Ćwiczenie 7.1 Czy poniższe wyrażenie ma sens liczbowy? Jeżeli tak, to oblicz jego wartość.
- 05,
- 0−5,
- 012,
- 0(23−32),
- 023⋅2532⋅34,
- (2+3√−64⋅2−1)3.
Odpowiedź:
- Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się 0.
- Nie, wyrażenie nie ma sensu liczbowego.
- Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się 0.
- Nie, wyrażenie nie ma sensu liczbowego.
- Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się 0.
- Tak, wyrażenie ma sens liczbowy, jego wartość równa się 0.
Rozwiązanie:
- Tak, gdyż 5>0, a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie 0 jest określona. Wyrażenie to ma wartość 0.
- Nie, gdyż −5<0, a wykładnik potęgi przy podstawie 0 musi być liczbą dodatnią.
- Tak, gdyż 12>0, a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie 0 jest określona. Wyrażenie to ma wartość 0.
- Nie, gdyż 23−32=−1<0, a wykładnik potęgi przy podstawie 0 musi być liczbą dodatnią.
- Tak, gdyż 23⋅2532⋅34=2836>0, a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie 0 jest określona. Wyrażenie to ma wartość 0.
- Tak, gdyż 2+3√−64⋅2−1=2+(−4)⋅12=2−2=0, oraz 3>0, a jeżeli wykładnik jest dodatni, to potęga przy podstawie 0 jest określona. Wyrażenie to ma wartość 0.
∎
Ćwiczenie 7.2 Zapisz poniższe liczby w postaci potęgi liczby 2:
- √2√2,
- √2⋅3√2⋅4√2,
- 23⋅12:√2(12)3⋅3√2,
- (√8⋅4√4)3,
- 3√28⋅166√8,
- (212√2(12)13)−12,
- 3√3√4⋅√2,
- √12√12√12,
- 22:1454⋅(12)−32⋅4:(13√2)−2,
- (3√164√8√2)2⋅3√324√2⋅√24√43√4.
Odpowiedź:
- 234.
- 21312.
- 2256.
- 26.
- 256.
- 2−23.
- 2718.
- 2−78.
- 2223.
- 2356.
Rozwiązanie:
- √2√2=√2⋅212=√21+12=(232)12=232⋅12=234.
- √2⋅3√2⋅4√2=212⋅213⋅214=212+13+14=21312.
- 23⋅12:√2(12)3⋅3√2=23⋅2−1:2122−3⋅213=23−1−122−3+13=2322−83=232+83=2256.
- (√8⋅4√4)3=((23)12⋅(22)14)3=(232⋅224)3=(22)3=26.
- 3√28⋅166√8=21323⋅246√23=24+1323+36=2133−216=256.
- (212√2(12)13)−12=(212⋅2122−13)−12=(212−13)−12=(243)−12=2−23.
- 3√3√4⋅√2=3√(22)13⋅212=3√223⋅212=(223+12)13=276⋅13=2718.
- √12√12√12=√12√12⋅(12)12=√12√2−1⋅2−12=√2−1⋅(2−32)12=√2−1⋅2−34=(2−74)12=2−78.
- 22:1454⋅(12)−32⋅4:(13√2)−2=22:1(22)54⋅(2−1)−32⋅22:(2−13)−2=22:2−52⋅232⋅22:223=22−(−52)+32+2−23=2223.
- (3√164√8√2)2⋅3√324√2⋅√24√43√4=(3√24⋅(23⋅212)14)2⋅3√25⋅214⋅√2⋅(22⋅(22)13)14=((24⋅(272)14)13)2⋅(2214)13⋅(2⋅(22⋅223)14)12=(24+78)23⋅274⋅(2⋅(283)14)12=2398⋅23⋅274⋅(2⋅223)12=2134⋅274⋅256=2356.
∎