Funkcja potęgowa

Definicja 7.1

Funkcją potęgową nazywamy funkcję określoną wzorem $f(x)=x^{\alpha},\;$ gdzie $\alpha\;$ jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Dziedzina $D_f\;$ funkcji $f\;$ zależy od liczby $\alpha.\;$ Poniżej podajemy przykłady funkcji potęgowej dla różnego typu wykładników $\alpha.\;$
Przykład : 1. Niech $\alpha \in \mathrm{C}_+.\;$ Symbol $x^{\alpha}\;$ dla $\alpha \in \mathrm{C}_+\;$ ma sens liczbowy dla $x \in \R.\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla $\alpha \in \mathrm{C}_+\;$ ma dziedzinę $D_f = \R.\;$ Dla $\boldsymbol{\alpha\in \mathrm{C}_+}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\R \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ Przypadek I. $\boldsymbol{\alpha \in \{2,4,6,\ldots\}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja kwadratowa $f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^2\;$.)
Dziedzina: $\R.\;$ Zbiór wartości: $\langle0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,1),(0,0), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w $(-\infty,0\rangle,\;$ funkcja jest rosnąca w $\langle0, +\infty)\;$. Miejsce zerowe $x_0=0.\;$ Wykres jest symetryczny względem osi OY (funkcja jest parzysta). Zadanie 7.2

1. Porównaj wartości funkcji potęgowych $f_2(x)=x^2, f_4(x)=x^4, f_6(x)=x^6\;$ dla argumentów $-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_2(x)=x^2, f_4(x)=x^4\;$ w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{100}(x)=x^{100}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & & &\\ f_2(x)=x^2 &4 &\frac{9}{4} &1 &\frac{9}{16} &\frac{1}{4} &0 &\frac{1}{4} &\frac{9}{16} &1 &\frac{9}{4} &4\\ & & & & & & & & & & &\\ f_4(x)=x^4 &16 &\frac{81}{16} &1 &\frac{81}{256} &\frac{1}{16} &0&\frac{1}{16} &\frac{81}{256} &1 &\frac{81}{16} &16\\ & & & & & & & & & & &\\ f_6(x)=x^6 &64 &\frac{729}{64} &1 &\frac{729}{4096} &\frac{1}{64} &0 &\frac{1}{64} &\frac{729}{4096} &1 &\frac{729}{64} &64\\& & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragment wykresu $f_4\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(-1,1)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_2\;$ dla tych argumentów.
   • Fragmenty wykresu $f_4\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,nad'' odpowiednimi fragmentami wykresu $f_2\;$ dla tych argumentów.
3. Wykres funkcji $f_{100},\;$ przypomina wykres funkcji $f_4\;$:
   • przechodzi przez punkty $(-1,1),(0,0),(1,1),\;$
   • fragment wykresu $f_{100}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(-1,1)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_4\;$ odpowiadającym tym argumentom,
   • fragmenty wykresu $f_{100}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty, -1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu funkcji $f_4\;$ odpowiadającymi tym argumentom.

∎ Przypadek II $\boldsymbol{\alpha \in \{1,3,5,7, \ldots\}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się zarówno funkcja liniowa $f_1:\R \rightarrow \R, f_1(x)=x,\;$ jak i funkcja $f_3:\R \rightarrow \R, f_3(x)=x^3\;$.)
Dziedzina: $\R\;$. Zbiór wartości $\R\;$. Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,-1),(0,0), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w dziedzinie. Miejsce zerowe $x_0=0.\;$ Wykres ma środek symetrii w punkcie $(0,0)\;$ (funkcja jest nieparzysta). Zadanie 7.3

1. Porównaj wartości funkcji potęgowych $f_3(x)=x^3, f_5(x)=x^5, f_7(x)=x^7\;$ dla argumentów $-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_3(x)=x^3, f_5(x)=x^5\;$ w jednym układzie współrzędnych.
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{99}(x)=x^{99}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & & &\\ f_3(x)=x^3 &-8 &-\frac{27}{8} &-1 &-\frac{27}{64} &-\frac{1}{8} &0 &\frac{1}{8} &\frac{27}{64} &1 &\frac{27}{8} &8\\ & & & & & & & & & & &\\ f_5(x)=x^5 &-32 &-\frac{243}{32} &-1 &-\frac{243}{1024} &-\frac{1}{32} &0&\frac{1}{32} &\frac{243}{1024} &1 &\frac{243}{32} &32\\ & & & & & & & & & & &\\ f_7(x)=x^7 &-128 &-\frac{2187}{128} &-1 &-\frac{2187}{7384} &-\frac{1}{128} &0 &\frac{1}{128} &\frac{2187}{7384} &1 &\frac{2187}{128} &128\\ & & & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragment wykresu funkcji $f_5\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(-1,1)\;$ znajduje się ,,bliżej'' osi OX niż fragment wykresu funkcji $f_3\;$ odpowiadający tym argumentom.
   • Fragmenty wykresu funkcji $f_5\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1,+\infty)\;$ znajdują się ,,bliżej'' osi OY niż fragmenty wykresu funkcji $f_3\;$ odpowiadające tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{99}\;$, przypomina wykres funkcji $f_5\;$:
   • przechodzi przez punkty $(-1,-1), (0,0), (1,1),\;$
   • fragment wykresu $f_{99}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(-1,1)\;$ znajduje się ,,bliżej'' osi OX niż fragment wykresu $f_5\;$ odpowiadający tym argumentom,
   • fragmenty wykresu $f_{99}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,bliżej'' osi OY niż fragmenty wykresu $f_5\;$ odpowiadające tym argumentom.

∎
Przykład : 2. Niech $\alpha=0.\;$ Symbol $x^0\;$ ma sens liczbowy dla $x \in \R\setminus \{0\}.\;$ Funkcja $f_0(x)=x^0\;$ ma dziedzinę $D_{f_0}=\R\setminus \{0\}.\;$ Ponieważ $x^0=1\;$ dla każdej liczby $x \neq0\;$, więc jedyną wartością funkcji $f_0\;$ jest liczba $1\;$. Rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{0}:\R\setminus\{0\} \rightarrow \R, f_{0}(x)=x^{0}.}\;$
Uwaga 7.4 Czasami przyjmuje się umowę: $0^0\stackrel{\text{def}}{=} 1\;$. Wówczas wykres funkcji $f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^0\;$ pokrywa się z wykresem funkcji stałej $g:\R \rightarrow \R, g(x)=1.\;$ ∎
Przykład : 3. Niech $\alpha \in \mathrm{C}_-\;$. Symbol $x^{\alpha}\;$ dla $\alpha \in \mathrm{C}_-\;$ ma sens liczbowy dla $x\in \R\setminus \{0\}.\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla $\alpha \in \mathrm{C}_-\;$ ma dziedzinę $D_f = \R\setminus \{0\}.\;$ Dla $\boldsymbol {\alpha \in \mathrm{C}_-}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\setminus\{0\} \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ Przypadek I $\boldsymbol{\alpha \in \{-2, -4, -6, \ldots\}}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{-2}:\R\rightarrow \R, f_{-2}(x)=\frac{1}{x^2}\;$.)
Dziedzina: $\R\setminus \{0\}.\;$ Zbiór wartości: $(0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,1), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty,0),\;$ funkcja jest malejąca w przedziale $(0, +\infty)\;$. Wykres jest symetryczny względem osi OY (funkcja jest parzysta). Asymptota pionowa: prosta o równaniu $x=0.\;$ Asymptota pozioma w $-\infty\;$ i w $+\infty\;$: prosta o równaniu $y=0.\;$ Zadanie 7.5

1. Porównaj wartości funkcji potęgowych $f_{-2}(x)=x^{-2}, f_{-4}(x)=x^{-4}, f_{-6}(x)=x^{-6}\;$ dla argumentów $-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{-2}(x)=x^{-2}, f_{-4}(x)=x^{-4}\;$ w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{-100}(x)=x^{-100}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & &\\ f_{-2}(x)=x^{-2} &\frac{1}{4} &\frac{4}{9} &1 &\frac{16}{9} &4 &4 &\frac{16}{9} &1 &\frac{4}{9} &\frac{1}{4}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-4}(x)=x^{-4} &\frac{1}{16} &\frac{16}{81} &1 &\frac{256}{81} &16 &16 &\frac{256}{81} &1 &\frac{16}{81} &\frac{1}{16}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-6}(x)=x^{-6} &\frac{1}{64} &\frac{64}{729} &1 &\frac{4096}{729} &64 &64 &\frac{4096}{729} &1 &\frac{64}{729} &\frac{1}{64}\\ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragmenty wykresu $f_{-4}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,pod'' fragmentami wykresu $f_{-2}\;$ odpowiadającymi tym argumentom.
   • Fragmenty wykresu $f_{-4}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-1,0)\;$ oraz argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu $f_{-2}\;$ odpowiadającymi tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{-100},\;$ przypomina wykres funkcji $f_{-4}\;$:
   • przechodzi przez punkty $(-1,1)\;$ i $(1,1),\;$
   • fragmenty wykresu $f_{-100}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,pod'' fragmentami wykresu $f_{-4}\;$ odpowiadającymi tym argumentom,
   • fragmenty wykresu $f_{-100}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-1,0)\;$ oraz argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajdują się ,,nad'' fragmentami wykresu funkcji $f_{-4}\;$ odpowiadającymi tym argumentom.

∎ Przypadek II $\boldsymbol{\alpha \in \{-1,-3,-5, \ldots\}}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{-1}:\R\setminus \{0\}\rightarrow \R, f_{-1}(x)=\frac{1}{x}.)\;$
Dziedzina: $\R\setminus \{0\}.\;$ Zbiór wartości: $\R\setminus \{0\}.\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,-1), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty,0),(0, +\infty)\;$ (nie jest malejąca w dziedzinie!) Wykres ma środek symetrii w punkcie $(0,0)\;$ (funkcja jest nieparzysta). Asymptota pionowa: prosta o równaniu $x=0.\;$ Asymptota pozioma w $-\infty\;$ i w $+\infty\;$: prosta o równaniu $y=0.\;$ Zadanie 7.6

1. Porównaj wartości funkcji potęgowych $f_{-1}(x)=x^{-1}, f_{-3}(x)=x^{-3}, f_{-5}(x)=x^{-5}\;$ dla argumentów $-2,-\frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}, 2.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{-1}(x)=x^{-1}, f_{-3}(x)=x^{-3}\;$ w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{-99}(x)=x^{-99}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & & &\\ x &-2 &-\frac{3}{2} &-1 &-\frac{3}{4} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{3}{4} &1 &\frac{3}{2} &2\\ & & & & & & & & & &\\ \hline & & & & & & & & & &\\ f_{-1}(x)=x^{-1} &-\frac{1}{2} &-\frac{2}{3} &-1 &-\frac{4}{3} &-2 &2 &\frac{4}{3} &1 &\frac{2}{3} &\frac{1}{2}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-3}(x)=x^{-3} &-\frac{1}{8} &-\frac{8}{27} &-1 &-\frac{64}{27} &-8 &8 &\frac{64}{27} &1 &\frac{8}{27} &\frac{1}{8}\\ & & & & & & & & & &\\ f_{-5}(x)=x^{-5} &-\frac{1}{32} &-\frac{32}{243} &-1 &-\frac{1024}{243} &-32 &32 &\frac{1024}{243} &1 &\frac{32}{243} &\frac{1}{32}\\ & & & & & & & & & &\\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragmenty wykresu funkcji $f_{-3}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,bliżej'' osi OX niż fragmenty wykresu funkcji $f_{-1}\;$ odpowiadające tym argumentom.
   • Fragmenty wykresu $f_{-3}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-1,0)\;$ oraz argumentom z przedziału $(0,1)\;$ są ,,bardziej oddalone'' od osi OY niż fragmenty wykresu funkcji $f_{-1}\;$ odpowiadające tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{-99},\;$ przypomina wykres funkcji $f_{-3}\;$:
   • przechodzi przez punkty $(-1,-1)\;$ i $(1,1),\;$
   • fragmenty wykresu $f_{-99}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$ oraz argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajdują się ,,bliżej'' osi OX niż fragmenty wykresu funkcji $f_{-3}\;$ odpowiadające tym argumentom,
   • fragmenty wykresu $f_{-99}\;$ odpowiadające argumentom z przedziału $(-1,0)\;$ oraz argumentom z przedziału $(0,1)\;$ są ,,bardziej oddalone'' od osi OY niż fragmenty wykresu funkcji $f_{-3}\;$ odpowiadające tym argumentom.

∎
Przykład : 4. Niech $\alpha=\frac{1}{k},\;$ gdzie $k \in \mathrm{C}_+\;$. Symbol $x^{\alpha}\;$ dla $\alpha=\frac{1}{k},\;$ gdzie $k \in \mathrm{C}_+\;$, ma jednoznacznie określony zakres dla zmiennej $x\;$, gdy $k\;$ jest liczbą parzystą, i może być rozumiany na dwa różne sposoby, gdy $k\;$ jest liczbą nieparzystą. [Patrz: Potęga liczby.....]. Dlatego wyróżnimy kilka przypadków. Przypadek I $\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest parzystą liczbą dodatnią, tzn. $\boldsymbol{\alpha\in\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\ldots\right\}}\;$ Niech $\alpha=\frac{1}{k}\;$, gdzie $k\;$ jest dodatnią liczbą parzystą. W tym przypadku symbol $x^{\alpha}\;$ ma sens liczbowy dla $x\in \langle 0,+\infty)\;$ i dlatego funkcja $f_{\alpha}=x^{\alpha}\;$ ma dziedzinę $D_{f}=\langle 0,+\infty)\;$. Dla $\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest parzystą liczbą dodatnią rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{\frac{1}{2}}:\langle 0, +\infty)\rightarrow \R, f_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{x}\;$.)
Dziedzina: $\langle 0, +\infty).\;$ Zbiór wartości: $\langle 0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(0,0), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe $x_0=0.\;$ Zadanie 7.7

1. Porównaj wartości funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}, f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;$ dla argumentów $0, \frac{1}{81}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, 1, 4, 16, 81.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}, f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;$ w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{\frac{1}{100}}(x)=x^{\frac{1}{100}}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & \\ x &0 &\frac{1}{81} &\frac{1}{16} &\frac{1}{4} &1 &4 &16 &81\\ & & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}} &0 &\frac{1}{9} &\frac{1}{4} &\frac{1}{2} &1 &2 &4 &9\\ & & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}} &0 &\frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{\sqrt{2}} &1 &\sqrt{2} &2 &3\\ & & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragment wykresu $f_{\frac{1}{4}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_{\frac{1}{2}}\;$ odpowiadającym tym argumentom.
   • Fragment wykresu $f_{\frac{1}{4}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajduje się ,,nad'' odpowiednim fragmentem wykresu $f_{\frac{1}{2}}\;$.
3. Wykres funkcji $f_{\frac{1}{100}},\;$ przypomina wykres funkcji $f_{\frac{1}{4}}\;$:
   • przechodzi przez punkty $(0,0)\;$ i $(1,1),\;$
   • fragment wykresu $f_{\frac{1}{100}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_{\frac{1}{4}}\;$ odpowiadającym tym argumentom,
   • fragment wykresu $f_{\frac{1}{100}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu funkcji $f_{\frac{1}{4}}\;$ odpowiadającym tym argumentom.

∎ Zadanie 7.8 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;$ oraz wykres funkcji $f_2(x)=x^2.\;$ Co zauważasz? Rozwiązanie: Fragment wykresu funkcji $f_2(x)=x^2\;$ dla argumentów ze zbioru $\langle0, +\infty)\;$ i wykres funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;$ są symetryczne względem prostej opisanej równaniem $y=x.\;$ Praktyczna uwaga: Aby narysować wykres funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;$ można narysować fragment wykresu funkcji $f_2(x)=x^2\;$ dla argumentów z $\langle 0, +\infty)\;$, a następnie odbić go symetrycznie względem prostej $y=x.\;$ ∎ Uwaga 7.9 Powiązania między funkcjami $f_{\frac{1}{2}}\;$ i $f_2\;$, opisane w rozwiązaniu Zadania 6, występują również w przypadku innych par funkcji

• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{2}}(x)=x^{\frac{1}{2}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_2(x)=x^2\;$ rozważanej tylko dla argumentów $x \in \langle 0,+\infty).\;$
• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{4}}(x)=x^{\frac{1}{4}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_4(x)=x^4\;$ rozważanej tylko dla argumentów $x \in \langle 0,+\infty).\;$
• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{6}}(x)=x^{\frac{1}{6}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_6(x)=x^6\;$ rozważanej tylko dla argumentów $x \in \langle 0,+\infty).\;$

Ogólnie:

• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{2k}}(x)=x^{\frac{1}{2k}},\;$ gdzie $k \in \mathrm{C}_+\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{2k}(x)=x^{2k}\;$ rozważanej tylko dla argumentów $x \in \langle 0,+\infty).\;$

∎ Przypadek II $\boldsymbol{\alpha =\frac{1}{1}}\;$ Niech $\alpha=\frac{1}{1}.\;$ Symbol $x^\frac{1}{1}\;$ ma sens liczbowy dla $x \in R\;$, przy czym $x^\frac{1}{1}=x\;$. Funkcja $f(x)=x^\frac{1}{1}\;$ ma dziedzinę $D_f=\R.\;$ Rozważamy funkcję $\boldsymbol{f:\R \rightarrow \R, f(x)=x^\frac{1}{1}.}\;$ Jej wykresem jest prosta o równaniu $y=x\;$.
Dziedzina: $\R.\;$ Zbiór wartości: $\R.\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: $x_0=0.\;$ Wykres ma środek symetrii w punkcie $(0,0)\;$ (funkcja jest nieparzysta). Przypadek III $\boldsymbol{\alpha=\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, tzn. $\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}\ldots\right\}}\;$ Uwaga 7.10 (dotycząca dziedziny funkcji). Zgodnie z tym, co zostało powiedziane w części Potęga liczby .... znaczenie symbolu $x^{\frac{1}{k}}\;$, gdzie $k\;$ jest dodatnią liczba nieparzystą może być interpretowane na dwa sposoby. W podejściu pierwszym potęgę $x^{\frac{1}{k}},\;$ gdzie $k \in \mathrm{C}_+, k>1\;$ i $k\;$ jest liczbą nieparzystą, definiuje się tylko dla $x \in \langle0, +\infty)\;$ (identycznie, jak wszystkie potęgi $x^{\frac{p}{q}},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+).\;$ W podejściu drugim, w przypadku wykładników $\alpha=\frac{1}{k},\;$ gdzie $k\;$ jest liczbą nieparzystą dodatnią, potęga $x^{\alpha}\;$ określona jest wyjątkowo dla wszystkich liczb rzeczywistych $x.\;$ W zależności od wyboru podejścia różnie wygląda wykres funkcji potęgowej, gdyż dziedziny funkcji są różne. W akademickich podręcznikach analizy matematycznej na ogół autorzy są zwolennikami drugiego podejścia, czyli używają rozszerzonej definicji potęgi $x^{\frac{1}{k}}\;$ w tym wyjątkowym przypadku. Również kalkulatory zaprogramowane są zgodnie z drugim podejściem. ∎ Poniżej prezentujemy wykresy funkcji potęgowej zgodnie z każdym ze wspomnianych w Uwadze 7.10 podejść.
Podejście I Dla $\boldsymbol {\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;$. (Wśród tych funkcji jest funkcja $f_{\frac{1}{3}}:\langle 0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\frac{1}{3}}(x)=\sqrt[3]{x}\;$.)
Dziedzina: $\langle 0, +\infty).\;$ Zbiór wartości: $\langle 0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(0,0), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: $x_0=0.\;$
Podejście II Dla $\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;$. (Wśród tych funkcji jest funkcja $f_{\frac{1}{3}}:\R\rightarrow\R, f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$.)
Dziedzina: $\R.\;$ Zbiór wartości: $\R.\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,-1),(0,0), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca w swojej dziedzinie. Miejsce zerowe: $x_0=0.\;$ Zadanie 7.11

1. Porównaj wartości funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ i $f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;$ dla argumentów $0, \frac{1}{32}, \frac{1}{8}, \frac{32}{243}, 1, 8, 32.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}, f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;$ w jednym układzie współrzędnych przyjmując dziedzinę: raz $D_f=\langle 0,+\infty)\;$, drugi raz $D_f=\R.\;$
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{\frac{1}{99}}(x)=x^{\frac{1}{99}}\;$ w przypadku podejścia I (podejścia II)?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & \\ x &0 &\frac{1}{32} &\frac{1}{8} &\frac{32}{243} &1 &8 &32 \\ & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}} &0 &\frac{\sqrt[3]{2}}{4} &\frac{1}{2} &\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{4}{9}} &1 &2 &2\sqrt[3]{4}\\ & & \wedge&\wedge &\wedge & & \vee& \vee\\ f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}} &0 &\frac{1}{2} &\frac{\sqrt[5]{4}}{2} &\frac{2}{3} &1 &\sqrt[5]{8} &2\\ & & & & & & & \\ \hline \end{array}\;$
2. $D=\langle 0,+\infty)\;$
   $D=\R\;$
   Obserwujemy podobne zjawisko, jak przy porównywaniu wykresów funkcji potęgowych o wykładnikach będących odwrotnościami liczb parzystych [patrz Zadanie 5b].
   • Fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ ( i argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$, gdy dziedziną funkcji jest zbiór $\R\;$) znajduje się ,,bliżej'' osi $OX\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{3}}\;$ odpowiadający tym argumentom.
   • Fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ (i argumentom z przedziału $(-1,0)\;$, gdy dziedziną funkcji jest zbiór $\R\;$) znajduje się ,,bliżej'' osi $OY\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{3}}\;$ odpowiadający tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{\frac{1}{99}}\;$ przypomina wykres funkcji $f_{\frac{1}{5}}\;$:
   • przechodzi przez punkty $(0,0)\;$ i $(1,1),\;$ (oraz $(-1,-1)\;$ jeśli dziedziną funkcji jest zbiór $\R\;$),
   • fragment wykresu $f_{\frac{1}{99}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ (i argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$, gdy dziedziną funkcji jest zbiór $\R\;$) znajduje się ,,bliżej''osi $OX\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający tym argumentom,
   • fragment wykresu $f_{\frac{1}{99}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ (i argumentom z przedziału $(-1,0)\;$, gdy dziedziną funkcji jest zbiór $\R\;$) znajduje się ,,bliżej'' osi $OY\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający tym argumentom.

∎ Zadanie 7.12 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ oraz wykres funkcji $f_3(x)=x^3.\;$ Przyjmij w charakterze dziedziny funkcji $f_\frac{1}{3}\;$ zbiór liczb rzeczywistych. Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji $f_3(x)=x^3\;$ i $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ są symetryczne względem prostej opisanej równaniem $y=x.\;$ Praktyczna uwaga: Aby narysować wykres funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ można narysować wykres funkcji $f_3(x)=x^3\;$, a następnie odbić go symetrycznie względem prostej $y=x.\;$ Otrzymana w ten sposób krzywa jest wykresem funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ z dziedziną $D_{f_{\frac{1}{3}}}=\R\;$ (jeśli rozważamy $D_{f_{\frac{1}{3}}}=\langle 0,+\infty)\;$, to względem prostej $y=x\;$ należy odbić część wykresu funkcji $f_3\;$ odpowiadającej argumentom ze zbioru $\langle 0,+\infty)\;$ .) ∎ Uwaga 7.13 Powiązania między funkcjami $f_{\frac{1}{3}}\;$ i $f_3\;$, opisane w rozwiązaniu Zadania 8, występują również w przypadku innych par funkcji

• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{3}}(x)=x^{\frac{1}{3}}\;$ (gdy $D_{f_{\frac{1}{3}}}=\R\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_3(x)=x^3\;$.
• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{5}}(x)=x^{\frac{1}{5}}\;$ (gdy $D_{f_{\frac{1}{5}}}=\R\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_5(x)=x^5\;$.
• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{7}}(x)=x^{\frac{1}{7}}\;$ (gdy $D_{f_{\frac{1}{7}}}=\R\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_7(x)=x^7\;$.

Ogólnie:

• Wykres funkcji $f_{\frac{1}{2s+1}}(x)=x^{\frac{1}{2s+1}},\;$ gdzie $s \in \mathrm{C}_+\;$ i $D_{f_{\frac{1}{2s+1}}}=\R\;$, jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_{2s+1}(x)=x^{2s+1}\;$.

∎
Przykład : 5. Niech $\alpha=-\frac{1}{k},\;$ gdzie $k \in \mathrm{C}_+\;$. Interpretacja symbolu $x^{\alpha}\;$ w tym przypadku, podobnie jak symbolu $x^{\frac{1}{m}}\;$, gdy $m\in \mathrm{C}_+\;$, nastręcza pewne kłopoty. [Patrz Przykład 4.]. Symbol $x^{-\frac{1}{k}}\;$, gdzie $k\in \mathrm{C}_+\;$, ma jednoznaczne określony zakres zmiennej $x\;$, gdy $k\;$ jest liczbą parzystą, i może być rozumiany na dwa różne sposoby, gdy $k\;$ jest liczbą nieparzystą. Dlatego wyróżniamy kilka przypadków. Przypadek I $\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest parzystą liczba dodatnią, tzn. $\boldsymbol{\alpha \in \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots\right\}}\;$. Niech $\alpha=-\frac{1}{k}\;$, gdzie $k\;$ jest parzystą liczbą dodatnią. W tym przypadku symbol $x^{\alpha}\;$ ma sens liczbowy dla $x\in (0,+\infty)\;$ i dlatego funkcja $f_{\alpha}=x^{\alpha}\;$ ma dziedzinę $D_f=(0,+\infty)\;$. Dla $\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest parzystą liczba dodatnią, rozważamy funkcję tzn. $\boldsymbol{f_{\alpha}:(0,+\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}}\;$. (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{-\frac{1}{2}}:( 0, +\infty)\rightarrow \R, f_{-\frac{1}{2}}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.\;$)
Dziedzina: $( 0, +\infty).\;$ Zbiór wartości: $( 0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie. Asymptota pionowa: prosta o równaniu $x=0\;$. Asymptota pozioma w $+\infty\;$: prosta o równaniu $y=0.\;$ Zadanie 7.14

1. Porównaj wartości funkcji $f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;$ dla argumentów $\frac{1}{81} \frac{1}{16}, \frac{16}{81}, \frac{1}{4}, 1,\frac{81}{16}, 16, 81.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;$ w jednym układzie współrzędnych. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{-\frac{1}{100}}(x)=x^{-\frac{1}{100}}\;$?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & & & \\ x &\frac{1}{81} &\frac{1}{16}&\frac{16}{81} &\frac{1}{4} &1 &\frac{81}{16} &16 &81\\ & & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}} &9 & 4 &\frac{9}{4} & 2 &1 &\frac{4}{9} &\frac{1}{4} &\frac{1}{9}\\ & & & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}} &3 &2 &\frac{3}{2} &\sqrt{2} &1 &\frac{2}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{3}\\ & & & & & & & & \\\hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   • Fragment wykresu $f_{-\frac{1}{4}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_{-\frac{1}{2}}\;$ odpowiadającym tym argumentom.
   • Fragment wykresu $f_{-\frac{1}{4}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu $f_{-\frac{1}{2}}\;$ odpowiadającym tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{100}}\;$ przypomina wykres funkcji $f_{-\frac{1}{4}}\;$:
   • przechodzi przez punkt $(1,1),\;$
   • fragment wykresu $f_{-\frac{1}{100}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ znajduje się ,,pod'' fragmentem wykresu $f_{-\frac{1}{4}}\;$ odpowiadającym tym argumentom,
   • fragment wykresu $f_{-\frac{1}{100}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ znajduje się ,,nad'' fragmentem wykresu funkcji $f_{-\frac{1}{4}}\;$ odpowiadającym tym argumentom.

∎ Zadanie 7.15 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji $f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;$ oraz wykres funkcji $f_{-2}(x)=x^{-2}.\;$ Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji $f_{-2}(x)=x^{-2}\;$ i $f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;$ dla argumentów z przedziału $(0,+\infty)\;$ są symetryczne względem prostej opisanej równaniem $y=x.\;$ ∎ Uwaga 7.16 Powiązania między funkcjami $f_{-\frac{1}{2}}\;$ i $f_{-2}\;$, opisane w rozwiązaniu Zadania 10, występują również w przypadku innych par funkcji

• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{2}}(x)=x^{-\frac{1}{2}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{-2}(x)=x^{-2}\;$ dla argumentów z przedziału $( 0,+\infty).\;$
• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{4}}(x)=x^{-\frac{1}{4}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{-4}(x)=x^{-4}\;$ dla argumentów z przedziału $(0,+\infty).\;$
• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{6}}(x)=x^{-\frac{1}{6}}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{-6}(x)=x^{-6}\;$ dla argumentów z przedziału $(0,+\infty).\;$

Ogólnie:

• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{2s}}(x)=x^{-\frac{1}{2s}},\;$ gdzie $s \in \mathrm{C}_+\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{-2s}(x)=x^{-2s}\;$ dla argumentów z przedziału $(0,+\infty).\;$

∎ Przypadek II $\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{1}}\;$ Niech $\alpha=-\frac{1}{1}.\;$ Symbol $x^{-\frac{1}{1}}\;$ ma sens liczbowy dla $x \in \R\setminus\{0\}\;$, przy czym $x^{-\frac{1}{1}}=x^{-1}\;$. Rozważamy funkcję $\boldsymbol{f:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f(x)=x^{-\frac{1}{1}}.}\;$ Funkcja ta jest równa funkcji $f_{-1}:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{-1}(x)=x^{-1}\;$ . [Patrz Przykład 3 Przypadek II]. Przypadek III $\boldsymbol{\alpha=-\frac{1}{k},}\;$ gdzie $\boldsymbol{k}\;$ jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, tzn. $\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{7}\ldots\right\}.}\;$ Uwaga 7.17 (dotycząca dziedziny funkcji). Jak opisano w Uwadze 3 są dwa różne podejścia do definicji potęgi liczby z wykładnikiem postaci $\frac{1}{k}\;$, gdzie $k\;$ jest liczbą nieparzystą dodatnią większą od $1\;$. Konsekwencją tego jest dwojakie spojrzenie na pojęcie potęgi z wykładnikiem postaci $-\frac{1}{k}\;$, gdzie $k\;$ jest wspomnianą wyżej liczbą. W podejściu pierwszym potęgę $x^{-\frac{1}{k}},\;$ gdzie $k\;$ jest nieparzystą liczbą dodatnią większą od 1, określa się tylko dla $x \in (0, +\infty)\;$ (identycznie, jak dla wszystkich wykładników postaci $\frac{p}{q},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+, q\neq 0).\;$ W podejściu drugim, w przypadku wykładników postaci $\alpha=-\frac{1}{k},\;$ gdzie $k\;$ jest liczbą nieparzystą dodatnią większą od 1, potęgę określa się dla podstawy ze zbioru $\R\setminus\{0\}\;$. W zależności od wyboru podejścia różnie wygląda wykres funkcji potęgowej, gdyż dziedziny funkcji są różne. Zarówno podręczniki akademickie analizy matematycznej jak i oprogramowanie kalkulatorów odzwierciedla podejście drugie. ∎ Poniżej prezentujemy wykresy funkcji potęgowej zgodnie z każdym ze wspomnianych w Uwadze 7.17 podejść. Podejście I Dla $\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:( 0, +\infty)\rightarrow\R, f_{\alpha}=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{-\frac{1}{3}}(x):(0,+\infty)\rightarrow\R, f_{-\frac{1}{3}}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\;$.)
Dziedzina: $( 0, +\infty).\;$ Zbiór wartości: $( 0, +\infty).\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie. Asymptota pionowa: prosta o równaniu $x=0\;$. Asymptota pozioma w $+\infty\;$: prosta o równaniu $y=0\;$.
Podejście II Dla $\boldsymbol{\alpha \in \left\{-\frac{1}{3}, -\frac{1}{5}, \ldots\right\}}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_{\alpha}:\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajduje się funkcja $f_{-\frac{1}{3}}(x):\R\setminus\{0\}\rightarrow\R, f_{-\frac{1}{3}}(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\;$.)
Dziedzina: $\R\setminus\{0\}.\;$ Zbiór wartości: $\R\setminus\{0\}.\;$ Punkty wspólne dla wszystkich wykresów: $(-1,-1), (1,1).\;$ Przedziały monotoniczności: funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)\;$ oraz w $(0,+\infty)\;$ (nie jest malejąca w dziedzinie!). Asymptota pionowa: prosta o równaniu $x=0\;$. Asymptota pozioma w $-\infty\;$ i $+\infty\;$: prosta o równaniu $y=0\;$. Zadanie 7.18

1. Porównaj wartości funkcji $f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}, f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;$ dla argumentów $\frac{1}{32}, \frac{1}{8}, \frac{32}{243}, 1,8, 32.\;$
2. Naszkicuj wykresy funkcji $f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}, f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;$ w jednym układzie współrzędnych przyjmując dziedzinę raz $D_f=(0,+\infty)\;$, drugi raz $D_f=\R\setminus\{0\}\;$. Co zauważasz?
3. Jak wygląda wykres funkcji $f_{-\frac{1}{99}}(x)=x^{-\frac{1}{99}}\;$ w przypadku podejścia I (podejścia II)?

Rozwiązanie:

1. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & & \\ x &\frac{1}{32} &\frac{1}{8}&\frac{32}{243} &1 &8 &32\\ & & & & & & \\ \hline & & & & & & \\ f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}} &2\sqrt[3]{4} & 2 &\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{9}{4}} &1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{2\sqrt[3]{4}}\\ &\vee & \vee&\vee & &\wedge & \wedge\\ f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}} &2 &\sqrt[5]{8} &\frac{3}{2} &1 &\frac{1}{\sqrt[5]{8}} &\frac{1}{2}\\ & & & & & & \\ \hline \end{array}\;$
2. Szkic wykresów:
   Obserwujemy podobne zjawisko jak przy porównywaniu wykresów dla wykładników postaci $-\frac{1}{2k}\;$ [patrz Zadanie 10].
   • Fragment wykresu $f_{-\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1,+\infty)\;$ (i argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$, gdy dziedziną funkcji jest $\R\setminus\{0\}\;$) jest ,,bardziej oddalony'' od osi $OX\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{-\frac{1}{3}}\;$ odpowiadający tym argumentom.
   • Fragment wykresu $f_{-\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ (i argumentom z przedziału $(-1,0)\;$, gdy dziedziną funkcji jest $\R\setminus\{0\}\;$) znajduje się ,,bliżej'' osi $OY\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{-\frac{1}{3}}\;$ odpowiadający tym argumentom.
3. Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{99}}\;$ przypomina wykres funkcji $f_{-\frac{1}{5}}\;$:
   • przechodzi przez punkt $(1,1)\;$ (oraz $(-1,-1)\;$, gdy dziedziną funkcji jest $\R\setminus\{0\}\;$)
   • fragment wykresu $f_{-\frac{1}{99}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(1, +\infty)\;$ (i argumentom z przedziału $(-\infty,-1)\;$, gdy dziedziną funkcji jest $\R\setminus\{0\}\;$) jest ,,bardziej oddalony'' od osi $OX\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{-\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający tym argumentom.
   • fragment wykresu $f_{-\frac{1}{100}}\;$ odpowiadający argumentom z przedziału $(0,1)\;$ (i argumentom z przedziału $(-1,0)\;$, gdy dziedziną funkcji jest $\R\setminus\{0\}\;$) znajduje się ,,bliżej'' osi $OY\;$ niż fragment wykresu funkcji $f_{-\frac{1}{5}}\;$ odpowiadający tym argumentom.

∎ Zadanie 7.19 Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji $f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;$ oraz wykres funkcji $f_{-3}(x)=x^{-3}.\;$ Przyjmij w charakterze dziedziny funkcji $f_{-\frac{1}{3}}\;$ zbiór $\R\setminus\{0\}\;$. Co zauważasz? Rozwiązanie: Wykresy funkcji $f_{-3}(x)=x^{-3}\;$ i $f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;$ z dziedziną $\R\setminus\{0\}\;$ są symetryczne względem prostej o równaniu $y=x.\;$ ∎ Uwaga 7.20 Powiązania między funkcjami $f_{-\frac{1}{3}}\;$ i $f_{-3}\;$, opisane w rozwiązaniu Zadania 11, występują również w przypadku innych par funkcji

• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{3}}(x)=x^{-\frac{1}{3}}\;$ (gdy $D_{f_{-\frac{1}{3}}}=\R\setminus\{0\}\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_{-3}(x)=x^{-3}\;$.
• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{5}}(x)=x^{-\frac{1}{5}}\;$ (gdy $D_{f_{-\frac{1}{5}}}=\R\setminus\{0\}\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_{-5}(x)=x^{-5}\;$.
• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{7}}(x)=x^{-\frac{1}{7}}\;$ (gdy $D_{f_{-\frac{1}{7}}}=\R\setminus\{0\}\;$) jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ fragmentu wykresu funkcji $f_{-7}(x)=x^{-7}\;$.

Ogólnie:

• Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{2s+1}}(x)=x^{-\frac{1}{2s+1}},\;$ gdzie $s \in \mathrm{C}_+\;$ i $D_{f_{-\frac{1}{2s+1}}}=\R\setminus\{0\}\;$ jest odbiciem symetrycznym względem prostej $y=x\;$ wykresu funkcji $f_{-(2s+1)}(x)=x^{-(2s+1)}\;$.

∎
Przykład : 6. Niech $\alpha=\frac{p}{q},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+\;$ i $\frac{p}{q}\;$ nie jest postaci $\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;$. Symbol $x^{\frac{p}{q}}\;$ dla liczby $\frac{p}{q}\;$ opisanej powyżej ma sens liczbowy dla $x\in \langle 0, +\infty).\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla $\alpha=\frac{p}{q},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+\;$ i $\frac{p}{q}\;$ nie jest postaci $\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;$, ma dziedzinę $D_f = \langle 0, +\infty).\;$ Dla $\boldsymbol{\alpha=\frac{p}{q},}\;$ gdzie $\boldsymbol{p,q \in \mathrm{C}_+}\;$ i $\boldsymbol{\frac{p}{q}}\;$ nie jest postaci $\boldsymbol{\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+}\;$, rozważamy funkcje $\boldsymbol{f_{\alpha}:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajdują się np. funkcje $f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5},\;$ $f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;$.) Wykresy funkcji $f_\frac{p}{q}(x)=x^\frac{p}{q}\;$ dla $\frac{p}{q}\in (0,1)\;$ przypominają wykresy funkcji $f_\frac{1}{2}, f_\frac{1}{3},\ldots\;$ z dziedziną $\langle 0,+\infty)\;$, a dla $\frac{p}{q}\in (1,+\infty)\;$ przypominają wykresy $f_2,f_3,\ldots\;$ z dziedziną $\langle 0,+\infty).\;$ Zadanie 7.21 Naszkicuj wykres funkcji

1. $f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5},\;$
2. $f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;$.

Rozwiązanie:

1. Ponieważ $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}\;$, więc dla $x\in (0,1)\;$ prawdziwe są nierówności $x^\frac{1}{3}>x^\frac{2}{5}>x^\frac{1}{2}\;$, dla $x\in (1,+\infty)\;$ prawdziwe są nierówności $x^\frac{1}{3}<x^\frac{2}{5}<x^\frac{1}{2}\;$. Szkic wykresu funkcji $f_\frac{2}{5}(x)=x^\frac{2}{5}\;$
   Wykres funkcji $f_\frac{2}{5}\;$ znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_\frac{1}{2}\;$ i $f_\frac{1}{3}\;$.
2. Ponieważ $2<\frac{7}{3}<3\;$, więc dla $x\in (0,1)\;$ prawdziwe są nierówności $x^2>x^\frac{7}{3}>x^3\;$, dla $x\in (1,+\infty)\;$ prawdziwe są nierówności $x^2<x^\frac{7}{3}<x^3\;$. Szkic wykresu funkcji $f_\frac{7}{3}(x)=x^\frac{7}{3}\;$
   Wykres funkcji $f_\frac{7}{3}\;$ znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_2\;$ i $f_3\;$ dla argumentów $x\in \langle 0,+\infty)\;$.

∎
Przykład : 7. Niech $\alpha=-\frac{p}{q},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+\;$ i $\frac{p}{q}\;$ nie jest postaci $\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;$. Symbol $x^{-\frac{p}{q}}\;$ dla liczby $\frac{p}{q}\;$ opisanej powyżej ma sens liczbowy dla $x\in(0, +\infty).\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla $\alpha=-\frac{p}{q},\;$ gdzie $p,q \in \mathrm{C}_+\;$ i $\frac{p}{q}\;$ nie jest postaci $\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+\;$ ma dziedzinę $D_f = ( 0, +\infty).\;$ Dla $\boldsymbol{\alpha=-\frac{p}{q},}\;$ gdzie $\boldsymbol{p,q \in \mathrm{C}_+}\;$ i $\boldsymbol{\frac{p}{q}}\;$ nie jest postaci $\boldsymbol{\frac{1}{k}, k\in \mathrm{C}_+}\;$ rozważamy funkcje $\boldsymbol{f_{-\frac{p}{q}}:( 0, +\infty) \rightarrow \R, f_{-\frac{p}{q}}(x)=x^{-\frac{p}{q}}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajdują się np. funkcje $f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}},\;$ $f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;$.) Wykresy funkcji $f_{-\frac{p}{q}}(x)=x^{-\frac{p}{q}}\;$ dla $\frac{p}{q}\in (0,1)\;$ przypominają wykresy funkcji $f_{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{3}},\ldots\;$ z dziedziną $( 0,+\infty)\;$, a dla $\frac{p}{q}\in (1,+\infty)\;$ przypominają wykresy $f_{-2},f_{-3},\ldots\;$ z dziedziną $( 0,+\infty).\;$ Zadanie 7.22 Naszkicuj wykres funkcji

1. $f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}},\;$
2. $f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;$.

Rozwiązanie:

1. Ponieważ $-\frac{1}{2}<-\frac{2}{5}<-\frac{1}{3}\;$, więc dla $x\in (0,1)\;$ prawdziwe są nierówności $x^{-\frac{1}{2}}>x^{-\frac{2}{5}}>x^{-\frac{1}{3}}\;$, dla $x\in (1,+\infty)\;$ prawdziwe są nierówności $x^{-\frac{1}{2}}<x^{-\frac{2}{5}}<x^{-\frac{1}{3}}\;$. Szkic wykresu funkcji $f_{-\frac{2}{5}}(x)=x^{-\frac{2}{5}}\;$
   Wykres funkcji $f_{-\frac{2}{5}}\;$ znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{-\frac{1}{2}}\;$ i $f_{-\frac{1}{3}}\;$.
2. Ponieważ $-3<-\frac{7}{3}<-2\;$, więc dla $x\in (0,1)\;$ prawdziwe są nierówności $x^{-3}>x^{-\frac{7}{3}}>x^{-2}\;$, dla $x\in (1,+\infty)\;$ prawdziwe są nierówności $x^{-3}<x^{-\frac{7}{3}}<x^{-2}\;$. Szkic wykresu funkcji $f_{-\frac{7}{3}}(x)=x^{-\frac{7}{3}}\;$
   Wykres funkcji $f_{-\frac{7}{3}}\;$ znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{-2}\;$ i $f_{-3}\;$.

∎
Przykład : 8. Niech $\alpha\;$ będzie liczbą niewymierną dodatnią. Symbol $x^\alpha\;$ ma wówczas sens liczbowy dla $x\in\langle 0, +\infty).\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla liczby $\alpha\;$ niewymiernej i dodatniej ma dziedzinę $D_f = \langle 0, +\infty).\;$ Dla niewymiernej dodatniej liczby $\boldsymbol{\alpha}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_\alpha:\langle 0, +\infty) \rightarrow \R,}\;$ $\boldsymbol{f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajdują się takie funkcje jak $f_{\sqrt{2}}(x)=x^{\sqrt{2}}, f_{\pi}(x)=x^{\pi}, f_{\frac{1}{\pi}}(x)=x^{\frac{1}{\pi}}\;$. )

• Jeśli $\alpha\in (0,1)\;$ i $0<w_1<\alpha<w_2<1\;$, gdzie $w_1, w_2\;$ są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji $f_\alpha(x)=x^\alpha\;$ przypomina wykresy funkcji $f_\frac{1}{2}, f_\frac{1}{3},\ldots\;$ z dziedziną $\langle 0,+\infty)\;$ i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;$ i $f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;$. (Wykres funkcji $f_\frac{1}{\pi}(x)=x^\frac{1}{\pi}\;$ znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji $f_\frac{1}{4}\;$ i $f_\frac{1}{3}\;$, bo $\frac{1}{4}<\frac{1}{\pi}<\frac{1}{3}\;$.)
• Jeśli $\alpha\in (1,+\infty)\;$ i $1<w_1<\alpha<w_2\;$, gdzie $w_1, w_2\;$ są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji $f_\alpha(x)=x^\alpha\;$ przypomina wykresy funkcji $f_2, f_3,\ldots\;$ z dziedziną $\langle 0,+\infty)\;$ i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;$ i $f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;$. (Wykres funkcji $f_\pi(x)=x^\pi\;$ znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji $f_3\;$ i $f_4\;$, bo $3<\pi<4\;$.)

Przykład : 9. Niech $\alpha\;$ będzie liczbą niewymierną ujemną. Symbol $x^\alpha\;$ ma wówczas sens liczbowy dla $x\in( 0, +\infty).\;$ Funkcja $f(x)=x^{\alpha}\;$ dla liczby $\alpha\;$ niewymiernej i ujemnej ma dziedzinę $D_f = ( 0, +\infty).\;$ Dla niewymiernej ujemnej liczby $\boldsymbol{\alpha}\;$ rozważamy funkcję $\boldsymbol{f_\alpha:( 0, +\infty) \rightarrow \R,}\;$ $\boldsymbol{f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}.}\;$ (Wśród tych funkcji znajdują się takie funkcje jak $f_{-\sqrt{2}}(x)=x^{-\sqrt{2}}, f_{-\pi}(x)=x^{-\pi}, f_{-\frac{1}{\pi}}(x)= x^{-\frac{1}{\pi}}\;$.)

• Jeśli $\alpha\in (-1,0)\;$ i $-1<w_1<\alpha<w_2<0\;$, gdzie $w_1, w_2\;$ są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji $f_\alpha(x)=x^\alpha\;$ przypomina wykresy funkcji $f_{-\frac{1}{2}}, f_{-\frac{1}{3}},\ldots\;$ z dziedziną $( 0,+\infty)\;$ i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;$ i $f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;$. (Wykres funkcji $f_{-\frac{1}{\pi}}(x)=x^{-\frac{1}{\pi}}\;$ znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji $f_{-\frac{1}{4}}\;$ i $f_{-\frac{1}{3}}\;$, bo $-\frac{1}{4}>-\frac{1}{\pi}>-\frac{1}{3}\;$.)
• Jeśli $\alpha\in (-\infty,-1)\;$ i $w_1<\alpha<w_2<-1\;$, gdzie $w_1, w_2\;$ są liczbami wymiernymi, to wykres funkcji $f_\alpha(x)=x^\alpha\;$ przypomina wykresy funkcji $f_{-2}, f_{-3},\ldots\;$ z dziedziną $( 0,+\infty)\;$ i znajduje się ,,między'' wykresami funkcji $f_{w_1}(x)=x^{w_1}\;$ i $f_{w_2}(x)=x^{w_2}\;$. (Wykres funkcji $f_{-\pi}(x)=x^{-\pi}\;$ znajduje się zatem ,,między'' wykresami funkcji $f_{-4}\;$ i $f_{-3}\;$, bo $-4<-\pi<-3\;$.)