Skip to Content

Funkcja potęgowa

śr., 09/15/2010 - 14:14 — ciebie

Definicja 7.1

Funkcją potęgową nazywamy funkcję określoną wzorem \(f(x)=x^{\alpha},\;\) gdzie \(\alpha\;\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Dziedzina \(D_f\;\) funkcji \(f\;\) zależy od liczby \(\alpha.\;\) Poniżej podajemy przykłady funkcji potęgowej dla różnego typu wykładników \(\alpha.\;\)
Przykład : 1. Niech \(\alpha \in \mathrm{C}_+.\;\) Symbol \(x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha \in \mathrm{C}_+\;\) ma sens liczbowy dla \(x \in \R.\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha \in \mathrm{C}_+\;\) ma dziedzinę \(D_f = \R.\;\) Dla \(\boldsymbol{\alpha\in \mathrm{C}_+}\; \) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\R \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) Przypadek I. \(\boldsymbol{\alpha \in \{2,4,6,\ldots\}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja kwadratowa \(f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^2\;\).)
Dziedzina: \(\R.\;\) Zbiór wartości: \(\langle0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,1),(0,0), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w \((-\infty,0\rangle,\;\) funkcja jest rosnąca w \(\langle0, +\infty)\;\). Miejsce zerowe \(x_0=0.\;\) Wykres jest symetryczny względem osi OY (funkcja jest parzysta). Zadanie 7.2

  1. Porównaj wartości funkcji potęgowych \(f_2(x)=x^2, f_4(x)=x^4, f_6(x)=x^6\;\) dla argumentów \(-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_2(x)=x^2, f_4(x)=x^4\;\) w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{100}(x)=x^{100}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & & &\\ f_2(x)=x^2 &4 &\frac{9}{4} &1 &\frac{9}{16} &\frac{1}{4} &0 &\frac{1}{4} &\frac{9}{16} &1 &\frac{9}{4} &4\\ & & & & & & & & & & &\\ f_4(x)=x^4 &16 &\frac{81}{16} &1 &\frac{81}{256} &\frac{1}{16} &0&\frac{1}{16} &\frac{81}{256} &1 &\frac{81}{16} &16\\ & & & & & & & & & & &\\ f_6(x)=x^6 &64 &\frac{729}{64} &1 &\frac{729}{4096} &\frac{1}{64} &0 &\frac{1}{64} &\frac{729}{4096} &1 &\frac{729}{64} &64\\& & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragment wykresu \(f_4\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((-1,1)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_2\;\) dla tych argumentów.
    • Fragmenty wykresu \(f_4\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,nad'' odpowiednimi fragmentami wykresu \(f_2\;\) dla tych argumentów.
  3. Wykres funkcji \(f_{100},\;\) przypomina wykres funkcji \(f_4\;\):
    • przechodzi przez punkty \((-1,1),(0,0),(1,1),\;\)
    • fragment wykresu \(f_{100}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((-1,1)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_4\;\) odpowiadającym tym argumentom,
    • fragmenty wykresu \(f_{100}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty, -1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu funkcji \(f_4\;\) odpowiadającymi tym argumentom.

∎ Przypadek II \(\boldsymbol{\alpha \in \{1,3,5,7, \ldots\}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się zarówno funkcja liniowa \(f_1:\R \rightarrow \R, f_1(x)=x,\;\) jak i funkcja \(f_3:\R \rightarrow \R, f_3(x)=x^3\;\).)
Dziedzina: \(\R\;\). Zbiór wartości \(\R\;\). Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,-1),(0,0), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w dziedzinie. Miejsce zerowe \(x_0=0.\;\) Wykres ma środek symetrii w punkcie \((0,0)\;\) (funkcja jest nieparzysta). Zadanie 7.3

  1. Porównaj wartości funkcji potęgowych \(f_3(x)=x^3, f_5(x)=x^5, f_7(x)=x^7\;\) dla argumentów \(-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_3(x)=x^3, f_5(x)=x^5\;\) w jednym układzie współrzędnych.
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{99}(x)=x^{99}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & & &\\ f_3(x)=x^3 &-8 &-\frac{27}{8} &-1 &-\frac{27}{64} &-\frac{1}{8} &0 &\frac{1}{8} &\frac{27}{64} &1 &\frac{27}{8} &8\\ & & & & & & & & & & &\\ f_5(x)=x^5 &-32 &-\frac{243}{32} &-1 &-\frac{243}{1024} &-\frac{1}{32} &0&\frac{1}{32} &\frac{243}{1024} &1 &\frac{243}{32} &32\\ & & & & & & & & & & &\\ f_7(x)=x^7 &-128 &-\frac{2187}{128} &-1 &-\frac{2187}{7384} &-\frac{1}{128} &0 &\frac{1}{128} &\frac{2187}{7384} &1 &\frac{2187}{128} &128\\ & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragment wykresu funkcji \(f_5\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((-1,1)\;\) znajduje się ,,bliżej'' osi OX niż fragment wykresu funkcji \(f_3\;\) odpowiadający tym argumentom.
    • Fragmenty wykresu funkcji \(f_5\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1,+\infty)\;\) znajdują się ,,bliżej'' osi OY niż fragmenty wykresu funkcji \(f_3\;\) odpowiadające tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{99}\;\), przypomina wykres funkcji \(f_5\;\):
    • przechodzi przez punkty \((-1,-1), (0,0), (1,1),\;\)
    • fragment wykresu \(f_{99}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((-1,1)\;\) znajduje się ,,bliżej'' osi OX niż fragment wykresu \(f_5\;\) odpowiadający tym argumentom,
    • fragmenty wykresu \(f_{99}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,bliżej'' osi OY niż fragmenty wykresu \(f_5\;\) odpowiadające tym argumentom.

∎
Przykład : 2. Niech \(\alpha=0.\;\) Symbol \(x^0\;\) ma sens liczbowy dla \(x \in \R\setminus \{0\}.\;\) Funkcja \(f_0(x)=x^0\;\) ma dziedzinę \(D_{f_0}=\R\setminus \{0\}.\;\) Ponieważ \(x^0=1\;\) dla każdej liczby \(x \neq0\;\), więc jedyną wartością funkcji \(f_0\;\) jest liczba \(1\;\). Rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{0}:\R\setminus\{0\} \rightarrow \R, f_{0}(x)=x^{0}.}\;\)
Uwaga 7.4 Czasami przyjmuje się umowę: \(0^0\stackrel{\text{def}}{=} 1\;\). Wówczas wykres funkcji \(f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^0\;\) pokrywa się z wykresem funkcji stałej \(g:\R \rightarrow \R, g(x)=1.\;\) ∎
Przykład : 3. Niech \(\alpha \in \mathrm{C}_-\;\). Symbol \(x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha \in \mathrm{C}_-\;\) ma sens liczbowy dla \(x\in \R\setminus \{0\}.\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha \in \mathrm{C}_-\;\) ma dziedzinę \(D_f = \R\setminus \{0\}.\;\) Dla \(\boldsymbol {\alpha \in \mathrm{C}_-}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\setminus\{0\} \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) Przypadek I \(\boldsymbol{\alpha \in \{-2, -4, -6, \ldots\}}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{-2}:\R\rightarrow \R, f_{-2}(x)=\frac{1}{x^2}\;\).)
Dziedzina: \(\R\setminus \{0\}.\;\) Zbiór wartości: \((0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,1), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty,0),\;\) funkcja jest malejąca w przedziale \((0, +\infty)\;\). Wykres jest symetryczny względem osi OY (funkcja jest parzysta). Asymptota pionowa: prosta o równaniu \(x=0.\;\) Asymptota pozioma w \(-\infty\;\) i w \(+\infty\;\): prosta o równaniu \(y=0.\;\) Zadanie 7.5

  1. Porównaj wartości funkcji potęgowych \(f_{-2}(x)=x^{-2}, f_{-4}(x)=x^{-4}, f_{-6}(x)=x^{-6}\;\) dla argumentów \(-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{-2}(x)=x^{-2}, f_{-4}(x)=x^{-4}\;\) w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{-100}(x)=x^{-100}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & &\\ f_{-2}(x)=x^{-2} &\frac{1}{4} &\frac{4}{9} &1 &\frac{16}{9} &4 &4 &\frac{16}{9} &1 &\frac{4}{9} &\frac{1}{4}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-4}(x)=x^{-4} &\frac{1}{16} &\frac{16}{81} &1 &\frac{256}{81} &16 &16 &\frac{256}{81} &1 &\frac{16}{81} &\frac{1}{16}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-6}(x)=x^{-6} &\frac{1}{64} &\frac{64}{729} &1 &\frac{4096}{729} &64 &64 &\frac{4096}{729} &1 &\frac{64}{729} &\frac{1}{64}\\ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragmenty wykresu \(f_{-4}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,pod'' fragmentami wykresu \(f_{-2}\;\) odpowiadającymi tym argumentom.
    • Fragmenty wykresu \(f_{-4}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-1,0)\;\) oraz argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu \(f_{-2}\;\) odpowiadającymi tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{-100},\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{-4}\;\):
    • przechodzi przez punkty \((-1,1)\;\) i \((1,1),\;\)
    • fragmenty wykresu \(f_{-100}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,pod'' fragmentami wykresu \(f_{-4}\;\) odpowiadającymi tym argumentom,
    • fragmenty wykresu \(f_{-100}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-1,0)\;\) oraz argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu funkcji \(f_{-4}\;\) odpowiadającymi tym argumentom.

∎ Przypadek II \(\boldsymbol{\alpha \in \{-1,-3,-5, \ldots\}}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{-1}:\R\setminus \{0\}\rightarrow \R, f_{-1}(x)=\frac{1}{x}.)\;\)
Dziedzina: \(\R\setminus \{0\}.\;\) Zbiór wartości: \(\R\setminus \{0\}.\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,-1), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów \((-\infty,0),(0, +\infty)\;\) (nie jest malejąca w dziedzinie!) Wykres ma środek symetrii w punkcie \((0,0)\;\) (funkcja jest nieparzysta). Asymptota pionowa: prosta o równaniu \(x=0.\;\) Asymptota pozioma w \(-\infty\;\) i w \(+\infty\;\): prosta o równaniu \(y=0.\;\) Zadanie 7.6

  1. Porównaj wartości funkcji potęgowych \(f_{-1}(x)=x^{-1}, f_{-3}(x)=x^{-3}, f_{-5}(x)=x^{-5}\;\) dla argumentów \(-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{-1}(x)=x^{-1}, f_{-3}(x)=x^{-3}\;\) w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{-99}(x)=x^{-99}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & &\\ f_{-1}(x)=x^{-1} &-\frac{1}{2} &-\frac{2}{3} &-1 &-\frac{4}{3} &-2 &2 &\frac{4}{3} &1 &\frac{2}{3} &\frac{1}{2}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-3}(x)=x^{-3} &-\frac{1}{8} &-\frac{8}{27} &-1 &-\frac{64}{27} &-8 &8 &\frac{64}{27} &1 &\frac{8}{27} &\frac{1}{8}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-5}(x)=x^{-5} &-\frac{1}{32} &-\frac{32}{243} &-1 &-\frac{1024}{243} &-32 &32 &\frac{1024}{243} &1 &\frac{32}{243} &\frac{1}{32}\\ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragmenty wykresu funkcji \(f_{-3}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,bliżej'' osi OX niż fragmenty wykresu funkcji \(f_{-1}\;\) odpowiadające tym argumentom.
    • Fragmenty wykresu \(f_{-3}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-1,0)\;\) oraz argumentom z przedziału \((0,1)\;\) są ,,bardziej oddalone'' od osi OY niż fragmenty wykresu funkcji \(f_{-1}\;\) odpowiadające tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{-99},\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{-3}\;\):
    • przechodzi przez punkty \((-1,-1)\;\) i \((1,1),\;\)
    • fragmenty wykresu \(f_{-99}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\) oraz argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajdują się ,,bliżej'' osi OX niż fragmenty wykresu funkcji \(f_{-3}\;\) odpowiadające tym argumentom,
    • fragmenty wykresu \(f_{-99}\;\) odpowiadające argumentom z przedziału \((-1,0)\;\) oraz argumentom z przedziału \((0,1)\;\) są ,,bardziej oddalone'' od osi OY niż fragmenty wykresu funkcji \(f_{-3}\;\) odpowiadające tym argumentom.

∎
Przykład : 4. Niech \(\alpha=\frac{1}{k},\;\) gdzie \(k \in \mathrm{C}_+\;\). Symbol \(x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha=\frac{1}{k},\;\) gdzie \(k \in \mathrm{C}_+\;\), ma jednoznacznie określony zakres dla zmiennej \(x\;\), gdy \(k\;\) jest liczbą parzystą, i może być rozumiany na dwa różne sposoby, gdy \(k\;\) jest liczbą nieparzystą. [Patrz: Potęga liczby.....]. Dlatego wyróżnimy kilka przypadków. Przypadek I \(\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest parzystą liczbą dodatnią, tzn. \(\boldsymbol{\alpha\in\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\ldots\right\}}\;\) Niech \(\alpha=\frac{1}{k}\;\), gdzie \(k\;\) jest dodatnią liczbą parzystą. W tym przypadku symbol \(x^{\alpha}\;\) ma sens liczbowy dla \(x\in \langle 0,+\infty)\;\) i dlatego funkcja \(f_{\alpha}=x^{\alpha}\;\) ma dziedzinę \(D_{f}=\langle 0,+\infty)\;\). Dla \(\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest parzystą liczbą dodatnią rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{\frac{1}{2}}:\langle 0, +\infty)\rightarrow \R, f_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{x}\;\).)
Dziedzina: \(\langle 0, +\infty).\;\) Zbiór wartości: \(\langle 0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((0,0), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe \(x_0=0.\;\) Zadanie 7.7

  1. Porównaj wartości funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}, f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;\) dla argumentów \(0, \frac{1}{81}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, 1, 4, 16, 81.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}, f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;\) w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{\frac{1}{100}}(x)=x^{\frac{1}{100}}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & \\ x &0 &\frac{1}{81} &\frac{1}{16} &\frac{1}{4} &1 &4 &16 &81\\ & & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}} &0 &\frac{1}{9} &\frac{1}{4} &\frac{1}{2} &1 &2 &4 &9\\ & & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}} &0 &\frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{\sqrt{2}} &1 &\sqrt{2} &2 &3\\ & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragment wykresu \(f_{\frac{1}{4}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_{\frac{1}{2}}\;\) odpowiadającym tym argumentom.
    • Fragment wykresu \(f_{\frac{1}{4}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajduje się ,,nad'' odpowiednim fragmentem wykresu \(f_{\frac{1}{2}}\;\).
  3. Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{100}},\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{\frac{1}{4}}\;\):
    • przechodzi przez punkty \((0,0)\;\) i \((1,1),\;\)
    • fragment wykresu \(f_{\frac{1}{100}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_{\frac{1}{4}}\;\) odpowiadającym tym argumentom,
    • fragment wykresu \(f_{\frac{1}{100}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{4}}\;\) odpowiadającym tym argumentom.

∎ Zadanie 7.8 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;\) oraz wykres funkcji \(f_2(x)=x^2.\;\) Co zauważasz? Rozwiązanie: Fragment wykresu funkcji \(f_2(x)=x^2\;\) dla argumentów ze zbioru \(\langle0, +\infty)\;\) i wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;\) są symetryczne względem prostej opisanej równaniem \(y=x.\;\) Praktyczna uwaga: Aby narysować wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;\) można narysować fragment wykresu funkcji \(f_2(x)=x^2\;\) dla argumentów z \(\langle 0, +\infty)\;\), a następnie odbić go symetrycznie względem prostej \(y=x.\;\) ∎ Uwaga 7.9 Powiązania między funkcjami \(f_{\frac{1}{2}}\;\) i \(f_2\;\), opisane w rozwiązaniu Zadania 6, występują również w przypadku innych par funkcji

  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_2(x)=x^2\;\) rozważanej tylko dla argumentów \(x \in \langle 0,+\infty).\;\)
  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_4(x)=x^4\;\) rozważanej tylko dla argumentów \(x \in \langle 0,+\infty).\;\)
  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{6}}(x)=x^{\frac{1}{6}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_6(x)=x^6\;\) rozważanej tylko dla argumentów \(x \in \langle 0,+\infty).\;\)

Ogólnie:

  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2k}}(x)=x^{\frac{1}{2k}},\;\) gdzie \(k \in \mathrm{C}_+\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{2k}(x)=x^{2k}\;\) rozważanej tylko dla argumentów \(x \in \langle 0,+\infty).\;\)

∎ Przypadek II \(\boldsymbol{\alpha =\frac{1}{1}}\;\) Niech \(\alpha=\frac{1}{1}.\;\) Symbol \(x^\frac{1}{1}\;\) ma sens liczbowy dla \(x \in R\;\), przy czym \(x^\frac{1}{1}=x\;\). Funkcja \(f(x)=x^\frac{1}{1}\;\) ma dziedzinę \(D_f=\R.\;\) Rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^\frac{1}{1}.}\;\) Jej wykresem jest prosta o równaniu \(y=x\;\).
Dziedzina: \(\R.\;\) Zbiór wartości: \(\R.\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: \(x_0=0.\;\) Wykres ma środek symetrii w punkcie \((0,0)\;\) (funkcja jest nieparzysta). Przypadek III \(\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, tzn. \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}\ldots\right\}}\;\) Uwaga 7.10 (dotycząca dziedziny funkcji). Zgodnie z tym, co zostało powiedziane w części Potęga liczby .... znaczenie symbolu \(x^{\frac{1}{k}}\;\), gdzie \(k\;\) jest dodatnią liczba nieparzystą może być interpretowane na dwa sposoby. W podejściu pierwszym potęgę \(x^{\frac{1}{k}},\;\) gdzie \(k \in \mathrm{C}_+, k>1\;\) i \(k\;\) jest liczbą nieparzystą, definiuje się tylko dla \(x \in \langle0, +\infty)\;\) (identycznie, jak wszystkie potęgi \(x^{\frac{p}{q}},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+).\;\) W podejściu drugim, w przypadku wykładników \(\alpha=\frac{1}{k},\;\) gdzie \(k\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią, potęga \(x^{\alpha}\;\) określona jest wyjątkowo dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x.\;\) W zależności od wyboru podejścia różnie wygląda wykres funkcji potęgowej, gdyż dziedziny funkcji są różne. W akademickich podręcznikach analizy matematycznej na ogół autorzy są zwolennikami drugiego podejścia, czyli używają rozszerzonej definicji potęgi \(x^{\frac{1}{k}}\;\) w tym wyjątkowym przypadku. Również kalkulatory zaprogramowane są zgodnie z drugim podejściem. ∎ Poniżej prezentujemy wykresy funkcji potęgowej zgodnie z każdym ze wspomnianych w Uwadze 7.10 podejść.
Podejście I Dla \(\boldsymbol {\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;\). (Wśród tych funkcji jest funkcja \(f_{\frac{1}{3}}:\langle 0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\frac{1}{3}}(x)=\sqrt[3]{x}\;\).)
Dziedzina: \(\langle 0, +\infty).\;\) Zbiór wartości: \(\langle 0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((0,0), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: \(x_0=0.\;\)
Podejście II Dla \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;\). (Wśród tych funkcji jest funkcja \(f_{\frac{1}{3}}:\R\rightarrow\R, f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\).)
Dziedzina: \(\R.\;\) Zbiór wartości: \(\R.\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,-1),(0,0), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: \(x_0=0.\;\) Zadanie 7.11

  1. Porównaj wartości funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) i \(f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;\) dla argumentów \(0, \frac{1}{32}, \frac{1}{8}, \frac{32}{243}, 1, 8, 32.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}, f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;\) w jednym układzie współrzędnych przyjmując dziedzinę: raz \(D_f=\langle 0,+\infty)\;\), drugi raz \(D_f=\R.\;\)
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{\frac{1}{99}}(x)=x^{\frac{1}{99}}\;\) w przypadku podejścia I (podejścia II)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & \\ x &0 &\frac{1}{32} &\frac{1}{8} &\frac{32}{243} &1 &8 &32 \\ & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}} &0 &\frac{\sqrt[3]{2}}{4} &\frac{1}{2} &\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{4}{9}} &1 &2 &2\sqrt[3]{4}\\ & & \wedge&\wedge &\wedge & & \vee& \vee\\ f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}} &0 &\frac{1}{2} &\frac{\sqrt[5]{4}}{2} &\frac{2}{3} &1 &\sqrt[5]{8} &2\\ & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;\)
  2. \(D=\langle 0,+\infty)\;\)
    \(D=\R\;\)
    Obserwujemy podobne zjawisko, jak przy porównywaniu wykresów funkcji potęgowych o wykładnikach będących odwrotnościami liczb parzystych [patrz Zadanie 5b].
    • Fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) ( i argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\), gdy dziedziną funkcji jest zbiór \(\R\;\)) znajduje się ,,bliżej'' osi \(OX\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{3}}\;\) odpowiadający tym argumentom.
    • Fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) (i argumentom z przedziału \((-1,0)\;\), gdy dziedziną funkcji jest zbiór \(\R\;\)) znajduje się ,,bliżej'' osi \(OY\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{3}}\;\) odpowiadający tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{99}}\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{\frac{1}{5}}\;\):
    • przechodzi przez punkty \((0,0)\;\) i \((1,1),\;\) (oraz \((-1,-1)\;\) jeśli dziedziną funkcji jest zbiór \(\R\;\)),
    • fragment wykresu \(f_{\frac{1}{99}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) (i argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\), gdy dziedziną funkcji jest zbiór \(\R\;\)) znajduje się ,,bliżej''osi \(OX\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający tym argumentom,
    • fragment wykresu \(f_{\frac{1}{99}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) (i argumentom z przedziału \((-1,0)\;\), gdy dziedziną funkcji jest zbiór \(\R\;\)) znajduje się ,,bliżej'' osi \(OY\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający tym argumentom.

∎ Zadanie 7.12 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) oraz wykres funkcji \(f_3(x)=x^3.\;\) Przyjmij w charakterze dziedziny funkcji \(f_\frac{1}{3}\;\) zbiór liczb rzeczywistych. Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji \(f_3(x)=x^3\;\) i \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) są symetryczne względem prostej opisanej równaniem \(y=x.\;\) Praktyczna uwaga: Aby narysować wykres funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) można narysować wykres funkcji \(f_3(x)=x^3\;\), a następnie odbić go symetrycznie względem prostej \(y=x.\;\) Otrzymana w ten sposób krzywa jest wykresem funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) z dziedziną \(D_{f_{\frac{1}{3}}}=\R\;\) (jeśli rozważamy \(D_{f_{\frac{1}{3}}}=\langle 0,+\infty)\;\), to względem prostej \(y=x\;\) należy odbić część wykresu funkcji \(f_3\;\) odpowiadającej argumentom ze zbioru \(\langle 0,+\infty)\;\) .) ∎ Uwaga 7.13 Powiązania między funkcjami \(f_{\frac{1}{3}}\;\) i \(f_3\;\), opisane w rozwiązaniu Zadania 8, występują również w przypadku innych par funkcji

  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;\) (gdy \(D_{f_{\frac{1}{3}}}=\R\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_3(x)=x^3\;\).
  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;\) (gdy \(D_{f_{\frac{1}{5}}}=\R\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_5(x)=x^5\;\).
  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{7}}(x)=x^{\frac{1}{7}}\;\) (gdy \(D_{f_{\frac{1}{7}}}=\R\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_7(x)=x^7\;\).

Ogólnie:

  • Wykres funkcji \(f_{\frac{1}{2s+1}}(x)=x^{\frac{1}{2s+1}},\;\) gdzie \(s \in \mathrm{C}_+\;\) i \(D_{f_{\frac{1}{2s+1}}}=\R\;\), jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_{2s+1}(x)=x^{2s+1}\;\).

∎
Przykład : 5. Niech \(\alpha=-\frac{1}{k},\;\) gdzie \(k \in \mathrm{C}_+\;\). Interpretacja symbolu \(x^{\alpha}\;\) w tym przypadku, podobnie jak symbolu \(x^{\frac{1}{m}}\;\), gdy \(m\in \mathrm{C}_+\;\), nastręcza pewne kłopoty. [Patrz Przykład 4.]. Symbol \(x^{-\frac{1}{k}}\;\), gdzie \(k\in \mathrm{C}_+\;\), ma jednoznaczne określony zakres zmiennej \(x\;\), gdy \(k\;\) jest liczbą parzystą, i może być rozumiany na dwa różne sposoby, gdy \(k\;\) jest liczbą nieparzystą. Dlatego wyróżniamy kilka przypadków. Przypadek I \(\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest parzystą liczba dodatnią, tzn. \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots\right\}}\;\). Niech \(\alpha=-\frac{1}{k}\;\), gdzie \(k\;\) jest parzystą liczbą dodatnią. W tym przypadku symbol \(x^{\alpha}\;\) ma sens liczbowy dla \(x\in (0,+\infty)\;\) i dlatego funkcja \(f_{\alpha}=x^{\alpha}\;\) ma dziedzinę \(D_f=(0,+\infty)\;\). Dla \(\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest parzystą liczba dodatnią, rozważamy funkcję tzn. \(\boldsymbol{f_{\alpha}:(0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;\). (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{-\frac{1}{2}}:( 0, +\infty)\rightarrow \R, f_{-\frac{1}{2}}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.\;\))
Dziedzina: \(( 0, +\infty).\;\) Zbiór wartości: \(( 0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie. Asymptota pionowa: prosta o równaniu \(x=0\;\). Asymptota pozioma w \(+\infty\;\): prosta o równaniu \(y=0.\;\) Zadanie 7.14

  1. Porównaj wartości funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;\) dla argumentów \(\frac{1}{81} \frac{1}{16}, \frac{16}{81}, \frac{1}{4}, 1,\frac{81}{16}, 16, 81.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;\) w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{100}}(x)=x^{-\frac{1}{100}}\;\)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & \\ x &\frac{1}{81} &\frac{1}{16}&\frac{16}{81} &\frac{1}{4} &1 &\frac{81}{16} &16 &81\\ & & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}} &9 & 4 &\frac{9}{4} & 2 &1 &\frac{4}{9} &\frac{1}{4} &\frac{1}{9}\\ & & & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}} &3 &2 &\frac{3}{2} &\sqrt{2} &1 &\frac{2}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{3}\\ & & & & & & & & \\\hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    • Fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{4}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_{-\frac{1}{2}}\;\) odpowiadającym tym argumentom.
    • Fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{4}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu \(f_{-\frac{1}{2}}\;\) odpowiadającym tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{100}}\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{4}}\;\):
    • przechodzi przez punkt \((1,1),\;\)
    • fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{100}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu \(f_{-\frac{1}{4}}\;\) odpowiadającym tym argumentom,
    • fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{100}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu funkcji \(f_{-\frac{1}{4}}\;\) odpowiadającym tym argumentom.

∎ Zadanie 7.15 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;\) oraz wykres funkcji \(f_{-2}(x)=x^{-2}.\;\) Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji \(f_{-2}(x)=x^{-2}\;\) i \(f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;\) dla argumentów z przedziału \((0,+\infty)\;\) są symetryczne względem prostej opisanej równaniem \(y=x.\;\) ∎ Uwaga 7.16 Powiązania między funkcjami \(f_{-\frac{1}{2}}\;\) i \(f_{-2}\;\), opisane w rozwiązaniu Zadania 10, występują również w przypadku innych par funkcji

  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{-2}(x)=x^{-2}\;\) dla argumentów z przedziału \(( 0,+\infty).\;\)
  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{-4}(x)=x^{-4}\;\) dla argumentów z przedziału \((0,+\infty).\;\)
  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{6}}(x)=x^{-\frac{1}{6}}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{-6}(x)=x^{-6}\;\) dla argumentów z przedziału \((0,+\infty).\;\)

Ogólnie:

  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{2s}}(x)=x^{-\frac{1}{2s}},\;\) gdzie \(s \in \mathrm{C}_+\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{-2s}(x)=x^{-2s}\;\) dla argumentów z przedziału \((0,+\infty).\;\)

∎ Przypadek II \(\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{1}}\;\) Niech \(\alpha=-\frac{1}{1}.\;\) Symbol \(x^{-\frac{1}{1}}\;\) ma sens liczbowy dla \(x \in \R\setminus\{0\}\;\), przy czym \(x^{-\frac{1}{1}}=x^{-1}\;\). Rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f(x)=x^{-\frac{1}{1}}.}\;\) Funkcja ta jest równa funkcji \(f_{-1}:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{-1}(x)=x^{-1}\;\) . [Patrz Przykład 3 Przypadek II]. Przypadek III \(\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{k}\;\) jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, tzn. \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{7}\ldots\right\}.}\;\) Uwaga 7.17 (dotycząca dziedziny funkcji). Jak opisano w Uwadze 3 są dwa różne podejścia do definicji potęgi liczby z wykładnikiem postaci \(\frac{1}{k}\;\), gdzie \(k\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią większą od \(1\;\). Konsekwencją tego jest dwojakie spojrzenie na pojęcie potęgi z wykładnikiem postaci \(-\frac{1}{k}\;\), gdzie \(k\;\) jest wspomnianą wyżej liczbą. W podejściu pierwszym potęgę \(x^{-\frac{1}{k}},\;\) gdzie \(k\;\) jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, określa się tylko dla \(x \in (0, +\infty)\;\) (identycznie, jak dla wszystkich wykładników postaci \(\frac{p}{q},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+, q\neq 0).\;\) W podejściu drugim, w przypadku wykładników postaci \(\alpha=-\frac{1}{k},\;\) gdzie \(k\;\) jest liczbą nieparzystą dodatnią większą od 1, potęgę określa się dla podstawy ze zbioru \(\R\setminus\{0\}\;\). W zależności od wyboru podejścia różnie wygląda wykres funkcji potęgowej, gdyż dziedziny funkcji są różne. Zarówno podręczniki akademickie analizy matematycznej jak i oprogramowanie kalkulatorów odzwierciedla podejście drugie. ∎ Poniżej prezentujemy wykresy funkcji potęgowej zgodnie z każdym ze wspomnianych w Uwadze 7.17 podejść. Podejście I Dla \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:( 0, +\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{-\frac{1}{3}}(x):(0,+\infty)\rightarrow\R, f_{-\frac{1}{3}}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\;\).)
Dziedzina: \(( 0, +\infty).\;\) Zbiór wartości: \(( 0, +\infty).\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie. Asymptota pionowa: prosta o równaniu \(x=0\;\). Asymptota pozioma w \(+\infty\;\): prosta o równaniu \(y=0\;\).
Podejście II Dla \(\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja \(f_{-\frac{1}{3}}(x):\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{-\frac{1}{3}}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\;\).)
Dziedzina: \(\R\setminus\{0\}.\;\) Zbiór wartości: \(\R\setminus\{0\}.\;\) Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: \((-1,-1), (1,1).\;\) Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: \((-\infty,0)\;\) oraz w \((0,+\infty)\;\) (nie jest malejąca w dziedzinie!). Asymptota pionowa: prosta o równaniu \(x=0\;\). Asymptota pozioma w \(-\infty\;\) i \(+\infty\;\): prosta o równaniu \(y=0\;\). Zadanie 7.18

  1. Porównaj wartości funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}, f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;\) dla argumentów \(\frac{1}{32}, \frac{1}{8}, \frac{32}{243}, 1,8, 32.\;\)
  2. Naszkicuj wykresy funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}, f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;\) w jednym układzie współrzędnych przyjmując dziedzinę raz \(D_f=(0,+\infty)\;\), drugi raz \(D_f=\R\setminus\{0\}\;\). Co zauważasz?
  3. Jak wygląda wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{99}}(x)=x^{-\frac{1}{99}}\;\) w przypadku podejścia I (podejścia II)?

Rozwiązanie:

  1. \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & \\ x &\frac{1}{32} &\frac{1}{8}&\frac{32}{243} &1 &8 &32\\ & & & & & & \\ \hline & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}} &2\sqrt[3]{4} & 2 &\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{9}{4}} &1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{2\sqrt[3]{4}}\\ &\vee & \vee&\vee & &\wedge & \wedge\\ f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}} &2 &\sqrt[5]{8} &\frac{3}{2} &1 &\frac{1}{\sqrt[5]{8}} &\frac{1}{2}\\ & & & & & & \\ \hline \end{array}\;\)
  2. Szkic wykresów:
    Obserwujemy podobne zjawisko jak przy porównywaniu wykresów dla wykładników postaci \(-\frac{1}{2k}\;\) [patrz Zadanie 10].
    • Fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1,+\infty)\;\) (i argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\), gdy dziedziną funkcji jest \(\R\setminus\{0\}\;\)) jest ,,bardziej oddalony'' od osi \(OX\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}\;\) odpowiadający tym argumentom.
    • Fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) (i argumentom z przedziału \((-1,0)\;\), gdy dziedziną funkcji jest \(\R\setminus\{0\}\;\)) znajduje się ,,bliżej'' osi \(OY\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}\;\) odpowiadający tym argumentom.
  3. Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{99}}\;\) przypomina wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{5}}\;\):
    • przechodzi przez punkt \((1,1)\;\) (oraz \((-1,-1)\;\), gdy dziedziną funkcji jest \(\R\setminus\{0\}\;\))
    • fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{99}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((1, +\infty)\;\) (i argumentom z przedziału \((-\infty,-1)\;\), gdy dziedziną funkcji jest \(\R\setminus\{0\}\;\)) jest ,,bardziej oddalony'' od osi \(OX\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{-\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający tym argumentom.
    • fragment wykresu \(f_{-\frac{1}{100}}\;\) odpowiadający argumentom z przedziału \((0,1)\;\) (i argumentom z przedziału \((-1,0)\;\), gdy dziedziną funkcji jest \(\R\setminus\{0\}\;\)) znajduje się ,,bliżej'' osi \(OY\;\) niż fragment wykresu funkcji \(f_{-\frac{1}{5}}\;\) odpowiadający tym argumentom.

∎ Zadanie 7.19 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;\) oraz wykres funkcji \(f_{-3}(x)=x^{-3}.\;\) Przyjmij w charakterze dziedziny funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}\;\) zbiór \(\R\setminus\{0\}\;\). Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji \(f_{-3}(x)=x^{-3}\;\) i \(f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;\) z dziedziną \(\R\setminus\{0\}\;\) są symetryczne względem prostej o równaniu \(y=x.\;\) ∎ Uwaga 7.20 Powiązania między funkcjami \(f_{-\frac{1}{3}}\;\) i \(f_{-3}\;\), opisane w rozwiązaniu Zadania 11, występują również w przypadku innych par funkcji

  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;\) (gdy \(D_{f_{-\frac{1}{3}}}=\R\setminus\{0\}\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_{-3}(x)=x^{-3}\;\).
  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;\) (gdy \(D_{f_{-\frac{1}{5}}}=\R\setminus\{0\}\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_{-5}(x)=x^{-5}\;\).
  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{7}}(x)=x^{-\frac{1}{7}}\;\) (gdy \(D_{f_{-\frac{1}{7}}}=\R\setminus\{0\}\;\)) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) fragmentu wykresu funkcji \(f_{-7}(x)=x^{-7}\;\).

Ogólnie:

  • Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{2s+1}}(x)=x^{-\frac{1}{2s+1}},\;\) gdzie \(s \in \mathrm{C}_+\;\) i \(D_{f_{-\frac{1}{2s+1}}}=\R\setminus\{0\}\;\) jest odbiciem symetrycznym względem prostej \(y=x\;\) wykresu funkcji \(f_{-(2s+1)}(x)=x^{-(2s+1)}\;\).

∎
Przykład : 6. Niech \(\alpha=\frac{p}{q},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+\;\) i \(\frac{p}{q}\;\) nie jest postaci \(\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;\). Symbol \(x^{\frac{p}{q}}\;\) dla liczby \(\frac{p}{q}\;\) opisanej powyżej ma sens liczbowy dla \(x\in \langle 0, +\infty).\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha=\frac{p}{q},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+\;\) i \(\frac{p}{q}\;\) nie jest postaci \(\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;\), ma dziedzinę \(D_f = \langle 0, +\infty).\;\) Dla \(\boldsymbol{\alpha=\frac{p}{q},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{p,q \in \mathrm{C}_+}\;\) i \(\boldsymbol{\frac{p}{q}}\;\) nie jest postaci \(\boldsymbol{\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+}\;\), rozważamy funkcje \(\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajdują się np. funkcje \(f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5},\;\) \(f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;\).) Wykresy funkcji \(f_\frac{p}{q}(x)=x^\frac{p}{q}\;\) dla \(\frac{p}{q}\in (0,1)\;\) przypominają wykresy funkcji \(f_\frac{1}{2}, f_\frac{1}{3},\ldots\;\) z dziedziną \(\langle 0,+\infty)\;\), a dla \(\frac{p}{q}\in (1,+\infty)\;\) przypominają wykresy \(f_2,f_3,\ldots\;\) z dziedziną \(\langle 0,+\infty).\;\) Zadanie 7.21 Naszkicuj wykres funkcji

  1. \(f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5},\;\)
  2. \(f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;\).

Rozwiązanie:

  1. Ponieważ \(\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}\;\), więc dla \(x\in (0,1)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^\frac{1}{3}>x^\frac{2}{5}>x^\frac{1}{2}\;\), dla \(x\in (1,+\infty)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^\frac{1}{3}<x^\frac{2}{5}<x^\frac{1}{2}\;\). Szkic wykresu funkcji \(f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5}\;\)
    Wykres funkcji \(f_\frac{2}{5}\;\) znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_\frac{1}{2}\;\) i \(f_\frac{1}{3}\;\).
  2. Ponieważ \(2<\frac{7}{3}<3\;\), więc dla \(x\in (0,1)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^2>x^\frac{7}{3}>x^3\;\), dla \(x\in (1,+\infty)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^2<x^\frac{7}{3}<x^3\;\). Szkic wykresu funkcji \(f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;\)
    Wykres funkcji \(f_\frac{7}{3}\;\) znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_2\;\) i \(f_3\;\) dla argumentów \(x\in \langle 0,+\infty)\;\).

∎
Przykład : 7. Niech \(\alpha=-\frac{p}{q},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+\;\) i \(\frac{p}{q}\;\) nie jest postaci \(\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;\). Symbol \(x^{-\frac{p}{q}}\;\) dla liczby \(\frac{p}{q}\;\) opisanej powyżej ma sens liczbowy dla \(x\in(0, +\infty).\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla \(\alpha=-\frac{p}{q},\;\) gdzie \(p,q \in \mathrm{C}_+\;\) i \(\frac{p}{q}\;\) nie jest postaci \(\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;\) ma dziedzinę \(D_f = ( 0, +\infty).\;\) Dla \(\boldsymbol{\alpha=-\frac{p}{q},}\;\) gdzie \(\boldsymbol{p,q \in \mathrm{C}_+}\;\) i \(\boldsymbol{\frac{p}{q}}\;\) nie jest postaci \(\boldsymbol{\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+}\;\) rozważamy funkcje \(\boldsymbol{f_{-\frac{p}{q}}:( 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{-\frac{p}{q}}(x)=x^{-\frac{p}{q}}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajdują się np. funkcje \(f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}},\;\) \(f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;\).) Wykresy funkcji \(f_{-\frac{p}{q}}(x)=x^{-\frac{p}{q}}\;\) dla \(\frac{p}{q}\in (0,1)\;\) przypominają wykresy funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{3}},\ldots\;\) z dziedziną \(( 0,+\infty)\;\), a dla \(\frac{p}{q}\in (1,+\infty)\;\) przypominają wykresy \(f_{-2},f_{-3},\ldots\;\) z dziedziną \(( 0,+\infty).\;\) Zadanie 7.22 Naszkicuj wykres funkcji

  1. \(f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}},\;\)
  2. \(f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;\).

Rozwiązanie:

  1. Ponieważ \(-\frac{1}{2}<-\frac{2}{5}<-\frac{1}{3}\;\), więc dla \(x\in (0,1)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^{-\frac{1}{2}}>x^{-\frac{2}{5}}>x^{-\frac{1}{3}}\;\), dla \(x\in (1,+\infty)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^{-\frac{1}{2}}<x^{-\frac{2}{5}}<x^{-\frac{1}{3}}\;\). Szkic wykresu funkcji \(f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}}\;\)
    Wykres funkcji \(f_{-\frac{2}{5}}\;\) znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}\;\) i \(f_{-\frac{1}{3}}\;\).
  2. Ponieważ \(-3<-\frac{7}{3}<-2\;\), więc dla \(x\in (0,1)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^{-3}>x^{-\frac{7}{3}}>x^{-2}\;\), dla \(x\in (1,+\infty)\;\) prawdziwe są nierówności \(x^{-3}<x^{-\frac{7}{3}}<x^{-2}\;\). Szkic wykresu funkcji \(f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;\)
    Wykres funkcji \(f_{-\frac{7}{3}}\;\) znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{-2}\;\) i \(f_{-3}\;\).

∎
Przykład : 8. Niech \(\alpha\;\) będzie liczbą niewymierną dodatnią. Symbol \(x^\alpha\;\) ma wówczas sens liczbowy dla \(x\in\langle 0, +\infty).\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla liczby \(\alpha\;\) niewymiernej i dodatniej ma dziedzinę \(D_f = \langle 0, +\infty).\;\) Dla niewymiernej dodatniej liczby \(\boldsymbol{\alpha}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_\alpha:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R,}\;\) \(\boldsymbol{f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajdują się takie funkcje jak \(f_{\sqrt{2}}(x)=x^{\sqrt{2}}, f_{\pi}(x)=x^{\pi}, f_{\frac{1}{\pi}}(x)=x^{\frac{1}{\pi}}\;\). )

  • Jeśli \(\alpha\in (0,1)\;\) i \(0<w_1<\alpha<w_2<1\;\), gdzie \(w_1, w_2\;\) są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji \(f_\alpha(x)=x^\alpha\;\) przypomina wykresy funkcji \(f_\frac{1}{2}, f_\frac{1}{3},\ldots\;\) z dziedziną \(\langle 0,+\infty)\;\) i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;\) i \(f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;\). (Wykres funkcji \(f_\frac{1}{\pi}(x)=x^\frac{1}{\pi}\;\) znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji \(f_\frac{1}{4}\;\) i \(f_\frac{1}{3}\;\), bo \(\frac{1}{4}<\frac{1}{\pi}<\frac{1}{3}\;\).)
  • Jeśli \(\alpha\in (1,+\infty)\;\) i \(1<w_1<\alpha<w_2\;\), gdzie \(w_1, w_2\;\) są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji \(f_\alpha(x)=x^\alpha\;\) przypomina wykresy funkcji \(f_2, f_3,\ldots\;\) z dziedziną \(\langle 0,+\infty)\;\) i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;\) i \(f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;\). (Wykres funkcji \(f_\pi(x)=x^\pi\;\) znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji \(f_3\;\) i \(f_4\;\), bo \(3<\pi<4\;\).)

Przykład : 9. Niech \(\alpha\;\) będzie liczbą niewymierną ujemną. Symbol \(x^\alpha\;\) ma wówczas sens liczbowy dla \(x\in( 0, +\infty).\;\) Funkcja \(f(x)=x^{\alpha}\;\) dla liczby \(\alpha\;\) niewymiernej i ujemnej ma dziedzinę \(D_f = ( 0, +\infty).\;\) Dla niewymiernej ujemnej liczby \(\boldsymbol{\alpha}\;\) rozważamy funkcję \(\boldsymbol{f_\alpha:( 0, +\infty) \rightarrow \R,}\;\) \(\boldsymbol{f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;\) (Wśród tych funkcji znajdują się takie funkcje jak \(f_{-\sqrt{2}}(x)=x^{-\sqrt{2}}, f_{-\pi}(x)=x^{-\pi}, f_{-\frac{1}{\pi}}(x)= x^{-\frac{1}{\pi}}\;\).)

  • Jeśli \(\alpha\in (-1,0)\;\) i \(-1<w_1<\alpha<w_2<0\;\), gdzie \(w_1, w_2\;\) są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji \(f_\alpha(x)=x^\alpha\;\) przypomina wykresy funkcji \(f_{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{3}},\ldots\;\) z dziedziną \(( 0,+\infty)\;\) i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;\) i \(f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;\). (Wykres funkcji \(f_{-\frac{1}{\pi}}(x)=x^{-\frac{1}{\pi}}\;\) znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji \(f_{-\frac{1}{4}}\;\) i \(f_{-\frac{1}{3}}\;\), bo \(-\frac{1}{4}>-\frac{1}{\pi}>-\frac{1}{3}\;\).)
  • Jeśli \(\alpha\in (-\infty,-1)\;\) i \(w_1<\alpha<w_2<-1\;\), gdzie \(w_1, w_2\;\) są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji \(f_\alpha(x)=x^\alpha\;\) przypomina wykresy funkcji \(f_{-2}, f_{-3},\ldots\;\) z dziedziną \(( 0,+\infty)\;\) i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji \(f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;\) i \(f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;\). (Wykres funkcji \(f_{-\pi}(x)=x^{-\pi}\;\) znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji \(f_{-4}\;\) i \(f_{-3}\;\), bo \(-4<-\pi<-3\;\).)



Theme by Dr. Radut.