Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Potęgi. Zadania 1-3

śr., 09/15/2010 - 15:09 — ciebie

Zadanie 1.1 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. (3⋅2−5−((−2)3)−2):(3⋅(2−4)2−11⋅(25)−2),
  2. (2713⋅(0,125)−23⋅3225⋅(181)(−0,75))12,
  3. (4√2)−2⋅(12)−328−23+(13)−2⋅1√27,
  4. (125⋅5−2)−3(√3⋅3√3)6⋅(18)−23,
  5. 2⋅320−5⋅319(−9)9+315+316316+314,
  6. (0,027)−13−(−16)−2+2560,75−3−1+(5,5)0,
  7. ((0,125)−23⋅0,25−2)13+(810,5⋅9−2)−14,
  8. 3√0,08−3√−0,01−123√−104−33√0,01+0,73√80,
  9. ((34)0)(−0,5)−7,5⋅4−32−(−2)−4+810,25,
  10. (100−12⋅(23⋅8)43⋅(15)(−0,5)⋅4−34⋅4(−0,75))4,
  11. ((6−3⋅212)15−2(3⋅212−6)15)⋅2(1+2−12)15.

Odpowiedź:

  1. 5⋅24.
  2. 36.
  3. 8+√3.
  4. 2253⋅35.
  5. −145.
  6. 32.
  7. 4+√3.
  8. 6,4⋅3√10.
  9. 3.
  10. 216⋅5−2.
  11. 65√3.


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym.
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  5. Z licznika i mianownika drugiego ułamka wyłącz wspólny czynnik przed nawias a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  6. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  7. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  8. Wyłącz ze wszystkich składników czynnik 3√0,01.
  9. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  10. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  11. Ponieważ 3⋅212−6<0, więc (3⋅212−6)15=−(6−3⋅212)15. Dalej skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.


Rozwiązanie:

  1. (3⋅2−5−((−2)3)−2):(3⋅(2−4)2−11⋅(25)−2)= (3⋅2−5−(−2)−6):(3⋅2−8−11⋅2−10)=
    (3⋅2−5−2−6):(3⋅2−8−11⋅2−10)= (2−6⋅(3⋅21−1)):(2−10⋅(3⋅22−11))= 2−6⋅52−10⋅1=
    5⋅2−6−(−10)=5⋅24.
  2. (2713⋅(0,125)−23⋅3225⋅(181)(−0,75))12= ((33)13⋅(18)−23⋅(25)25⋅(3−4)(−0,75))12=
    (33⋅13⋅(2−3)−23⋅25⋅25⋅3−4⋅(−0,75))12= (3⋅22⋅22⋅33)12= (31+3⋅22+2)12= (34⋅24)12=
    ((3⋅2)4)12=(64)12=62=36.
  3. (4√2)−2⋅(12)−328−23+(13)−2⋅1√27= (214)−2⋅232(23)−23+32⋅1(33)12= 214⋅(−2)⋅23223⋅(−23)+32⋅133⋅12=
    2−12⋅2322−2+32⋅1332= 2−12+32−(−2)+32−32= 23+312= 8+√3.
  4. (125⋅5−2)−3(√3⋅3√3)6⋅(18)−23= (53⋅5−2)−3(312⋅313)6⋅823= (53+(−2))−3312⋅6⋅313⋅6⋅(23)23= 5−333⋅32⋅23⋅23= 5−333+2⋅22=
    2253⋅35.
  5. 2⋅320−5⋅319(−9)9+315+316316+314= 319(2⋅3−5)−(32)9+315(1+3)314(32+1)= 319⋅1−318+315−14⋅410=
    −319−18+3⋅25=−3+65=−145.
  6. (0,027)−13−(−16)−2+2560,75−3−1+(5,5)0= (271000)−13−(−6)2+(44)34−3−1+1=
    (100027)13−36+44⋅34−3−1+1= 1000132713−35+43−3−1= 103−35+64−13=
    93+29=3+29=32.
  7. (0,125−23⋅0,25−2)13+(810,5⋅9−2)−14= ((18)−23⋅(14)−2)13+((92)0,5⋅9−2)−14=
    ((2−3)−23⋅(2−2)−2)13+(92⋅0,5⋅9−2)−14= (2(−3)⋅(−23)⋅2(−2)⋅(−2))13+(91+(−2))−14=
    (22⋅24)13+9(−1)⋅(−14)= (22+4)13+914= 26⋅13+(32)14= 22+312= 4+√3.
  8. Wyłączmy ze wszystkich składników czynnik 3√0,01.
    3√0,08−3√−0,01−123√−104−33√0,01+0,73√80=
    3√8⋅0,01+3√0,01+123√106⋅0,01−33√0,01+0,73√8⋅103⋅0,01=
    23√0,01+3√0,01+12⋅1023√0,01−33√0,01+0,7⋅2⋅103√0,01=
    3√0,01(2+1+12⋅100−3+0,7⋅20)=643√0,01=6,4⋅3√10.
  9. ((34)0)(−0,5)−7,5⋅4−32−(−2)−4+810,25= 1(−0,5)−7,5⋅(22)−32−2−4+(34)14=
    1−152⋅22⋅(−32)−2−4+34⋅14= 1−152⋅2−3−2−4+3= 4−15⋅2−3−1−2−4=
    4−2−4(15+1)=4−2−4⋅16=4−2−4⋅24=4−2−4+4=4−20=4−1=3.
  10. (100−12⋅(23⋅8)43⋅(15)(−0,5)⋅4−34⋅4(−0,75))4=
    ((102)−12⋅(23⋅23)43⋅(5−1)−12⋅(22)−34⋅(22)−34)4=
    (102⋅(−12)⋅(23+3)43⋅5−1⋅(−12)⋅22⋅(−34)⋅22⋅(−34))4=
    (10−1⋅26⋅43⋅512⋅2−32⋅2−32)4= ((2⋅5)−1⋅28⋅512⋅2−32+(−32))4=
    (2−1⋅5−1⋅28⋅512⋅2−3)4= (2−1+8+(−3)⋅5−1+12)4= (24⋅5−12)4= 24⋅4⋅5−12⋅4= 216⋅5−2.
  11. ((6−3⋅212)15−2(3⋅212−6)15)⋅2(1+2−12)15=
    ((6−3⋅212)15−2(−(6−3⋅212))15)⋅2(1+2−12)15=
    ((6−3⋅212)15+2(6−3⋅212)15)⋅2(1+2−12)15=
    3⋅(6−3⋅212)15⋅2(1+2−12)15= 6((6−3⋅212)⋅(1+2−12))15=
    6(6+6⋅2−12−3⋅212−3⋅212⋅2−12)15= 6(6+3⋅(2⋅2−12−212)−3⋅212+(−12))15=
    6(6+3⋅(21+(−12)−212)−3⋅20)15= 6(6+3⋅(212−212)−3)15= 6⋅315= 65√3.
∎

Zadanie 1.2 Uprość i uporządkuj poniższe wyrażenia zakładając, że mają one sens, a wykładniki potęg są liczbami wymiernymi:

  1. (a−32⋅b⋅(ab−2)−12⋅(a−1)−23)3,
  2. (16x4−8x2y2+4y4)(−2xy2)−3,
  3. (−3axb2x−1)3(−19axb4+6x)(53a5+2xc2b)2,
  4. 3(x+y)−2(z+t)3(7(x+y)(z+t)2)2(−17147(z+t)−7(x+y)3),
  5. (2an+1−3an+5an+1)(an+1−an+an−1),
  6. ((1+a−1)−1)−1.

Odpowiedź:

  1. a−4b6.
  2. −2xy−6+x−1y−4−2−1x−3y−2.
  3. 253a8x+10b12x+3c4.
  4. −17(x+y)3.
  5. a2n−1(7a3−10a2+10a−3).
  6. a+1a.


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym. Wykonaj mnożenie i uporządkuj.
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym. Jako podstawy potęg przyjmij wyrażenia (x+y) oraz (z+t).
  5. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych, a następnie z każdego nawiasu wyłącz wspólny czynnik. Wykonaj działania korzystając z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  6. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym.


Rozwiązanie:

  1. (a−32⋅b⋅(ab−2)−12⋅(a−1)−23)3= (a−32⋅b⋅a−12⋅b(−2)⋅(−12)⋅a(−1)⋅(−23))3=
    (a−32⋅b⋅a−12⋅b⋅a23)3= (a−32−12+23⋅b2)3= (a−43⋅b2)3= a−4b6.
  2. (16x4−8x2y2+4y4)(−2xy2)−3= (16x4−8x2y2+4y4)⋅(−2−3x−3y2⋅(−3))=
    −2−3x−3y−6(24x4−23x2y2+22y4)= −24⋅2−3x−3+4y−6+23⋅2−3x−3+2y−6+2−22⋅2−3x−3y−6+4=
    − 24 + ( − 3)xy − 6 + 23 + ( − 3)x − 1y − 4 − 22 + ( − 3)x − 3y − 2 = −2xy−6+x−1y−4−2−1x−3y−2.
  3. (−3axb2x−1)3(−19axb4+6x)(53a5+2xc2b)2=
    −33(ax)3(b2x−1)3(−19)axb4+6x(53)2(a5+2x)2(c2)2b2=
    −33⋅(−132)⋅5232a3xb6x−3axb4+6xa10+4xc4b2=
    52⋅33−2−2a3x+x+10+4xb6x−3+4+6x+2c4=253a8x+10b12x+3c4.
  4. 3(x+y)−2(z+t)3(7(x+y)(z+t)2)2(−17147(z+t)−7(x+y)3)=
    3(x+y)−2⋅(z+t)3⋅72⋅(x+y)2⋅(z+t)2⋅2⋅(−17147)⋅(z+t)−7⋅(x+y)3=
    −3⋅49⋅17147(x+y)−2+2+3⋅(z+t)3+4+(−7)= −17(x+y)3⋅(z+t)0= −17(x+y)3.
  5. (2an+1−3an+5an+1)(an+1−an+an−1)= (7an+1−3an)(an+1−an+an−1)=
    an(7a−3)⋅an−1(a2−a+1)=an+n−1(7a−3)(a2−a+1)=
    a2n−1(7a3−7a2+7a−3a2+3a−3)=
    a2n−1(7a3−10a2+10a−3).
  6. ((1+a−1)−1)−1= ((1+1a)−1)−1= ((a+1a)−1)−1= (a+1a)(−1)⋅(−1)= a+1a.
∎

Zadanie 1.3 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. 58⋅62,
  2. 2982,
  3. 3052,
  4. 262−212,
  5. 153−133152−132.


Odpowiedź:

  1. 3596.
  2. 88804.
  3. 93025.
  4. 235.
  5. 21128.


Wskazówka:

  1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)(a+b)=a2−b2.
  2. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2.
  3. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2.
  4. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia a2−b2=(a−b)(a+b).
  5. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2),a2−b2=(a−b)(a+b).


Rozwiązanie:

  1. 58⋅62=(60−2)⋅(60+2)=602−22=3600−4=3596.
  2. 2982=(300−2)2=3002−2⋅2⋅300+22=90000−1200+4=88804.
  3. 3052=(300+5)2=3002+2⋅300⋅5+25=90000+3000+25=93025.
  4. 262−212=(26+21)⋅(26−21)=47⋅5=235.
  5. 153−133152−132= (15−13)⋅(152+15⋅13+132)(15−13)⋅(15+13)= 152+2⋅15⋅13+132−15⋅1315+13=
    (15+13)2−15⋅1315+13= (15+13)−15⋅1315+13= 28−(14+1)⋅(14−1)28= 28−142−128= 28−14228+128= 28−(2⋅7)24⋅7+128= 28−4⋅724⋅7+128= 28−7+128= 21128.
∎



Theme by Dr. Radut.