot 2^7)\;\),
- \((2^2)^5\cdot 2\;\),
- \(4^3\cdot 8^2:2^{11}\;\).
Odpowiedź:
- \(2^7\;\).
- \(2^3\;\).
- \(\frac{1}{4}.\;\)
- \(2^{10}\;\).
- \(2^{10}\;\).
- \(2^{12}\;\).
- \(4\;\).
- \(2^{11}\;\).
- \(2\;\).
Rozwiązanie:
- \(2^5 \cdot 2^2=2^{5+2}=2^7\;\).
- \(\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3\;\).
- \(\frac{2^6}{2^8}=\frac{1}{2^{8-6}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\;\).
- \(4^{10}\cdot \left(\frac {1}{2}\right)^{10}=\left(4\cdot \frac{1}{2}\right)^{10}=2^{10}\;\).
- \(\frac{8^{10}}{4^{10}}=\left(\frac{8}{4}\right)^{10} = 2^{10}\;\).
- \((2^3)^4=2^{3\cdot 4}=2^{12}\;\).
- \(2^3\cdot 2^8:(2^2\cdot 2^7)=2^{3+8}:2^{2+7}=2^{11}:2^9=2^{11-9}=2^2=4\;\).
- \((2^2)^5\cdot 2=2^{2\cdot 5} \cdot 2^1=2^{10+1}=2^{11}\;\).
- \(4^3\cdot 8^2:2^{11}=\) \((2^2)^3\cdot (2^3)^2:2^{11}=\) \(2^{2\cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 2}:2^{11}=\) 26 + 6 − 11 = 21 = \(2\;\).
∎
Ćwiczenie 1.2 Czy jest prawdą, że:
- \((-2)^{34}=-2^{34},\;\)
- \((-2)^{33}=-2^{33},\;\)
- \((-2)^{32}=2^{32},\;\)
- \((-2)^{31}=2^{31},\;\)
- \(((-2)^{111})^{157}\;\) jest liczbą ujemną,
- \(((-2)^{222})^{157}\;\) jest liczbą ujemną?
Odpowiedź:
- Nie.
- Tak.
- Tak.
- Nie.
- Tak.
- Nie.
Rozwiązanie:
- Nie, gdyż \(34\;\) jest liczbą parzystą, a zatem \((-2)^{34}=2^{34}.\;\)
- Tak, gdyż \(33\;\) jest liczbą nieparzystą, a zatem \((-2)^{33}=-2^{33}.\;\)
- Tak, gdyż \(32\;\) jest liczbą parzystą, a zatem \((-2)^{32}=2^{32}.\;\)
- Nie, gdyż \(31\;\) jest liczbą nieparzystą, a zatem \((-2)^{31}=-2^{31}\;\).
- Tak, gdyż \(111\;\) i \(157\;\) są liczbami nieparzystymi, a zatem \(((-2)^{111})^{157}=-2^{111\cdot 157}\;\), czyli jest to liczba ujemna.
- Nie, gdyż \(222\;\) jest liczbą parzystą, a zatem \(((-2)^{222})^{157}=2^{222\cdot 157}\;\), czyli jest to liczba dodatnia.
∎ \