Potęgi. Ćwiczenia - cz.3.

Ćwiczenie 3.1 Oblicz korzystając z definicji pierwiastka arytmetycznego (Definicja 5):

1. \(\sqrt{121}\;\),
2. \(\sqrt{\frac{1}{196}}\;\),
3. \(\sqrt{0,00000009}\;\),
4. \(\sqrt{(-7)^2}\;\),
5. \(\sqrt[3]{64}\;\),
6. \(\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\;\),
7. \(\sqrt[3]{0,000008}\;\),
8. \(\sqrt[4]{256}\;\),
9. \(\sqrt[4]{\left(-\frac{1}{25}\right)^2}\;\),
10. \(\sqrt[4]{0,0016}\;\).

Odpowiedź:

1. \(11\;\).
2. \(\frac{1}{14}\;\).
3. \(0,0003\;\).
4. \(7\;\).
5. \(4\;\).
6. \(\frac13\;\).
7. \(0,02\;\).
8. \(4\;\).
9. \(\frac15\;\).
10. \(0,2\;\).

Rozwiązanie:

1. \(\sqrt{121}=11\;\), bo \(11\geq 0\;\) i \(11^2=121\;\).
2. \(\sqrt{\frac{1}{196}}=\frac{1}{14}\;\), bo \(\frac{1}{14}\geq 0\;\) \ i \(\left(\frac{1}{14}\right)^2=\frac{1}{196}\;\).
3. \(\sqrt{0,00000009}=0,0003\;\), bo \(0,0003\geq 0\;\) i \ \((0,0003)^2=0,00000009\;\).
4. \(\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\;\), bo \(7\geq 0\;\) i \(7^2=49\;\).
5. \(\sqrt[3]{64}=4\;\), bo \(4\geq 0\;\) i \(4^3=64\;\).
6. \(\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}\;\), bo \(\frac13\geq 0\;\) \ i \(\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}\;\).
7. \(\sqrt[3]{0,000008}=0,02\;\), bo \(0,02\geq 0\;\) i \((0,02)^3=0,000008\;\).
8. \(\sqrt[4]{256}=4\;\), bo \(4\geq 0\;\) i \(4^4=256\;\).
9. \(\sqrt[4]{\left(-\frac{1}{25}\right)^2}= \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}\;\), bo \(\frac{1}{5}\geq 0\;\) \ i \(\left(\frac15\right)^4=\frac{1}{625}\;\).
10. \(\sqrt[4]{0,0016}=0,2\;\), bo \(0,2\geq 0\;\) i \((0,2)^4=0,0016\;\).

∎
Ćwiczenie 3.2 Oblicz korzystając z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych (Twierdzenie 6):

1. \(\sqrt{144}\;\),
2. \(\sqrt{(-5)^2}\;\),
3. \(\sqrt[3]{27}\;\),
4. \(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\;\),
5. \(\sqrt[5]{32}\;\),
6. \(\sqrt[6]{(3-\pi)^6}\;\),
7. \(\sqrt[7]{(7-\sqrt{7})^7}\;\),
8. \(\sqrt[4]{(-36)^2}\;\),
9. \(\sqrt[8]{(-5)^4}\;\),
10. \(\sqrt[8]{(0,11-0,(1))^2}\;\),
11. \(\left(\sqrt[11]{11}\right)^{11},\;\)
12. \(\left(\sqrt[4]{2-\sqrt{3}}\right)^4\;\).

Odpowiedź:

1. \(12\;\).
2. \(5\;\).
3. \(3\;\).
4. \(\frac{1}{3}\;\).
5. \(2\;\).
6. \(\pi -3\;\).
7. \(7-\sqrt{7}\;\).
8. \(6\;\).
9. \(\sqrt{5}\;\).
10. \(\sqrt{\frac{1}{30}}\;\).
11. \(11\;\).
12. \(2-\sqrt{3}\;\).

Rozwiązanie:

1. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt{144}=\sqrt{12^2}=12\;\).
2. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(c\in\R\;\) zachodzi równość \(\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\;\).
3. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3\;\).
4. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{\left(\frac13\right)^4}=\frac13\;\).
5. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2\;\).
6. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(c\in\R\;\) zachodzi równość \(\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[6]{(3-\pi)^6}=|3-\pi|=\pi-3\;\).
7. Korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\sqrt[k]{a^k}=a\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[7]{(7-\sqrt{7})^7}=7-\sqrt{7}\;\).
8. Korzystając z faktów, że dla dowolnego \(a\geq 0\;\), zachodzi równość \(\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;\) oraz, że dla dowolnego \(c\in\R\;\) zachodzi równość \(\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[4]{(-36)^2}=\sqrt{\sqrt{(-36)^2}}=\sqrt{|-36|}=\sqrt{36}=6\;\).
9. Korzystając z faktów, że dla dowolnego \(a\geq 0\;\), zachodzi równość \(\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;\) oraz, że dla dowolnego \(c\in\R\;\) zachodzi równość \(\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[8]{(-5)^4}=\sqrt{\sqrt[4]{(-5)^4}}=\sqrt{|-5|}=\sqrt{5}\;\).
10. Korzystając z faktów, że dla dowolnego \(a\geq 0\;\), zachodzi równość \(\sqrt[k]{\sqrt[l]{a}}= \sqrt[k\cdot l]{a}\;\) oraz, że dla dowolnego \(c\in\R\;\) zachodzi równość \(\sqrt[2k]{c^{2k}}=|c|\;\) otrzymujemy, że \(\sqrt[8]{(0,11-0,(1))^2}=\) \(\sqrt[4]{\sqrt{(0,11-0,(1))^2}}=\) \( \sqrt[4]{|0,11-0,(1)|} =\) \(\sqrt[4]{0,(1)-0,11}=\) \(\sqrt[4]{\frac19-\frac{11}{100}} =\) \(\sqrt[4]{\frac{1}{900}}=\) \( \sqrt{\sqrt{\frac{1}{900}}}=\) \(\sqrt{\frac{1}{30}}\;\).
11. Korzystając z faktu, że dla \(a\geq 0\;\) zachodzi równość \(\left(\sqrt[k]{a}\right)^k=a\;\) otrzymujemy, że \(\left(\sqrt[11]{11}\right)^{11}=11\;\).
12. Korzystając z faktu, że dla \(a\geq 0\;\) zachodzi równość \(\left(\sqrt[k]{a}\right)^k=a\;\) otrzymujemy, że \(\left(\sqrt[4]{2-\sqrt{3}}\right)^4=2-\sqrt{3}\;\).

∎
Ćwiczenie 3.3 Czy jest prawdą, że:

1. \(\sqrt[4]{(3-\pi)^{12}}=(3-\pi)^3,\;\)
2. \(\sqrt{(3-\pi)^6}=(\pi-3)^3,\;\)
3. \(\sqrt[3]{(3-\pi)^{12}}=(3-\pi)^4,\;\)
4. \(\sqrt[3]{(3-\pi)^{6}}=(\pi-3)^2,\;\)
5. wyrażenie \(\left(\sqrt[4]{3-\pi}\right)^{12}\;\) nie ma sensu liczbowego?

Odpowiedź:

1. Nie.
2. Tak.
3. Tak.
4. Tak.
5. Tak.

Rozwiązanie:

1. Nie. Wiadomo, że \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\;\) dla dowolnego \(x \in \R\;\) , zaś \((3-\pi)^3<0,\;\) czyli \(|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;\) Mamy zatem \(\sqrt[4]{(3-\pi)^{12}}= \sqrt[4]{((3-\pi)^3)^4}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;\).
2. Tak. Wiadomo, że \(\sqrt{x^2}=|x|\;\) dla dowolnego \(x \in \R\;\) , zaś \((3-\pi)^3<0,\;\) czyli \(|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;\) Mamy zatem \(\sqrt{(3-\pi)^6}= \sqrt{(\left(3-\pi)^3\right)^2}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;\).
3. Tak. Wiadomo, że \(\sqrt[3]{x^3}=x\;\) dla dowolnego \(x \geq 0\;\), zatem skoro \((3-\pi)^4\geq 0\;\), więc \(\sqrt[3]{(3-\pi)^{12}}= \sqrt[3]{\left((3-\pi)^4\right)^3}=(3-\pi)^4\;\).
4. Tak. Wiadomo, że \(\sqrt[3]{x^3}=x\;\) dla dowolnego \(x \geq 0\;\), a ponadto \(x^2=(-x)^2.\;\) Zatem skoro \((3-\pi)^2\geq 0\;\), więc \(\sqrt[3]{(3-\pi)^{6}}= \sqrt[3]{\left((3-\pi)^2\right)^3}=(3-\pi)^2=(\pi-3)^2\;\).
5. Tak. Ponieważ \(3-\pi<0\;\), więc wyrażenie \(\sqrt[4]{3-\pi}\;\) nie ma sensu liczbowego, a zatem również wyrażenie \(\left(\sqrt[4]{3-\pi}\right)^{12}\;\) nie ma sensu liczbowego.

∎
Ćwiczenie 3.4 Uprość:

1. \(\sqrt{8}\;\),
2. \(\sqrt{45}\;\),
3. \(\sqrt[3]{81}\;\),
4. \(\sqrt[3]{72}\;\),
5. \(\sqrt[4]{32}\;\),
6. \(\sqrt[4]{162}\;\).

Odpowiedź:

1. \(2\sqrt{2}\;\).
2. \(3\sqrt{5}\;\).
3. \(3\sqrt[3]{3}\;\).
4. \(2\sqrt[3]{9}\;\).
5. \(2\sqrt[4]{2}\;\).
6. \(3\sqrt[4]{2}\;\).

Rozwiązanie:

1. \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\;\).
2. \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}=3\sqrt{5}\;\).
3. \(\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{3}\;\).
4. \(\sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{8\cdot 9}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{9}=2\sqrt[3]{9}\;\).
5. \(\sqrt[4]{32}=\sqrt[4]{16\cdot 2}=\sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{2}=2\sqrt[4]{2}\;\).
6. \(\sqrt[4]{162}=\sqrt[4]{81\cdot 2}=\sqrt[4]{81}\cdot\sqrt[4]{2}=3\sqrt[4]{2}\;\).

∎
Ćwiczenie 3.5 Oblicz:

1. \(\sqrt{50}+\sqrt{32}+\sqrt{18}\;\),
2. \(\sqrt{80}+\sqrt{125}-\frac{1}{2}\sqrt{500}\;\),
3. \(\sqrt{0,08}+\sqrt{0,0008}\;\),
4. \(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}\;\),
5. \(\sqrt[3]{189}-\sqrt[3]{56}\;\),
6. \(\sqrt[3]{\frac{256}{1000000}}+\sqrt[3]{0,256}+\sqrt[3]{256}\;\).

Odpowiedź:

1. \(12\sqrt{2}\;\).
2. \(4\sqrt{5}\;\).
3. \(0,22\sqrt{2}\;\).
4. \(5\sqrt[3]{3}\;\).
5. \(\sqrt[3]{7}\;\).
6. \(4,44\sqrt[3]{4}\;\).

Rozwiązanie:

1. \(\sqrt{50}+\sqrt{32}+\sqrt{18}=\) \(\sqrt{25\cdot 2}+\sqrt{16\cdot 2}+ \sqrt{9\cdot 2}=\) \( 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\) \(12\sqrt{2}\;\).
2. \(\sqrt{80}+\sqrt{125}-\frac{1}{2}\sqrt{500}=\) \(\sqrt{16\cdot 5}+\sqrt{25\cdot 5}- \frac12 \sqrt{100\cdot 5}=\) \(4\sqrt{5}+5\sqrt{5}-\frac12\cdot 10\sqrt5=\) \(4\sqrt{5}\;\).
3. \(\sqrt{0,08}+\sqrt{0,0008}=\) \(\sqrt{0,04\cdot 2}+\sqrt{0,0004\cdot 2}=\) \( 0,2\sqrt{2}+0,02\sqrt{2}=\) \(0,22\sqrt{2}\;\).
4. \(\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}=\) \(\sqrt[3]{27\cdot 3}+\sqrt[3]{8\cdot 3}=\) \( 3\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}=\) \(5\sqrt[3]{3}\;\).
5. \(\sqrt[3]{189}-\sqrt[3]{56}=\) \(\sqrt[3]{27\cdot 7}-\sqrt[3]{8\cdot 7}=\) \( 3\sqrt[3]{7}-2\sqrt[3]{7}=\) \(\sqrt[3]{7}\;\).
6. \(\sqrt[3]{\frac{256}{1000000}}+\sqrt[3]{0,256}+\sqrt[3]{256}=\) \( \sqrt[3]{\frac{4^4}{100^3}}+\sqrt[3]{\frac{4^4}{10^3}}+\sqrt[3]{4^4}=\) \( \sqrt[3]{\frac{4^3\cdot 4}{100^3}}+\sqrt[3]{\frac{4^3\cdot 4}{10^3}}+\sqrt[3]{4^3\cdot 4}=\) \(\frac{4}{100}\sqrt[3]{4}+ \frac{4}{10}\sqrt[3]{4}+4\sqrt[3]{4}=\) \(4,44 \sqrt[3]{4}\;\).

∎
Ćwiczenie 3.6 Oblicz:

1. \(\sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[12]{\sqrt[3]{\frac 13}}\cdot \sqrt[4]{\sqrt[9]{\frac{1}{34}}}\cdot \sqrt[6]{\sqrt[6]{2}}\;\),
2. \(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot\sqrt[3]{625}}\;\),
3. \(\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt{116}}}\;\),
4. \(\sqrt[3]{\frac{125\cdot 64^5}{100000^3}}\;\),
5. \(\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{\sqrt{64}}}}\;\),
6. \(\sqrt[4]{(-7)^{28}}:\left(\sqrt[6]{49}\right)^3:\left(\sqrt[3]{343}\right)^5\;\).

Odpowiedź:

1. \(1\;\).
2. \(\sqrt[3]{5}\;\).
3. \(1\;\).
4. \(\frac{32}{625}.\;\)
5. \(0\;\).
6. \(7\;\).

Rozwiązanie:

1. \(\sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[12]{\sqrt[3]{\frac 13}}\cdot \sqrt[4]{\sqrt[9]{\frac{1}{34}}}\cdot \sqrt[6]{\sqrt[6]{2}}=\) \( \sqrt[36]{51}\cdot\sqrt[36]{\frac 13}\cdot\sqrt[36]{\frac{1}{34}}\cdot\sqrt[36]{2}=\) \( \sqrt[36]{51\cdot\frac 13\cdot \frac{1}{34}\cdot 2}=\) \(\sqrt[36]{17\cdot 3\cdot \frac 13\cdot \frac{1}{17\cdot 2}\cdot 2}=\) \(\sqrt[36]{1}=\) \(1\;\).
2. \(\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot\sqrt[3]{625}}=\) \( \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\cdot \sqrt[3]{5^4}}=\) \(\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{5^4}}{\sqrt[3]{5}}}=\) \( \sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{5^4}{5}}}=\) \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{5^3}}=\) \(\sqrt[3]{5}\;\).
3. \(\sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt{116}}}=\) \( \sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{\sqrt[6]{2^6}}{\sqrt{29\cdot 4}}}=\) \( \sqrt[29]{\sqrt{29}\cdot\frac{2}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{4}}}=\) \( \sqrt[29]{\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}\cdot\frac 22}=\) \(\sqrt[29]{1}=\) \(1\;\).
4. \(\sqrt[3]{\frac{125\cdot 64^5}{100000^3}}=\) \( \sqrt[3]{\frac{5^3\cdot 64^5}{(10^5)^3}}=\) \(\sqrt[3]{5^3\cdot\frac{64^5}{(10^3)^5}} =\) \(\sqrt[3]{5^3}\cdot\sqrt[3]{\left(\frac{64}{10^3}\right)^5}=\) \( 5\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{4^3}{10^3}}\right)^5=\) \( 5\cdot\left(\sqrt[3]{\left(\frac{4}{10}\right)^3}\right)^5=\) \( 5\cdot\left(\frac{4}{10}\right)^5=\) \(5\cdot \left(\frac 25\right)^5=\) \(5\cdot \frac{2^5}{5^5}=\) \(\frac{2^5}{5^4}=\) \(\frac{32}{625}\;\).
5. \(\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{\sqrt{64}}}}=\) \( \sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{64\cdot \frac{1}{8}}}=\) \( \sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[12]{8}} =\) \(\sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{\sqrt[3]{8}}}=\) \( \sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^3}}}=\) \( \sqrt[13]{\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2}}=\) \( \sqrt[13]{0}=\) \(0\;\).
6. \(\sqrt[4]{(-7)^{28}}:\left(\sqrt[6]{49}\right)^3:\left(\sqrt[3]{343}\right)^5=\) \( \sqrt[4]{\left((-7)^7\right)^4}:\left(\sqrt[3]{\sqrt{49}}\right)^3: \left(\sqrt[3]{7^3}\right)^5=\) \(|(-7)^7|:\sqrt{49}:7^5=\) \(|-7^7|:7:7^5= 7^7:7:7^5= 7^6:7^5= 7\;\).

∎