Skip to Content

Potęgi. Ćwiczenia - cz.6.

śr., 09/15/2010 - 15:07 — ciebie

Ćwiczenie 6.1 Oblicz (bez użycia kalkulatora) na dwa sposoby:

  • (A) korzystając z faktu, że dla dowolnego \(a\geq 0\;\) definiujemy \(a^{\frac1k}=\sqrt[k]{a}\;\)
  • (B) korzystając z faktu, że dla dowolnego \(\boldsymbol{a\geq 0} (!)\;\) zachodzi równość \(\left(a^k\right)^{\frac 1k}=a\;\):
  1. \(121^{\frac 12}\;\)
  2. \(27^{\frac 13}\;\),
  3. \(216^{\frac 13}\;\),
  4. \(81^{\frac 14}\;\),
  5. \(32^{\frac 15}\;\),
  6. \(64^{\frac 16}\;\),
  7. \(\left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}\;\),
  8. \(\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}\;\),
  9. \(\left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}\;\),
  10. \(\left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}\;\),
  11. \((1,96)^{\frac 12}\;\),
  12. \((0,0225)^{\frac12}\;\),
  13. \((0,001)^{\frac 13}\;\),
  14. \((0,064)^{\frac 13}\;\),
  15. \((0,0256)^{\frac 14}\;\),
  16. \((0,0000128)^{\frac 17}\;\).


Odpowiedź:

  1. \(11\;\).
  2. \(3\;\).
  3. \(6\;\).
  4. \(3\;\).
  5. \(2\;\).
  6. \(2\;\).
  7. \(\frac{1}{13}\;\).
  8. \(\frac 14\;\).
  9. \(\frac 15\;\).
  10. \(\frac 25\;\).
  11. \(1,4\;\).
  12. \(0,15\;\).
  13. \(0,1\;\).
  14. \(0,4\;\).
  15. \(0,4\;\).
  16. \(0,2\;\).


Rozwiązanie:

    • (A) \(121^{\frac 12}=\sqrt{121}=11\;\).
    • (B) \(121^{\frac 12}=\left(11^2\right)^{\frac{1}{2}}=11\;\).
    • (A) \(27^{\frac 13}=\sqrt[3]{27}=3\;\).
    • (B) \(27^{\frac 13}=\left(3^3\right)^{\frac{1}{3}}=3\;\).
    • (A) \(216^{\frac 13}=\sqrt[3]{216}=6\;\).
    • (B) \(216^{\frac 13}=\left(6^3\right)^{\frac{1}{3}}=6\;\).
    • (A) \(81^{\frac 14}=\sqrt[4]{81}=3\;\).
    • (B) \(81^{\frac 14}=\left(3^4\right)^{\frac{1}{4}}=3\;\).

    • (A) \(32^{\frac 15}=\sqrt[5]{32}=2\;\).
    • (B) \(32^{\frac 15}=\left(2^5\right)^{\frac{1}{5}}=2\;\).
    • (A) \(64^{\frac 16}=\sqrt[6]{64}=2\;\).
    • (B) \(64^{\frac 16}=\left(2^6\right)^{\frac{1}{6}}=2\;\).
    • (A) \(\left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}= \sqrt{\frac{1}{169}} =\frac{1}{13}\;\).
    • (B) \(\left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}= \left(\left(\frac{1}{13}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}} =\frac{1}{13}\;\).
    • (A) \(\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}= \sqrt[3]{\frac{1}{64}}= \frac 14\;\).
    • (B) \(\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}= \left(\left(\frac 14\right)^3\right)^{\frac{1}{3}}= \frac 14\;\).
    • (A) \(\left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}= \sqrt[3]{\frac{1}{125}}= \frac 15\;\).
    • (B) \(\left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}= \left(\left(\frac 15\right)^3\right)^{\frac{1}{3}}= \frac 15\;\).
    • (A) \(\left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}= \sqrt[4]{\frac{16}{625}}=\frac 25\;\).
    • (B) \(\left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}= \left(\left(\frac 25\right)^4\right)^{\frac{1}{4}}=\frac 25\;\).
    • (A) \((1,96)^{\frac 12}=\sqrt{1,96}=1,4\;\).
    • (B) \((1,96)^{\frac 12}=\left((1,4)^2\right)^{\frac{1}{2}}=1,4\;\).
    • (A) \((0,0225)^{\frac12}=\sqrt{0,0225}=0,15\;\).
    • (B) \((0,0225)^{\frac12}=\left((0,15)^2\right)^{\frac12}=0,15\;\).
    • (A) \((0,001)^{\frac 13}=\sqrt[3]{0,001}=0,1\;\).
    • (B) \((0,001)^{\frac 13}=\left((0,1)^3\right)^{\frac{1}{3}}=0,1\;\).
    • (A) \((0,064)^{\frac 13}=\sqrt[3]{0,064}=0,4\;\).
    • (B) \((0,064)^{\frac 13}=\left((0,4)^3\right)^{\frac{1}{3}}=0,4\;\).
    • (A) \((0,0256)^{\frac 14}=\sqrt[4]{0,0256}=0,4\;\).
    • (B) \((0,0256)^{\frac 14}=\left((0,4)^4\right)^{\frac{1}{4}}=0,4\;\).
    • (A) \((0,0000128)^{\frac 17}=\sqrt[7]{0,0000128}=0,2\;\).
    • (B) \((0,0000128)^{\frac 17}=\left((0,2)^7\right)^{\frac{1}{7}}=0,2\;\).
∎

Ćwiczenie 6.2 Czy jest prawdą, że:

  1. \(\left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac 14}=(3-\pi)^3,\;\)
  2. \(\left((3-\pi)^6\right)^{\frac{1}{2}}=(\pi-3)^3,\;\)
  3. \(\left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac{1}{3}}=(3-\pi)^4,\;\)
  4. \(\left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac{1}{3}}=(\pi-3)^2,\;\)
  5. wyrażenie \(\left((3-\pi)^{\frac{1}{4}}\right)^{12}\;\) nie ma sensu liczbowego?


Odpowiedź:

  1. Nie.
  2. Tak.
  3. Tak.
  4. Tak.
  5. Tak.


Rozwiązanie:

  1. Nie. Wiadomo, że \((x^4)^{\frac{1}{4}}=|x|\;\) dla dowolnego \(x\in\R\;\), zaś \((3-\pi)^3<0,\;\) czyli \(|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;\) Mamy zatem \(\left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac 14}= \left(\left((3-\pi)^3\right)^4\right)^{\frac 14}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;\).
  2. Tak. Wiadomo, że \((x^2)^{\frac{1}{2}}=|x|\;\) dla dowolnego \(x\in\R\;\), zaś \((3-\pi)^3<0,\;\) czyli \(|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\;\) Mamy zatem \(\left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac {1}{2}}= \left(\left((3-\pi)^3\right)^2\right)^{\frac 12}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;\).
  3. Tak. Wiadomo, że \((x^3)^{\frac{1}{3}}=x\;\) dla dowolnego \(x\geq 0\;\), zatem skoro \((3-\pi)^4\geq 0\;\), więc \(\left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac {1}{3}}= \left(\left((3-\pi)^4\right)^3\right)^{\frac {1}{3}}=(3-\pi)^4\;\).
  4. Tak. Wiadomo, że \((x^3)^{\frac{1}{3}}=x\;\) dla dowolnego \(x\geq 0\;\), a ponadto \(x^2=(-x)^2.\;\) Zatem skoro \((3-\pi)^2\geq 0\;\), więc \(\left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac {1}{3}}= \left(\left((3-\pi)^2\right)^3\right)^{\frac {1}{3}}=(3-\pi)^2=(\pi-3)^2\;\).
  5. Tak. Ponieważ \(3-\pi<0\;\), więc wyrażenie \((3-\pi)^{\frac{1}{4}}\;\) nie ma sensu liczbowego, a zatem również wyrażenie \(\left((3-\pi)^{\frac{1}{4}}\right)^{12}\;\) nie ma sensu liczbowego.
∎

Ćwiczenie 6.3 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. \(2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}\;\),
  2. \(\left(8^{\frac13}\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot \left(16^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}\;\),
  3. \(\left(2^{\frac 13}-\left(64^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}\;\),
  4. \(\left((-5)^2\right)^{\frac 12}\cdot 5^{\frac 12}\cdot 125^{\frac 12}\;\),
  5. \(\left((-2)^{82}\right)^{\frac{1}{82}}\cdot\left(64^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\;\),
  6. \(57^{\frac 13}\cdot\left(\frac{1}{19}\right)^{\frac 13}\cdot \left(9^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 19}\;\).


Odpowiedź:

  1. \(36\;\).
  2. \(1\;\).
  3. \(0\;\).
  4. \(125\;\).
  5. \(4\;\).
  6. \(3\;\).


Rozwiązanie:

  1. \(2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}=2^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}=(2\cdot 8)^{\frac 12}\cdot (3\cdot 27)^{\frac 12}= 16^{\frac 12}\cdot 81^{\frac 12}=4\cdot 9=36\;\).
  2. \(\left(8^{\frac13}\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot \left(16^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}= \left(2\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot\left(\left(2^4\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}=1^{\frac15}\cdot\left(\left(2^{\frac 13}\right)^{4}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}=1\cdot2^{\frac 13}:2^{\frac 13}=1\;\).
  3. \(\left(2^{\frac 13}-\left(64^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=\left(2^{\frac 13}-\left(\left(2^6\right)^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=\left(2^{\frac 13}-2^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=0^{\frac{1}{1237}}=0\;\).
  4. \(\left((-5)^2\right)^{\frac 12}\cdot 5^{\frac 12}\cdot 125^{\frac 12}=|-5|\cdot (5\cdot 125)^{\frac 12}=5\cdot 625^{\frac 12}=5\cdot 25=125\;\).
  5. \(\left((-2)^{82}\right)^{\frac{1}{82}}\cdot\left(64^{\frac 13}\right)^{\frac 12}=|-2|\cdot\left(\left(4^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 12}=2\cdot 4^{\frac 12}=2\cdot 2=4\;\).
  6. \(57^{\frac 13}\cdot\left(\frac{1}{19}\right)^{\frac 13}\cdot \left(9^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 19}= (19\cdot 3)^{\frac 13}\cdot \frac{1}{19^{\frac 13}}\cdot \left(9^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot\left(3^3\right)^{\frac 19}= 19^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}\cdot \frac{1}{19^{\frac 13}}\cdot 3^{\frac 13}\cdot \left(\left(3^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 13}=\frac{19^{\frac 13}}{19^{\frac 13}}\cdot 3^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}=(3\cdot 3\cdot 3)^{\frac 13}= \left(3^3\right)^{\frac 13}=3\;\).
∎



Theme by Dr. Radut.