Skip to Content

Potęgi. Ćwiczenia - cz.7.

śr., 09/15/2010 - 15:07 — ciebie

Ćwiczenie 7.1 Czy poniższe wyrażenie ma sens liczbowy? Jeżeli tak, to oblicz jego wartość.

  1. \(0^5,\;\)
  2. \(0^{-5},\;\)
  3. \(0^{\frac{1}{2}},\;\)
  4. \(0^{(2^3-3^2)},\;\)
  5. \(0^{\frac{2^3\cdot 2^5}{3^2\cdot 3^4}},\;\)
  6. \((2+\sqrt[3]{-64} \cdot 2^{-1})^{3}.\;\)


Odpowiedź:

  1. Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się \(0\;\).
  2. Nie, wyrażenie nie ma sensu liczbowego.
  3. Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się \(0\;\).
  4. Nie, wyrażenie nie ma sensu liczbowego.
  5. Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się \(0\;\).
  6. Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się \(0\;\).


Rozwiązanie:

  1. Tak, gdyż \(5>0\;\), a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie \(0\;\) jest określona. Wyrażenie to ma wartość \(0\;\).
  2. Nie, gdyż \(-5<0\;\), a wykładnik potęgi przy podstawie \(0\;\) musi być liczbą dodatnią.
  3. Tak, gdyż \(\frac{1}{2}>0\;\), a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie \(0\;\) jest określona. Wyrażenie to ma wartość \(0\;\).
  4. Nie, gdyż \(2^3-3^2=-1<0\;\), a wykładnik potęgi przy podstawie \(0\;\) musi być liczbą dodatnią.
  5. Tak, gdyż \(\frac{2^3\cdot 2^5}{3^2\cdot 3^4}=\frac{2^8}{3^6}>0\;\), a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie \(0\;\) jest określona. Wyrażenie to ma wartość \(0\;\).
  6. Tak, gdyż \(2+\sqrt[3]{-64} \cdot 2^{-1}=2+(-4) \cdot \frac{1}{2}=2-2=0,\;\) oraz \(3>0\;\), a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie \(0\;\) jest określona. Wyrażenie to ma wartość \(0\;\).
∎

Ćwiczenie 7.2 Zapisz poniższe liczby w postaci potęgi liczby \(2\;\):

  1. \(\sqrt{2\sqrt{2}},\;\)
  2. \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2},\;\)
  3. \(\frac{2^3\cdot \frac{1}{2} :\sqrt{2}}{(\frac{1}{2})^3 \cdot \sqrt[3]{2}},\;\)
  4. \((\sqrt{8} \cdot \sqrt[4]{4})^3,\;\)
  5. \(\frac{\sqrt[3]{2}}{8} \cdot \frac{16}{\sqrt[6]{8}},\;\)
  6. \(\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{2}}{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{2}},\;\)
  7. \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt{2}},\;\)
  8. \(\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}},\;\)
  9. \(2^2: \frac{1}{4^{\frac{5}{4}}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4:\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^{-2},\;\)
  10. \(\left(\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}}\right)^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}.\;\)


Odpowiedź:

  1. \(2^{\frac{3}{4}}.\;\)
  2. \(2^{\frac{13}{12}}.\;\)
  3. \(2^{\frac{25}{6}}.\;\)
  4. \(2^6.\;\)
  5. \(2^\frac{5}{6}.\;\)
  6. \(2^{-\frac{2}{3}}.\;\)
  7. \(2^{\frac{7}{18}}.\;\)
  8. \(2^{-\frac{7}{8}}.\;\)
  9. \(2^{\frac{22}{3}}.\;\)
  10. \(2^{\frac{35}{6}}.\;\)


Rozwiązanie:

  1. \(\sqrt{2\sqrt{2}}= \sqrt{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2^{1+\frac{1}{2}}}=(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{4}}.\;\)
  2. \(\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=2^{\frac{13}{12}}.\;\)
  3. \(\frac{2^3\cdot \frac{1}{2} :\sqrt{2}}{(\frac{1}{2})^3 \cdot \sqrt[3]{2}}=\frac{2^3\cdot 2^{-1} : 2^{\frac{1}{2}}}{2^{-3} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{3-1-\frac{1}{2}}}{2^{-3+\frac{1}{3}}}= \frac{2^{\frac{3}{2}}}{2^{-\frac{8}{3}}}=2^{\frac{3}{2}+\frac{8}{3}}=2^{\frac{25}{6}}.\;\)
  4. \((\sqrt{8} \cdot \sqrt[4]{4})^3= \left((2^3)^{\frac{1}{2}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{4}}\right)^3= \left(2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{4}}\right)^3=(2^2)^3=2^6.\;\)
  5. \(\frac{\sqrt[3]{2}}{8} \cdot \frac{16}{\sqrt[6]{8}}= \frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^3}\cdot \frac{2^4}{\sqrt[6]{2^3}}=\frac{2^{4+\frac{1}{3}}}{2^{3+\frac{3}{6}}}=2^{\frac{13}{3}-\frac{21}{6}}=2^\frac{5}{6}.\;\)
  6. \(\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{2}}{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left( \frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{2}}= \left(\frac{2^1}{2^{-\frac{1}{3}}}\right)^{-\frac{1}{2}}=(2^{\frac{4}{3}})^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{2}{3}}.\;\)
  7. \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt{2}}=\sqrt[3]{(2^2)^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{2^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\left(2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{3}}=2^{\frac{7}{18}}.\;\)
  8. \(\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}= \sqrt{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}}= \sqrt{\frac{1}{2} \sqrt{2^{-1} \cdot 2^{-\frac{1}{2}}}}=\sqrt{2^{-1} \cdot (2^{-\frac{3}{2}})^\frac{1}{2}}=\sqrt{2^{-1} \cdot 2^{-\frac{3}{4}}}=(2^{-\frac{7}{4}})^\frac{1}{2} = 2^{-\frac{7}{8}}.\;\)
  9. \(2^2: \frac{1}{4^{\frac{5}{4}}}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot 4:\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^{-2}=2^2:\frac{1}{(2^2)^{\frac{5}{4}}}\cdot(2^{-1})^{-\frac{3}{2}}\cdot 2^2:(2^{-\frac{1}{3}})^{-2}=2^2:2^{-\frac{5}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^2:2^{\frac{2}{3}}=2^{2-(-\frac{5}{2})+\frac{3}{2} +2-\frac{2}{3}}=2^{\frac{22}{3}}.\;\)
  10. \(\left(\sqrt[3]{16\sqrt[4]{8\sqrt{2}}}\right)^2 \cdot \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}=\left(\sqrt[3]{2^4\cdot(2^3\cdot 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}}}\right)^2\cdot \sqrt[3]{2^5\cdot 2^{\frac{1}{4}}}\cdot \sqrt{2\cdot(2^2\cdot (2^2)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{4}}}= ((2^4\cdot (2^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}})^2 \cdot (2^{\frac{21}{4}})^{\frac{1}{3}}\cdot (2\cdot (2^2\cdot 2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}= (2^{4+\frac{7}{8}})^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot (2 \cdot (2^{\frac{8}{3}})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{39}{8}\cdot \frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{13}{4}}\cdot 2^{\frac{7}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}=2^{\frac{35}{6}}.\;\)
∎



Theme by Dr. Radut.