Potęgi. Ćwiczenia - cz.2.

Ćwiczenie 2.1 Przedstaw w postaci potęgi:

1. $2^2\cdot 2^{-5}\cdot 2^{-1}\cdot 2^8\;$,
2. $\frac{2^7\cdot 2^{-5}}{2^{-3}}\;$,
3. $(-3^4)^{-3}\cdot 9^3\;$,
4. $25\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{-3}\cdot\left(-2^{-3}\right)^{-1},\;$
5. $\frac{2\cdot(2\cdot 3)^{-3}\cdot (-3)^5}{(-3\cdot 4)^{-2}}\;$,
6. $\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 4^{-3}\cdot \left(\frac{9}{16}\right)^{-4}\;$,
7. $\frac{(3\cdot 4)^{-2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^5}{9^{-5}\cdot (-0,5)^{5}}\;$.

Odpowiedź:

1. $2^4.\;$
2. $2^5.\;$
3. $-3^{-6}.\;$
4. $-5^{-1}\cdot2^6.\;$
5. $-2^2\cdot 3^4.\;$
6. $2^{12}\cdot 3^{-10}.\;$
7. $-2^6\cdot 3^{3}.\;$

Rozwiązanie:

1. $2^2\cdot 2^{-5}\cdot 2^{-1}\cdot 2^8=2^{2+(-5)+(-1)+8}=2^4\;$.
2. $\frac{2^7\cdot 2^{-5}}{2^{-3}}=\frac{2^{7+(-5)}}{2^{-3}}=2^{2-(-3)}=2^5\;$.
3. $(-3^4)^{-3}\cdot 9^3=$ $(-3^4)^{-3}\cdot (3^2)^3=$ $-3^{4\cdot (-3)}\cdot3^{2\cdot 3}=$ $-3^{-12} \cdot 3^6=$ − 3 − 12 + 6 = $-3^{-6}\;$.
4. $25\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{-3}\cdot\left(-2^{-3}\right)^{-1}=$ $5^2\cdot \frac{5^{-3}}{2^{-3}}\cdot (-2)^{-3\cdot (-1)}=$ $\frac{5^{2+(-3)}}{2^{-3}}\cdot (-2)^3=$ $-\frac{5^{-1}\cdot 2^3}{2^{-3}}=$ $-5^{-1}\cdot 2^{(3-(-3))}=-5^{-1}\cdot 2^6.\;$
5. $\frac{2\cdot(2\cdot 3)^{-3}\cdot (-3)^5}{(-3\cdot 4)^{-2}}=$ $\frac{2\cdot 2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot(-3)^5}{(-3)^{-2}\cdot (2^2)^{-2}}=$ $\frac{-2^{1+(-3)} \cdot 3^{-3+5}}{3^{-2}\cdot 2^{-4}}=$ $\frac{-2^{-2} \cdot 3^{2}}{3^{-2}\cdot 2^{-4}}=$ $-2^{-2-(-4)}\cdot 3^{2-(-2)}=$ $-2^2\cdot 3^4\;$.
6. $\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot 4^{-3}\cdot \left(\frac{9}{16}\right)^{-4}=$ $\frac{2^2}{3^2}\cdot (2^2)^{-3}\cdot \frac{9^{-4}}{16^{-4}}=$ $\frac{2^2}{3^2}\cdot 2^{-6}\cdot \frac{(3^2)^{-4}}{(2^4)^{-4}}=$ $2^2\cdot 3^{-2}\cdot 2^{-6}\cdot 3^{-8}\cdot 2^{16}=$ $=2^{2+(-6)+16}\cdot 3^{-2+(-8)}=2^{12}\cdot 3^{-10}\;$.
7. $\frac{(3\cdot 4)^{-2}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^5}{9^{-5}\cdot (-0,5)^{5}}=$ $\frac{3^{-2}\cdot(2^2)^{-2}\cdot \frac{2^5}{3^5}}{(3^2)^{-5}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5}=$ $\frac{3^{-2}\cdot 2^{-4}\cdot 2^5\cdot 3^{-5}}{3^{-10}\cdot (-2)^{-5}}=$ $-2^{-4+5-(-5)}\cdot 3^{-2+(-5)-(-10)}=$ $=-2^6\cdot3^3\;$.

∎
Ćwiczenie 2.2 Napisz odwrotność wyrażenia:

1. $3x^{-5}y^{2}(z+t)^{-6}\;$,
2. $-\frac{5}{6}a^{n+1}b^{-n+2}\;$.

Odpowiedź:

1. $\frac{1}{3}x^5y^{-2}(z+t)^6.\;$
2. $-\frac{6}{5}a^{-n-1}b^{n-2}.\;$

Rozwiązanie:

1. Odwrotność wyrażenia $3x^{-5}y^{2}(z+t)^{-6}\;$ można zapisać w postaci $\left(3x^{-5}y^{2}(z+t)^{-6}\right)^{-1}\;$. Wykonując odpowiednie działania na potęgach otrzymujemy $\left(3x^{-5}y^{2}(z+t)^{-6}\right)^{-1}=$ 3 − 1(x − 5) − 1(y2) − 1((z + t) − 6) − 1 = $\frac{1}{3}x^5y^{-2}(z+t)^6.\;$
2. Odwrotność wyrażenia $-\frac{5}{6}a^{n+1}b^{-n+2}\;$ można zapisać w postaci $\left(-\frac{5}{6}a^{n+1}b^{-n+2}\right)^{-1}\;$. Wykonując odpowiednie działania na potęgach otrzymujemy $\left(-\frac{5}{6}a^{n+1}b^{-n+2}\right)^{-1}=$ $-\left(\frac{5}{6}\right)^{-1} (a^{n+1})^{-1}(b^{-n+2})^{-1}=$ $-\frac{6}{5}a^{-n-1}b^{n-2}\;$.

∎ Potegi. Cwiczenia - cz. 3.">Dalej