Potęgi. Ćwiczenia - cz.3.

Ćwiczenie 3.1 Oblicz korzystając z definicji pierwiastka arytmetycznego (Definicja 5):

1. $\sqrt{121}\;$,
2. $\sqrt{\frac{1}{196}}\;$,
3. $\sqrt{0,00000009}\;$,
4. $\sqrt{(-7)^2}\;$,
5. $\sqrt[3]{64}\;$,
6. $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\;$,
7. $\sqrt[3]{0,000008}\;$,
8. $\sqrt[4]{256}\;$,
9. $\sqrt[4]{\left(-\frac{1}{25}\right)^2}\;$,
10. $\sqrt[4]{0,0016}\;$.

Odpowiedź:

1. $11\;$.
2. $\frac{1}{14}\;$.
3. $0,0003\;$.
4. $7\;$.
5. $4\;$.
6. $\frac13\;$.
7. $0,02\;$.
8. $4\;$.
9. $\frac15\;$.
10. $0,2\;$.

Rozwiązanie:

1. $\sqrt{121}=11\;$, bo $11\geq 0\;$ i $11^2=121\;$.
2. $\sqrt{\frac{1}{196}}=\frac{1}{14}\;$, bo $\frac{1}{14}\geq 0\;$ \ i $\left(\frac{1}{14}\right)^2=\frac{1}{196}\;$.
3. $\sqrt{0,00000009}=0,0003\;$, bo $0,0003\geq 0\;$ i \ $(0,0003)^2=0,00000009\;$.
4. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\;$, bo $7\geq 0\;$ i $7^2=49\;$.
5. $\sqrt[3]{64}=4\;$, bo $4\geq 0\;$ i $4^3=64\;$.
6. $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}\;$, bo $\frac13\geq 0\;$ \ i $\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}\;$.
7. $\sqrt[3]{0,000008}=0,02\;$, bo $0,02\geq 0\;$ i $(0,02)^3=0,000008\;$.
8. $\sqrt[4]{256}=4\;$, bo $4\geq 0\;$ i $4^4=256\;$.
9. $\sqrt[4]{\left(-\frac{1}{25}\right)^2}= \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}\;$, bo $\frac{1}{5}\geq 0\;$ \ i $\left(\frac15\right)^4=\frac{1}{625}\;$.
10. $\sqrt[4]{0,0016}=0,2\;$, bo $0,2\geq 0\;$ i $(0,2)^4=0,0016\;$.

∎
Ćwiczenie 3.2 Oblicz korzystając z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych (Twierdzenie 6):

1. $\sqrt{144}\;$,
2. $\sqrt{(-5)^2}\;$,
3. $\sqrt[3]{27}\;$,
4. $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\;$,
5. $\sqrt[5]{32}\;$,
6. $\sqrt[6]{(3-\pi)^6}\;$,
7. $\sqrt[7]{(7-\sqrt{7})^7}\;$,
8. $\sqrt[4]{(-36)^2}\;$,
9. $\sqrt[8]{(-5)^4}\;$,
10. $\sqrt[8]{(0,11-0,(1))^2}\;$,
11. $\left(\sqrt[11]{11}\right)^{11},\;$
12. $\left(\sqrt[4]{2-\sqrt{3}}\right)^4\;$.

Odpowiedź:

1. $12\;$.
2. $5\;$.
3. $3\;$.
4. $\frac{1}{3}\;$.
5. $2\;$.
6. $\pi -3\;$.
7. $7-\sqrt{7}\;$.
8. $6\;$.
9. $\sqrt{5}\;$.
10. $\sqrt{\frac{1}{30}}\;$.
11. $11\;$.
12. $2-\sqrt{3}\;$.

Rozwiązanie:

1. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;$ zachodzi równość $\sqrt[k]{a^k}=a\;$ otrzymujemy, że $\sqrt{144}=\sqrt{12^2}=12\;$.
2. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $c\in\R\;$ zachodzi równość $\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;$ otrzymujemy, że $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\;$.
3. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;$ zachodzi równość $\sqrt[k]{a^k}=a\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3\;$.
4. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;$ zachodzi równość $\sqrt[k]{a^k}=a\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{\left(\frac13\right)^4}=\frac13\;$.
5. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;$ zachodzi równość $\sqrt[k]{a^k}=a\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2\;$.
6. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $c\in\R\;$ zachodzi równość $\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[6]{(3-\pi)^6}=|3-\pi|=\pi-3\;$.
7. Korzystając z faktu, że dla dowolnego $\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;$ zachodzi równość $\sqrt[k]{a^k}=a\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[7]{(7-\sqrt{7})^7}=7-\sqrt{7}\;$.
8. Korzystając z faktów, że dla dowolnego $a\geq 0\;$, zachodzi równość $\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;$ oraz, że dla dowolnego $c\in\R\;$ zachodzi równość $\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[4]{(-36)^2}=\sqrt{\sqrt{(-36)^2}}=\sqrt{|-36|}=\sqrt{36}=6\;$.
9. Korzystając z faktów, że dla dowolnego $a\geq 0\;$, zachodzi równość $\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;$ oraz, że dla dowolnego $c\in\R\;$ zachodzi równość $\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[8]{(-5)^4}=\sqrt{\sqrt[4]{(-5)^4}}=\sqrt{|-5|}=\sqrt{5}\;$.
10. Korzystając z faktów, że dla dowolnego $a\geq 0\;$, zachodzi równość $\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;$ oraz, że dla dowolnego $c\in\R\;$ zachodzi równość $\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;$ otrzymujemy, że $\sqrt[8]{(0,11-0,(1))^2}=$ $\sqrt[4]{\sqrt{(0,11-0,(1))^2}}=$ $\sqrt[4]{|0,11-0,(1)|} =$ $\sqrt[4]{0,(1)-0,11}=$ $\sqrt[4]{\frac19-\frac{11}{100}} =$ $\sqrt[4]{\frac{1}{900}}=$ $\sqrt{\sqrt{\frac{1}{900}}}=$ $\sqrt{\frac{1}{30}}\;$.
11. Korzystając z faktu, że dla $a\geq 0\;$ zachodzi równość $\left(\sqrt[k]{a}\right)^k=a\;$ otrzymujemy, że $\left(\sqrt[11]{11}\right)^{11}=11\;$.
12. Korzystając z faktu, że dla $a\geq 0\;$ zachodzi równość $\left(\sqrt[k]{a}\right)^k=a\;$ otrzymujemy, że $\left(\sqrt[4]{2-\sqrt{3}}\right)^4=2-\sqrt{3}\;$.

∎
Ćwiczenie 3.3 Czy jest prawdą, że:

1. $\sqrt[4]{(3-\pi)^{12}}=(3-\pi)^3,\;$
2. $\sqrt{(3-\pi)^6}=(\pi-3)^3,\;$
3. $\sqrt[3]{(3-\pi)^{12}}=(3-\pi)^4,\;$
4. $\sqrt[3]{(3-\pi)^{6}}=(\pi-3)^2,\;$
5. wyrażenie $\left(\sqrt[4]{3-\pi}\right)^{12}\;$ nie ma sensu liczbowego?

Odpowiedź:

1. Nie.
2. Tak.
3. Tak.
4. Tak.
5. Tak.

Rozwiązanie:

1. Nie. Wiadomo, że $\sqrt[4]{x^4}=|x|\;$ dla dowolnego $x \in \R\;$ , zaś $(3-\pi)^3<0,\;$ czyli $|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;$ Mamy zatem $\sqrt[4]{(3-\pi)^{12}}= \sqrt[4]{((3-\pi)^3)^4}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;$.
2. Tak. Wiadomo, że $\sqrt{x^2}=|x|\;$ dla dowolnego $x \in \R\;$ , zaś $(3-\pi)^3<0,\;$ czyli $|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;$ Mamy zatem $\sqrt{(3-\pi)^6}= \sqrt{(\left(3-\pi)^3\right)^2}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;$.
3. Tak. Wiadomo, że $\sqrt[3]{x^3}=x\;$ dla dowolnego $x \geq 0\;$, zatem skoro $(3-\pi)^4\geq 0\;$, więc $\sqrt[3]{(3-\pi)^{12}}= \sqrt[3]{\left((3-\pi)^4\right)^3}=(3-\pi)^4\;$.
4. Tak. Wiadomo, że $\sqrt[3]{x^3}=x\;$ dla dowolnego $x \geq 0\;$, a ponadto $x^2=(-x)^2.\;$ Zatem skoro $(3-\pi)^2\geq 0\;$, więc $\sqrt[3]{(3-\pi)^{6}}= \sqrt[3]{\left((3-\pi)^2\right)^3}=(3-\pi)^2=(\pi-3)^2\;$.
5. Tak. Ponieważ $3-\pi<0\;$, więc wyrażenie $\sqrt[4]{3-\pi}\;$ nie ma sensu liczbowego, a zatem również wyrażenie $\left(\sqrt[4]{3-\pi}\right)^{12}\;$ nie ma sensu liczbowego.

∎
Ćwiczenie 3.4 Uprość:

1. $\sqrt{8}\;$,
2. $\sqrt{45}\;$,
3. $\sqrt[3]{81}\;$,
4. $\sqrt[3]{72}\;$,
5. $\sqrt[4]{32}\;$,
6. $\sqrt[4]{162}\;$.

Odpowiedź:

1. $2\sqrt{2}\;$.
2. $3\sqrt{5}\;$.
3. $3\sqrt[3]{3}\;$.
4. $2\sqrt[3]{9}\;$.
5. $2\sqrt[4]{2}\;$.
6. $3\sqrt[4]{2}\;$.

Rozwiązanie:

1. $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\;$.
2. $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{5}\;$.
3. $\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}\;$.
4. $\sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{8\cdot 9}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{9}=2\sqrt[3]{9}\;$.
5. $\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}\;$.
6. $\sqrt[4]{162}=\sqrt[4]{81\cdot 2}=\sqrt[4]{81}\cdot\sqrt[4]{2}=3\sqrt[4]{2}\;$.

∎
Ćwiczenie 3.5 Oblicz:

1. $\sqrt{50}+\sqrt{32}+\sqrt{18}\;$,
2. $\sqrt{80}+\sqrt{125}-\frac{1}{2}\sqrt{500}\;$,
3. $\sqrt{0,08}+\sqrt{0,0008}\;$,
4. $\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}\;$,
5. $\sqrt[3]{189}-\sqrt[3]{56}\;$,
6. $\sqrt[3]{\frac{256}{1000000}}+\sqrt[3]{0,256}+\sqrt[3]{256}\;$.

Odpowiedź:

1. $12\sqrt{2}\;$.
2. $4\sqrt{5}\;$.
3. $0,22\sqrt{2}\;$.
4. $5\sqrt[3]{3}\;$.
5. $\sqrt[3]{7}\;$.
6. $4,44\sqrt[3]{4}\;$.

Rozwiązanie:

1. $\sqrt{50}+\sqrt{32}+\sqrt{18}=$ $\sqrt{25\cdot 2}+\sqrt{16\cdot 2}+ \sqrt{9\cdot 2}=$ $5\sqrt{2}+4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=$ $12\sqrt{2}\;$.
2. $\sqrt{80}+\sqrt{125}-\frac{1}{2}\sqrt{500}=$ $\sqrt{16\cdot 5}+\sqrt{25\cdot 5}- \frac12 \sqrt{100\cdot 5}=$ $4\sqrt{5}+5\sqrt{5}-\frac12\cdot 10\sqrt5=$ $4\sqrt{5}\;$.
3. $\sqrt{0,08}+\sqrt{0,0008}=$ $\sqrt{0,04\cdot 2}+\sqrt{0,0004\cdot 2}=$ $0,2\sqrt{2}+0,02\sqrt{2}=$ $0,22\sqrt{2}\;$.
4. $\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}=$ $\sqrt[3]{27\cdot 3}+\sqrt[3]{8\cdot 3}=$ $3\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}=$ $5\sqrt[3]{3}\;$.
5. $\sqrt[3]{189}-\sqrt[3]{56}=$ $\sqrt[3]{27\cdot 7}-\sqrt[3]{8\cdot 7}=$ $3\sqrt[3]{7}-2\sqrt[3]{7}=$ $\sqrt[3]{7}\;$.
6. $\sqrt[3]{\frac{256}{1000000}}+\sqrt[3]{0,256}+\sqrt[3]{256}=$ $\sqrt[3]{\frac{4^4}{100^3}}+\sqrt[3]{\frac{4^4}{10^3}}+\sqrt[3]{4^4}=$ $\sqrt[3]{\frac{4^3\cdot 4}{100^3}}+\sqrt[3]{\frac{4^3\cdot 4}{10^3}}+\sqrt[3]{4^3\cdot 4}=$ $\frac{4}{100}\sqrt[3]{4}+ \frac{4}{10}\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{4}=$ $4,44 \sqrt[3]{4}\;$.

∎
Ćwiczenie 3.6 Oblicz:

1. $\sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[12]{\sqrt[3]{\frac 13}}\cdot \sqrt[4]{\sqrt[9]{\frac{1}{34}}}\cdot \sqrt[6]{\sqrt[6]{2}}\;$,
2. $\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot\sqrt[3]{625}}\;$,
3. $\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt{116}}}\;$,
4. $\sqrt[3]{\frac{125\cdot 64^5}{100000^3}}\;$,
5. $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{\sqrt{64}}}}\;$,
6. $\sqrt[4]{(-7)^{28}}:\left(\sqrt[6]{49}\right)^3:\left(\sqrt[3]{343}\right)^5\;$.

Odpowiedź:

1. $1\;$.
2. $\sqrt[3]{5}\;$.
3. $1\;$.
4. $\frac{32}{625}.\;$
5. $0\;$.
6. $7\;$.

Rozwiązanie:

1. $\sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[12]{\sqrt[3]{\frac 13}}\cdot \sqrt[4]{\sqrt[9]{\frac{1}{34}}}\cdot \sqrt[6]{\sqrt[6]{2}}=$ $\sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[36]{\frac 13}\cdot\sqrt[36]{\frac{1}{34}}\cdot\sqrt[36]{2}=$ $\sqrt[36]{51\cdot\frac 13\cdot \frac{1}{34}\cdot 2}=$ $\sqrt[36]{17\cdot 3\cdot \frac 13\cdot \frac{1}{17\cdot 2}\cdot 2}=$ $\sqrt[36]{1}=$ $1\;$.
2. $\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot\sqrt[3]{625}}=$ $\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot \sqrt[3]{5^4}}=$ $\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{5^4}}{\sqrt[3]{5}}}=$ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{5^4}{5}}}=$ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{5^3}}=$ $\sqrt[3]{5}\;$.
3. $\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt{116}}}=$ $\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{2^6}}{\sqrt{29\cdot 4}}}=$ $\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{2}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{4}}}=$ $\sqrt[29]{\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}\cdot\frac 22}=$ $\sqrt[29]{1}=$ $1\;$.
4. $\sqrt[3]{\frac{125\cdot 64^5}{100000^3}}=$ $\sqrt[3]{\frac{5^3\cdot 64^5}{(10^5)^3}}=$ $\sqrt[3]{5^3\cdot\frac{64^5}{(10^3)^5}} =$ $\sqrt[3]{5^3}\cdot\sqrt[3]{\left(\frac{64}{10^3}\right)^5}=$ $5\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{4^3}{10^3}}\right)^5=$ $5\cdot\left(\sqrt[3]{\left(\frac{4}{10}\right)^3}\right)^5=$ $5\cdot\left(\frac{4}{10}\right)^5=$ $5\cdot \left(\frac 25\right)^5=$ $5\cdot \frac{2^5}{5^5}=$ $\frac{2^5}{5^4}=$ $\frac{32}{625}\;$.
5. $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{\sqrt{64}}}}=$ $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{8}}}=$ $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{8}} =$ $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{\sqrt[3]{8}}}=$ $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^3}}}=$ $\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2}}=$ $\sqrt[13]{0}=$ $0\;$.
6. $\sqrt[4]{(-7)^{28}}:\left(\sqrt[6]{49}\right)^3:\left(\sqrt[3]{343}\right)^5=$ $\sqrt[4]{\left((-7)^7\right)^4}:\left(\sqrt[3]{\sqrt{49}}\right)^3: \left(\sqrt[3]{7^3}\right)^5=$ $|(-7)^7|:\sqrt{49}:7^5=$ $|-7^7|:7:7^5= 7^7:7:7^5= 7^6:7^5= 7\;$.

∎