Ćwiczenie 4.1 Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\;\):
- \(f(x)=\sqrt{x+2}\;\),
- \(f(x)=\sqrt{x^2-36}\;\),
- \(f(x)=\sqrt[4]{(x-100)^2}\;\),
- \(f(x)=\sqrt[6]{(2-x)(x-3)}\;\),
- \(f(x)=\sqrt[8]{x^2+1}\;\),
- \(f(x)=\sqrt[10]{x^2+5x+6}\;\),
- \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2}}\;\),
- \(f(x)=-\frac{1}{\sqrt[4]{5-x}}\;\),
- \(f(x)=\frac{1}{\sqrt[6]{49-x^2}}\;\),
- \(f(x)=\frac{1}{\sqrt[8]{x^2+x+1}}-\frac{1}{\sqrt[10]{x^2-4x+4}}\;\).
Odpowiedź:
- \(D_f=\langle -2,+\infty)\;\).
- \(D_f=(-\infty,-6\rangle\cup\langle 6,+\infty)\;\).
- \(D_f=\R\;\).
- \(D_f=\langle 2,3\rangle\;\).
- \(D_f=\R\;\).
- \(D_f=(-\infty,-3\rangle\cup\langle-2,+\infty)\;\).
- \(D_f=\R\setminus\{0\}\;\).
- \(D_f=(-\infty,5)\;\).
- \(D_f=(-7,7)\;\).
- \(D_f=\R\setminus\{2\}\;\).
Rozwiązanie:
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \(x+2\geq 0\;\). Jest on równoważny warunkowi \(x\geq -2\;\), zatem \(D_f=\langle -2,+\infty)\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \(x^2-36\geq 0\;\). Jest on równoważny warunkowi \(x\in(-\infty,-6\rangle\cup\langle 6,+\infty)\;\), zatem \(D_f=(-\infty,-6\rangle\cup\langle 6,+\infty)\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \((x-100)^2\geq 0\;\). Warunek ten jest spełniony dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\;\), zatem \(D_f=\R\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \((2-x)(x-3)\geq 0\;\). Jest on równoważny warunkowi \(x\in\langle 2,3\rangle\;\), zatem \(D_f=\langle 2,3\rangle\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \(x^2+1\geq 0\;\). Jest on spełniony dla dowolnego \(x\in\R\;\), zatem \(D_f=\R\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony warunek \(x^2+5x+6\geq 0\;\). Zauważmy, że \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\;\), zatem warunek \(x^2+5x+6\geq 0\;\) jest równoważny warunkowi \((x+2)(x+3)\geq 0\;\) i dalej warunkowi \(x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle-2,+\infty)\;\), zatem \(D_f=(-\infty,-3\rangle\cup\langle-2,+\infty)\;\).
- Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} x^2\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne)} \\ \sqrt{x^2}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka musi byc rozny od zera).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} x\in\R& \mbox{ (poniewaz } x^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ )} \\ x\ne 0& \mbox{ (poniewaz } \sqrt{x^2}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } x^2=0 \mbox{ , czyli tylko gdy } x=0 \mbox{ )}. \end{array}\right.\)
Oznacza to, że \(x\in\R\setminus\{0\}\;\), zatem \(D_f=\R\setminus\{0\}\;\). - Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} 5-x\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne)} \\ \sqrt[4]{5-x}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka musi byc rozny od zera).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} x\leq 5& \\ x\ne 5& \mbox{ (poniewaz } \sqrt[4]{5-x}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } 5-x=0 \mbox{ , czyli tylko gdy } x=5 \mbox{ )}. \end{array}\right.\)
Oznacza to, że \(x<5\;\), zatem \(D_f=(-\infty,5)\;\). - Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} 49-x^2\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne)} \\ \sqrt{49-x^2}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka musi byc rozny od zera).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} x\in \langle -7,7\rangle & \\ x\ne -7 \mbox{ i } x\ne 7 & \mbox{ (poniewaz } \sqrt{49-x^2}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } 49-x^2=0 \mbox{ },\\ & \mbox{ czyli tylko gdy } x=-7 \mbox{ lub } x=7 \mbox{ )}. \end{array}\right.\)
Oznacza to, że \(x\in(-7,7)\;\), zatem \(D_f=(-7,7)\;\). - Aby wyrażenie określające funkcję \(f\;\) miało sens, musi być spełniony układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} x^2+x+1\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne)} \\ \sqrt{x^2+x+1}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka musi byc rozny od zera)}\\ x^2-4x+4\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne)} \\ \sqrt{x^2-4x+4}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka musi byc rozny od zera).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} (x+\frac12)^2+\frac34\geq 0& \mbox{ (poniewaz } x^2+x+1=x^2+2\cdot\frac12\cdot x+ \frac14+\frac34=(x+\frac12)^2+\frac34 \mbox{ )}\\ (x+\frac12)^2+\frac34\ne 0& \\ (x-2)^2\geq 0& \mbox{ (poniewaz } x^2-4x+4=(x-2)^2 \mbox{ )}\\ (x-2)^2\ne 0 .& \end{array}\right.\)
Oznacza to, że
\(\left\{\begin{array}{ll} x\in \R& \mbox{ (poniewaz } (x+\frac12)^2+\frac34\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ )}\\ x\in\R& \mbox{ (poniewaz } (x+\frac12)^2+\frac34\ne 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ )} \\ x\in\R& \mbox{ (poniewaz } (x-2)^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ )}\\ x\ne 2& \mbox{ (poniewaz } \sqrt{(x-2)^2}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } (x-2)^2=0 \mbox{ , czyli tylko gdy } x= 2 \mbox{ ).} \end{array}\right.\)
Oznacza to, że \(x\ne 2\;\), zatem \(D_f=\R\setminus\{2\}\;\).
∎
Ćwiczenie 4.2 Określ zakres zmienności dla zmiennych, a następnie uprość wyrażenia z pierwiastkami:
- \(\sqrt{4xy^4}-2x\sqrt{x^2}\;\),
- \(\sqrt[4]{a^2}+\left(\sqrt[4]{(b-1)c}\right)^4\;\),
- \(\sqrt{a^3b^2c^2}+\sqrt{a^2b^3c^2}+\sqrt{a^2b^2c^3}\;\),
- \(\sqrt[6]{\frac{x^4}{x}}+\sqrt[4]{\frac{y^2-1}{y+1}}\;\).
Odpowiedź:
- \(2\left(y^2\sqrt{x}-x^2\right)\;\).
- \(\sqrt{|a|}+(b-1)c\;\).
- \(abc\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\;\).
- \(\sqrt{x}+\sqrt[4]{y-1}\;\).
Rozwiązanie:
- Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków:
\(\left\{\begin{array}{ll} 4xy^4\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ x^2\geq 0 & \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} x\geq 0 \mbox{ i } y\in\R& \mbox{ (poniewaz } 4y^4\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } y \mbox{ )}\\ x\in\R & \mbox{ (poniewaz } x^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ ).} \end{array}\right.\)
Zatem \(x\geq 0\;\) i \(y\in\R\;\).
Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach i z faktu, że jeśli \(x\geq 0\;\), to \(|x|=x\;\), otrzymujemy
\(\sqrt{4xy^4}-2x\sqrt{x^2}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{y^4}-2x|x|=\;\) \(2\sqrt{x}\sqrt{(y^2)^2}-2x\cdot x=2\sqrt{x}\cdot|y^2|-2x^2=2\sqrt{x}\cdot y^2-2x^2=\;\) \(2(y^2\sqrt{x}-x^2)\;\). - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} a^2\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ (b-1)c\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}. \end{array}\right.\)
Ponieważ \((b-1)c\geq 0\;\) wtedy i tylko wtedy, gdy (\(b-1\geq0\;\) i \(c\geq 0\;\)) lub (\(b-1\leq 0\;\) i \(c\leq 0\;\)), więc zmienne muszą spełniać jeden z układów
\(\left\{\begin{array}{ll} a\in\R& \mbox{ (bo } a^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } a \mbox{ )}\\ b-1\geq 0& \\ c\geq 0 \end{array}\right.\)
lub
\(\left\{\begin{array}{ll} a\in\R& \mbox{ (bo } a^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } a \mbox{ )}\\ b-1\leq 0& \\ c\leq 0. \end{array}\right.\)
Zatem
\(\left\{\begin{array}{ll} a\in\R& \\ b\geq 1& \\ c\geq 0 \end{array}\right. \mbox{ lub } \ \left\{\begin{array}{ll} a\in\R& \\ b\leq 1& \\ c\leq 0. \end{array}\right.\)
Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
\(\sqrt[4]{a^2}+\left(\sqrt[4]{(b-1)c}\right)^4=\sqrt{\sqrt{a^2}}+(b-1)c= \sqrt{|a|}+(b-1)c\;\). - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} a^3b^2c^2\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ a^2b^3c^2\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ a^2b^2c^3\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).} \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{ll} a\geq 0 \mbox{ i } b\in\R \mbox{ i } c\in\R& \mbox{ (bo } b^2c^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnych } b,c\in\R \mbox{ , zas } a^3\geq 0 \mbox{ jedynie, gdy } a\geq 0 \mbox{ )}\\ b\geq 0 \mbox{ i } a\in\R \mbox{ i } c\in\R& \mbox{ (bo } a^2c^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnych } a,c\in\R \mbox{ , zas } b^3\geq 0 \mbox{ jedynie, gdy } b\geq 0 \mbox{ )}\\ c\geq 0 \mbox{ i } a\in\R \mbox{ i } b\in\R& \mbox{ (bo } a^2b^2\geq 0 \mbox{ dla dowolnych } a,b\in\R \mbox{ , zas } c^3\geq 0 \mbox{ jedynie, gdy } c\geq 0 \mbox{ ).} \end{array}\right.\)
Zatem \(a\geq 0\;\) i \(b\geq 0\;\) i \(c\geq 0\;\).
Wówczas korzystając z założeń, jakie muszą spełniać zmienne oraz z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
\(\sqrt{a^3b^2c^2}+\sqrt{a^2b^3c^2}+\sqrt{a^2b^2c^3}=\;\) \(\sqrt{a\cdot a^2b^2c^2}+\sqrt{a^2\cdot b\cdot b^2c^2}+\sqrt{a^2b^2\cdot c\cdot c^2}=\;\) \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{(abc)^2}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{(abc)^2}+\;\) \(\sqrt{c}\cdot\sqrt{(abc)^2}=|abc|(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=\;\) \(abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\;\). - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
\(\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^4}{x}\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ x\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)} \\ \frac{y^2-1}{y+1}\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ y+1\ne 0 & \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}. \end{array}\right.\)
Układ ten jest równoważny układowi
\(\left\{\begin{array}{l} x\geq 0 \ \mbox{ (poniewaz } x^4\geq 0 \mbox{ dla dowolnej liczby rzeczywistej } x \mbox{ )}\\ x\ne 0 \\ (y^2-1\geq 0 \mbox{ i } y+1\geq 0) \mbox{ lub } (y^2-1\leq 0 \mbox{ i } y+1\leq 0) \\ y\ne -1. \end{array}\right.\)
Oznacza to, że
\(\left\{\begin{array}{l} x\geq 0 \\ x\ne 0 \\ (y\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 1,+\infty)\mbox{ i } y\geq -1) \mbox{ lub } (y\in\langle-1,1\rangle \mbox{ i } y\leq -1) \\ y\ne -1, \end{array}\right.\)
czyli
\(\left\{\begin{array}{l} x\geq 0 \\ x\ne 0 \\ (y\geq 1) \mbox{ lub } (y=-1) \\ y\ne -1. \end{array}\right.\)
Reasumując otrzymaliśmy, że \(x>0\;\) i \(y\geq 1\;\).
Wówczas korzystając z założeń jakie muszą spełniać zmienne oraz z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
\(\sqrt[6]{\frac{x^4}{x}}+\sqrt[4]{\frac{y^2-1}{y+1}}=\sqrt[6]{x^3}+ \sqrt[4]{\frac{(y-1)(y+1)}{y+1}}=\sqrt{\sqrt[3]{x^3}}+\sqrt[4]{y-1}=\sqrt{x}+ \sqrt[4]{y-1}\;\).
∎