Processing math: 1%
Skip to Content

Potęgi. Ćwiczenia - cz.6.

śr., 09/15/2010 - 15:07 — ciebie

Ćwiczenie 6.1 Oblicz (bez użycia kalkulatora) na dwa sposoby:

  • (A) korzystając z faktu, że dla dowolnego a≥0 definiujemy a1k=k√a
  • (B) korzystając z faktu, że dla dowolnego \boldsymbol{a\geq 0} (!)\; zachodzi równość \left(a^k\right)^{\frac 1k}=a\;:
  1. 121^{\frac 12}\;
  2. 27^{\frac 13}\;,
  3. 216^{\frac 13}\;,
  4. 81^{\frac 14}\;,
  5. 32^{\frac 15}\;,
  6. 64^{\frac 16}\;,
  7. \left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}\;,
  8. \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}\;,
  9. \left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}\;,
  10. \left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}\;,
  11. (1,96)^{\frac 12}\;,
  12. (0,0225)^{\frac12}\;,
  13. (0,001)^{\frac 13}\;,
  14. (0,064)^{\frac 13}\;,
  15. (0,0256)^{\frac 14}\;,
  16. (0,0000128)^{\frac 17}\;.


Odpowiedź:

  1. 11\;.
  2. 3\;.
  3. 6\;.
  4. 3\;.
  5. 2\;.
  6. 2\;.
  7. \frac{1}{13}\;.
  8. \frac 14\;.
  9. \frac 15\;.
  10. \frac 25\;.
  11. 1,4\;.
  12. 0,15\;.
  13. 0,1\;.
  14. 0,4\;.
  15. 0,4\;.
  16. 0,2\;.


Rozwiązanie:

    • (A) 121^{\frac 12}=\sqrt{121}=11\;.
    • (B) 121^{\frac 12}=\left(11^2\right)^{\frac{1}{2}}=11\;.
    • (A) 27^{\frac 13}=\sqrt[3]{27}=3\;.
    • (B) 27^{\frac 13}=\left(3^3\right)^{\frac{1}{3}}=3\;.
    • (A) 216^{\frac 13}=\sqrt[3]{216}=6\;.
    • (B) 216^{\frac 13}=\left(6^3\right)^{\frac{1}{3}}=6\;.
    • (A) 81^{\frac 14}=\sqrt[4]{81}=3\;.
    • (B) 81^{\frac 14}=\left(3^4\right)^{\frac{1}{4}}=3\;.

    • (A) 32^{\frac 15}=\sqrt[5]{32}=2\;.
    • (B) 32^{\frac 15}=\left(2^5\right)^{\frac{1}{5}}=2\;.
    • (A) 64^{\frac 16}=\sqrt[6]{64}=2\;.
    • (B) 64^{\frac 16}=\left(2^6\right)^{\frac{1}{6}}=2\;.
    • (A) \left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}= \sqrt{\frac{1}{169}} =\frac{1}{13}\;.
    • (B) \left(\frac{1}{169}\right)^{\frac 12}= \left(\left(\frac{1}{13}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}} =\frac{1}{13}\;.
    • (A) \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}= \sqrt[3]{\frac{1}{64}}= \frac 14\;.
    • (B) \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac 13}= \left(\left(\frac 14\right)^3\right)^{\frac{1}{3}}= \frac 14\;.
    • (A) \left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}= \sqrt[3]{\frac{1}{125}}= \frac 15\;.
    • (B) \left(\frac{1}{125}\right)^{\frac 13}= \left(\left(\frac 15\right)^3\right)^{\frac{1}{3}}= \frac 15\;.
    • (A) \left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}= \sqrt[4]{\frac{16}{625}}=\frac 25\;.
    • (B) \left(\frac{16}{625}\right)^{\frac 14}= \left(\left(\frac 25\right)^4\right)^{\frac{1}{4}}=\frac 25\;.
    • (A) (1,96)^{\frac 12}=\sqrt{1,96}=1,4\;.
    • (B) (1,96)^{\frac 12}=\left((1,4)^2\right)^{\frac{1}{2}}=1,4\;.
    • (A) (0,0225)^{\frac12}=\sqrt{0,0225}=0,15\;.
    • (B) (0,0225)^{\frac12}=\left((0,15)^2\right)^{\frac12}=0,15\;.
    • (A) (0,001)^{\frac 13}=\sqrt[3]{0,001}=0,1\;.
    • (B) (0,001)^{\frac 13}=\left((0,1)^3\right)^{\frac{1}{3}}=0,1\;.
    • (A) (0,064)^{\frac 13}=\sqrt[3]{0,064}=0,4\;.
    • (B) (0,064)^{\frac 13}=\left((0,4)^3\right)^{\frac{1}{3}}=0,4\;.
    • (A) (0,0256)^{\frac 14}=\sqrt[4]{0,0256}=0,4\;.
    • (B) (0,0256)^{\frac 14}=\left((0,4)^4\right)^{\frac{1}{4}}=0,4\;.
    • (A) (0,0000128)^{\frac 17}=\sqrt[7]{0,0000128}=0,2\;.
    • (B) (0,0000128)^{\frac 17}=\left((0,2)^7\right)^{\frac{1}{7}}=0,2\;.
∎

Ćwiczenie 6.2 Czy jest prawdą, że:

  1. \left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac 14}=(3-\pi)^3,\;
  2. \left((3-\pi)^6\right)^{\frac{1}{2}}=(\pi-3)^3,\;
  3. \left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac{1}{3}}=(3-\pi)^4,\;
  4. \left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac{1}{3}}=(\pi-3)^2,\;
  5. wyrażenie \left((3-\pi)^{\frac{1}{4}}\right)^{12}\; nie ma sensu liczbowego?


Odpowiedź:

  1. Nie.
  2. Tak.
  3. Tak.
  4. Tak.
  5. Tak.


Rozwiązanie:

  1. Nie. Wiadomo, że (x^4)^{\frac{1}{4}}=|x|\; dla dowolnego x\in\R\;, zaś (3-\pi)^3<0,\; czyli |(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\; Mamy zatem \left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac 14}= \left(\left((3-\pi)^3\right)^4\right)^{\frac 14}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;.
  2. Tak. Wiadomo, że (x^2)^{\frac{1}{2}}=|x|\; dla dowolnego x\in\R\;, zaś (3-\pi)^3<0,\; czyli |(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3.\; Mamy zatem \left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac {1}{2}}= \left(\left((3-\pi)^3\right)^2\right)^{\frac 12}=|(3-\pi)^3|=(\pi-3)^3\;.
  3. Tak. Wiadomo, że (x^3)^{\frac{1}{3}}=x\; dla dowolnego x\geq 0\;, zatem skoro (3-\pi)^4\geq 0\;, więc \left((3-\pi)^{12}\right)^{\frac {1}{3}}= \left(\left((3-\pi)^4\right)^3\right)^{\frac {1}{3}}=(3-\pi)^4\;.
  4. Tak. Wiadomo, że (x^3)^{\frac{1}{3}}=x\; dla dowolnego x\geq 0\;, a ponadto x^2=(-x)^2.\; Zatem skoro (3-\pi)^2\geq 0\;, więc \left((3-\pi)^{6}\right)^{\frac {1}{3}}= \left(\left((3-\pi)^2\right)^3\right)^{\frac {1}{3}}=(3-\pi)^2=(\pi-3)^2\;.
  5. Tak. Ponieważ 3-\pi<0\;, więc wyrażenie (3-\pi)^{\frac{1}{4}}\; nie ma sensu liczbowego, a zatem również wyrażenie \left((3-\pi)^{\frac{1}{4}}\right)^{12}\; nie ma sensu liczbowego.
∎

Ćwiczenie 6.3 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. 2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}\;,
  2. \left(8^{\frac13}\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot \left(16^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}\;,
  3. \left(2^{\frac 13}-\left(64^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}\;,
  4. \left((-5)^2\right)^{\frac 12}\cdot 5^{\frac 12}\cdot 125^{\frac 12}\;,
  5. \left((-2)^{82}\right)^{\frac{1}{82}}\cdot\left(64^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\;,
  6. 57^{\frac 13}\cdot\left(\frac{1}{19}\right)^{\frac 13}\cdot \left(9^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 19}\;.


Odpowiedź:

  1. 36\;.
  2. 1\;.
  3. 0\;.
  4. 125\;.
  5. 4\;.
  6. 3\;.


Rozwiązanie:

  1. 2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}=2^{\frac 12}\cdot 8^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 12}=(2\cdot 8)^{\frac 12}\cdot (3\cdot 27)^{\frac 12}= 16^{\frac 12}\cdot 81^{\frac 12}=4\cdot 9=36\;.
  2. \left(8^{\frac13}\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot \left(16^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}= \left(2\cdot\frac12\right)^{\frac15}\cdot\left(\left(2^4\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}=1^{\frac15}\cdot\left(\left(2^{\frac 13}\right)^{4}\right)^{\frac 14}:2^{\frac 13}=1\cdot2^{\frac 13}:2^{\frac 13}=1\;.
  3. \left(2^{\frac 13}-\left(64^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=\left(2^{\frac 13}-\left(\left(2^6\right)^{\frac 16}\right)^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=\left(2^{\frac 13}-2^{\frac 13}\right)^{\frac{1}{1237}}=0^{\frac{1}{1237}}=0\;.
  4. \left((-5)^2\right)^{\frac 12}\cdot 5^{\frac 12}\cdot 125^{\frac 12}=|-5|\cdot (5\cdot 125)^{\frac 12}=5\cdot 625^{\frac 12}=5\cdot 25=125\;.
  5. \left((-2)^{82}\right)^{\frac{1}{82}}\cdot\left(64^{\frac 13}\right)^{\frac 12}=|-2|\cdot\left(\left(4^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 12}=2\cdot 4^{\frac 12}=2\cdot 2=4\;.
  6. 57^{\frac 13}\cdot\left(\frac{1}{19}\right)^{\frac 13}\cdot \left(9^{\frac 13}\right)^{\frac 12}\cdot 27^{\frac 19}= (19\cdot 3)^{\frac 13}\cdot \frac{1}{19^{\frac 13}}\cdot \left(9^{\frac 12}\right)^{\frac 13}\cdot\left(3^3\right)^{\frac 19}= 19^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}\cdot \frac{1}{19^{\frac 13}}\cdot 3^{\frac 13}\cdot \left(\left(3^3\right)^{\frac 13}\right)^{\frac 13}=\frac{19^{\frac 13}}{19^{\frac 13}}\cdot 3^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}\cdot 3^{\frac 13}=(3\cdot 3\cdot 3)^{\frac 13}= \left(3^3\right)^{\frac 13}=3\;.
∎



Theme by Dr. Radut.