Skip to Content

Potęgi. Zadania 1-3

śr., 09/15/2010 - 15:09 — ciebie

Zadanie 1.1 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. \(\left(3\cdot 2^{-5}-((-2)^3)^{-2}\right):\left(3\cdot(2^{-4})^2-11\cdot(2^5)^{-2}\right)\;\),
  2. \(\left(27^\frac{1}{3}\cdot(0,125)^{-\frac{2}{3}}\cdot 32^\frac{2}{5}\cdot \left(\frac{1}{81}\right)^{(-0,75)}\right)^\frac{1}{2}\;\),
  3. \(\frac{(\sqrt[4]{2})^{-2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}{8^{-\frac{2}{3}}}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\cdot \frac{1}{\sqrt{27}}\;\),
  4. \(\frac{(125\cdot 5^{-2})^{-3}}{(\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{3})^6}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\;\),
  5. \(\frac{2\cdot 3^{20}-5\cdot 3^{19}}{(-9)^9}+\frac{3^{15}+3^{16}}{3^{16}+3^{14}}\;\),
  6. \((0,027)^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+256^{0,75}-3^{-1}+(5,5)^0\;\),
  7. \(\left((0,125)^{-\frac{2}{3}}\cdot 0,25^{-2}\right)^\frac{1}{3}+(81^{0,5}\cdot 9^{-2})^{-\frac{1}{4}}\;\),
  8. \(\sqrt[3]{0,08}-\sqrt[3]{-0,01}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{-10^4}-3\sqrt[3]{0,01}+0,7\sqrt[3]{80},\;\)
  9. \(\left(\left(\frac{3}{4}\right)^0\right)^{(-0,5)}-7,5\cdot 4^{-\frac{3}{2}}-(-2)^{-4}+81^{0,25},\;\)
  10. \(\left(100^{-\frac{1}{2}}\cdot (2^3\cdot 8)^\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{(-0,5)}\cdot 4^{-\frac{3}{4}}\cdot 4^{(-0,75)}\right)^4,\;\)
  11. \(\left(\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}-2\left(3\cdot 2^\frac{1}{2}-6\right)^\frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}\;\).

Odpowiedź:

  1. \(5\cdot 2^4.\;\)
  2. \(36\;\).
  3. \(8+\sqrt{3}\;\).
  4. \(\frac{2^2}{5^3\cdot 3^5}.\;\)
  5. \(-1\frac{4}{5}\;\).
  6. \(32\;\).
  7. \(4+\sqrt{3}\;\).
  8. \(6,4\cdot \sqrt[3]{10}\;\).
  9. \(3\;\).
  10. \(2^{16}\cdot 5^{-2}\;\).
  11. \(6\sqrt[5]{3}\;\).


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym.
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  5. Z licznika i mianownika drugiego ułamka wyłącz wspólny czynnik przed nawias a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  6. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  7. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  8. Wyłącz ze wszystkich składników czynnik \(\sqrt[3]{0,01}\;\).
  9. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  10. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  11. Ponieważ \(3\cdot 2^\frac{1}{2}-6<0\;\), więc \(\left(3\cdot 2^\frac{1}{2}-6\right)^\frac{1}{5}=-\left(6-3\cdot 2^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{5}\;\). Dalej skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.


Rozwiązanie:

  1. \(\left(3\cdot 2^{-5}-((-2)^3)^{-2}\right):\left(3\cdot(2^{-4})^2-11\cdot(2^5)^{-2}\right)=\) \( \left(3\cdot 2^{-5}-(-2)^{-6}\right):\left(3\cdot 2^{-8}-11\cdot2^{-10}\right)=\)
    \(\left(3\cdot 2^{-5}-2^{-6}\right):\left(3\cdot 2^{-8}-11\cdot2^{-10}\right)=\) \(\left(2^{-6}\cdot (3\cdot 2^1-1)\right):\left(2^{-10}\cdot (3\cdot 2^2-11)\right)=\) \(\frac{2^{-6}\cdot 5}{2^{-10}\cdot 1}=\)
    \(5\cdot 2^{-6-(-10)}=5\cdot 2^4\;\).
  2. \(\left(27^\frac{1}{3}\cdot(0,125)^{-\frac{2}{3}}\cdot 32^\frac{2}{5}\cdot \left(\frac{1}{81}\right)^{(-0,75)}\right)^\frac{1}{2}=\) \(\left(\left(3^3\right)^\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(2^5\right)^\frac{2}{5}\cdot \left(3^{-4}\right)^{(-0,75)}\right)^\frac{1}{2}=\)
    \(\left(3^{3\cdot\frac{1}{3}}\cdot\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{5\cdot\frac{2}{5}}\cdot 3^{-4\cdot(-0,75)}\right)^\frac{1}{2}=\) \(\left(3\cdot2^2\cdot2^2\cdot 3^3\right)^\frac{1}{2}=\) \(\left(3^{1+3}\cdot 2^{2+2}\right)^\frac{1}{2}=\) \(\left(3^4\cdot 2^4\right)^\frac{1}{2}=\)
    \(\left((3\cdot 2)^4\right)^\frac{1}{2}=(6^4)^{\frac{1}{2}}=6^2=36\;\).
  3. \(\frac{\left(\sqrt[4]{2}\right)^{-2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}{8^{-\frac{2}{3}}}+\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\cdot \frac{1}{\sqrt{27}}=\) \(\frac{\left( 2^{\frac{1}{4}}\right)^{-2}\cdot 2^{\frac{3}{2}}}{\left(2^3\right)^{-\frac{2}{3}}}+3^2\cdot \frac{1}{\left( 3^3\right)^{\frac{1}{2}}}=\) \( \frac{2^{\frac{1}{4}\cdot (-2)}\cdot 2^\frac{3}{2}}{2^{3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}}+3^2\cdot \frac{1}{3^{3\cdot \frac{1}{2}}}=\)
    \(\frac{2^{-\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{3}{2}}}{2^{-2}}+3^2\cdot \frac{1}{3^\frac{3}{2}}=\) \(2^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-(-2)}+3^{2-\frac{3}{2}}=\) \(2^3+3^\frac{1}{2}=\) \(8+\sqrt{3}.\;\)
  4. \(\frac{(125\cdot 5^{-2})^{-3}}{(\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{3})^6}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}=\) \( \frac{\left(5^3\cdot 5^{-2}\right)^{-3}}{\left(3^\frac{1}{2}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^6}\cdot 8^\frac{2}{3}=\) \(\frac{\left(5^{3+(-2)}\right)^{-3}}{3^{\frac{1}{2}\cdot 6}\cdot3^{\frac{1}{3}\cdot 6}}\cdot \left(2^3\right)^\frac{2}{3}=\) \(\frac{5^{-3}}{3^3\cdot 3^2}\cdot 2^{3\cdot \frac{2}{3}}=\) \(\frac{5^{-3}}{3^{3+2}}\cdot 2^2=\)
    \(\frac{2^2}{5^3\cdot 3^5}.\;\)
  5. \(\frac{2\cdot 3^{20}-5\cdot 3^{19}}{(-9)^9}+\frac{3^{15}+3^{16}}{3^{16}+3^{14}}=\) \(\frac{3^{19}(2\cdot 3 -5)}{-(3^2)^9}+\frac{3^{15} (1+3)}{3^{14}(3^2+1)}=\) \(\frac{3^{19}\cdot 1}{-3^{18}}+3^{15-14}\cdot \frac{4}{10}=\)
    \(-3^{19-18}+3\cdot \frac{2}{5}=-3+\frac{6}{5}=-1\frac{4}{5}\;\).
  6. \((0,027)^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+256^{0,75}-3^{-1}+(5,5)^0 =\) \(\left(\frac{27}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} -(-6)^{2}+(4^4)^\frac{3}{4}-3^{-1}+1=\)
    \(\left(\frac{1000}{27}\right)^{\frac{1}{3}}-36+4^{4\cdot \frac{3}{4}}-3^{-1}+1=\) \(\frac{1000^\frac{1}{3}}{27^\frac{1}{3}}-35+4^3-3^{-1}=\) \(\frac{10}{3}-35+64-\frac{1}{3}=\)
    \(\frac{9}{3}+29=3+29=32\;\).
  7. \(\left(0,125^{-\frac{2}{3}}\cdot 0,25^{-2}\right)^\frac{1}{3}+(81^{0,5}\cdot 9^{-2})^{-\frac{1}{4}} =\) \(\left(\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\right)^\frac{1}{3}+\left((9^2)^{0,5}\cdot 9^{-2}\right)^{-\frac{1}{4}}=\)
    \(\left(\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot\left(2^{-2}\right)^{-2}\right)^\frac{1}{3}+\left(9^{2\cdot 0,5}\cdot 9^{-2}\right)^{-\frac{1}{4}}=\) \(\left(2^{(-3)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}\cdot 2^{(-2)\cdot(-2)}\right)^\frac{1}{3}+\left(9^{1+(-2)}\right)^{-\frac{1}{4}} =\)
    \(\left(2^2\cdot 2^4\right)^{\frac{1}{3}}+9^{(-1)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)}=\) \((2^{2+4})^\frac{1}{3}+9^{\frac{1}{4}}=\) \(2^{6\cdot \frac{1}{3}}+(3^2)^\frac{1}{4}=\) \(2^2+3^\frac{1}{2}=\) \(4+\sqrt{3}\;\).
  8. Wyłączmy ze wszystkich składników czynnik \(\sqrt[3]{0,01}\;\).
    \(\sqrt[3]{0,08}-\sqrt[3]{-0,01}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{-10^4}-3\sqrt[3]{0,01}+0,7\sqrt[3]{80}=\;\)
    \(\sqrt[3]{8\cdot 0,01}+\sqrt[3]{0,01} +\frac{1}{2}\sqrt[3]{10^6\cdot 0,01}-3\sqrt[3]{0,01}+0,7\sqrt[3]{8\cdot 10^3\cdot 0,01}=\)
    \(2\sqrt[3]{0,01}+\sqrt[3]{0,01}+\frac{1}{2}\cdot 10^2\sqrt[3]{0,01}-3\sqrt[3]{0,01}+0,7\cdot 2\cdot 10\sqrt[3]{0,01}=\)
    \(\sqrt[3]{0,01}(2+1+\frac{1}{2}\cdot 100-3+0,7\cdot 20)=64\sqrt[3]{0,01}=6,4\cdot \sqrt[3]{10}\;\).
  9. \(\left(\left(\frac{3}{4}\right)^0\right)^{(-0,5)}-7,5\cdot 4^{-\frac{3}{2}}-(-2)^{-4}+81^{0,25}=\) \(1^{(-0,5)}-7,5\cdot (2^2)^{-\frac{3}{2}}-2^{-4}+(3^4)^{\frac{1}{4}}=\)
    \(1-\frac{15}{2}\cdot 2^{2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}-2^{-4}+3^{4\cdot\frac{1}{4}}=\) \( 1-\frac{15}{2}\cdot 2^{-3}-2^{-4}+3=\) \(4-15\cdot 2^{-3-1}-2^{-4}=\)
    \(4-2^{-4}(15+1)=4-2^{-4}\cdot 16=4-2^{-4}\cdot 2^4=4-2^{-4+4}=4-2^0=4-1=3.\;\)
  10. \(\left(100^{-\frac{1}{2}}\cdot (2^3\cdot 8)^\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{(-0,5)}\cdot 4^{-\frac{3}{4}}\cdot 4^{(-0,75)}\right)^4=\)
    \(\left((10^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2^3\cdot 2^3)^\frac{4}{3}\cdot (5^{-1})^{-\frac{1}{2}}\cdot(2^2)^{-\frac{3}{4}}\cdot (2^2)^{-\frac{3}{4}}\right)^4=\)
    \(\left(10^{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}\cdot (2^{3+3})^\frac{4}{3}\cdot 5^{-1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}\cdot 2^{2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}\cdot2^{2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}\right)^4=\)
    \(\left(10^{-1}\cdot 2^{6\cdot\frac{4}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{-\frac{3}{2}}\cdot2^{-\frac{3}{2}}\right)^4=\) \( \left((2\cdot 5)^{-1}\cdot 2^8\cdot5^\frac{1}{2}\cdot 2^{-\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)}\right)^4=\)
    \(\left(2^{-1}\cdot 5^{-1}\cdot 2^8\cdot5^\frac{1}{2}\cdot 2^{-3}\right)^4=\) \(\left(2^{-1+8+(-3)}\cdot 5^{-1+\frac{1}{2}}\right)^4=\) \( \left(2^4\cdot 5^{-\frac{1}{2}}\right)^4=\) \(2^{4\cdot 4}\cdot 5^{-\frac{1}{2}\cdot 4}=\) \(2^{16}\cdot 5^{-2}\;\).
  11. \(\left(\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}-2\left(3\cdot 2^\frac{1}{2}-6\right)^\frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}=\)
    \(\left(\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}-2\left(-\left(6-3\cdot 2^\frac{1}{2}\right)\right)^\frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}=\)
    \(\left(\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}+2\left(6-3\cdot 2^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{5}\right) \cdot 2\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}=\)
    \(3\cdot\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}\cdot 2\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}=\) \(6\left(\left(6-3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)\cdot\left(1+2^{-\frac{1}{2}}\right)\right)^\frac{1}{5}=\)
    \(6\left(6+6\cdot 2^{-\frac{1}{2}}-3\cdot 2^\frac{1}{2}-3\cdot 2^\frac{1}{2}\cdot 2^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{5}=\) \(6\left(6+3\cdot\left(2\cdot 2^{-\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\right)-3\cdot 2^{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)^\frac{1}{5}=\)
    \(6\left(6+3\cdot\left( 2^{1+\left(-\frac{1}{2}\right)}-2^{\frac{1}{2}}\right)-3\cdot 2^0\right)^\frac{1}{5}=\) \(6\left(6+3\cdot\left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}\right)-3\right)^\frac{1}{5}=\) \(6\cdot 3^{\frac{1}{5}}=\) \(6\sqrt[5]{3}\;\).
∎

Zadanie 1.2 Uprość i uporządkuj poniższe wyrażenia zakładając, że mają one sens, a wykładniki potęg są liczbami wymiernymi:

  1. \(\left(a^{-\frac{3}{2}}\cdot b\cdot (ab^{-2})^{-\frac{1}{2}}\cdot (a^{-1})^{-\frac{2}{3}}\right)^3\;\),
  2. \(\left(16x^4-8x^2y^2+4y^4\right)\left(-2xy^2\right)^{-3}\;\),
  3. \(\left(-3a^xb^{2x-1}\right)^3\left(-\frac{1}{9}a^xb^{4+6x}\right)\left(\frac{5}{3}a^{5+2x}c^2b\right)^2\;\),
  4. \(3\left(x+y\right)^{-2}\left(z+t\right)^3\left(7(x+y)(z+t)^2\right)^2\left(-\frac{17}{147}(z+t)^{-7}(x+y)^3\right)\;\),
  5. \(\left(2a^{n+1}-3a^n+5a^{n+1}\right)\left(a^{n+1}-a^{n}+a^{n-1}\right)\;\),
  6. \(\left(\left(1+a^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}\;\).

Odpowiedź:

  1. \(a^{-4}b^6\;\).
  2. \(-2xy^{-6}+x^{-1}y^{-4}-2^{-1}x^{-3}y^{-2}.\;\)
  3. \(\frac{25}{3}a^{8x+10}b^{12x+3}c^4\;\).
  4. \(-17(x+y)^3\;\).
  5. \(a^{2n-1}(7a^3-10a^2+10a-3)\;\).
  6. \(\frac{a+1}{a}\;\).


Wskazówka:

  1. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  2. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym. Wykonaj mnożenie i uporządkuj.
  3. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  4. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym. Jako podstawy potęg przyjmij wyrażenia \((x+y)\;\) oraz \((z+t)\;\).
  5. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych, a następnie z każdego nawiasu wyłącz wspólny czynnik. Wykonaj działania korzystając z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  6. Skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym.


Rozwiązanie:

  1. \(\left(a^{-\frac{3}{2}}\cdot b\cdot (ab^{-2})^{-\frac{1}{2}}\cdot (a^{-1})^{-\frac{2}{3}}\right)^3=\) \(\left(a^{-\frac{3}{2}}\cdot b\cdot a^{-\frac{1}{2}}\cdot b^{(-2)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}\cdot a^{(-1)\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}\right)^3=\)
    \(\left(a^{-\frac{3}{2}}\cdot b\cdot a^{-\frac{1}{2}}\cdot b\cdot a^{\frac{2}{3}}\right)^3=\) \(\left(a^{-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}}\cdot b^{2}\right)^3=\) \(\left(a^{-\frac{4}{3}}\cdot b^2\right)^3=\) \(a^{-4}b^6\;\).
  2. \(\left(16x^4-8x^2y^2+4y^4\right)\left(-2xy^2\right)^{-3}=\) \(\left(16x^4-8x^2y^2+4y^4\right)\cdot \left(-2^{-3}x^{-3}y^{2\cdot(-3)}\right)=\)
    \(-2^{-3}x^{-3}y^{-6}\left(2^4x^4-2^3x^2y^2+2^2y^4\right)=\) \( -2^4\cdot 2^{-3}x^{-3+4}y^{-6}+2^3\cdot 2^{-3}x^{-3+2}y^{-6+2}-2^2\cdot 2^{-3} x^{-3}y^{-6+4}=\)
    − 24 + ( − 3)xy − 6 + 23 + ( − 3)x − 1y − 4 − 22 + ( − 3)x − 3y − 2 = \( -2xy^{-6}+x^{-1}y^{-4}-2^{-1}x^{-3}y^{-2}.\;\)
  3. \(\left(-3a^xb^{2x-1}\right)^3\left(-\frac{1}{9}a^xb^{4+6x}\right)\left(\frac{5}{3}a^{5+2x}c^2b\right)^2 =\)
    \(-3^3\left(a^x\right)^3\left(b^{2x-1}\right)^3\left(-\frac{1}{9}\right)a^xb^{4+6x} \left(\frac{5}{3}\right)^2\left(a^{5+2x}\right)^2\left(c^2\right)^2b^2=\)
    \(-3^3\cdot \left(-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \frac{5^2}{3^2}a^{3x}b^{6x-3}a^xb^{4+6x}a^{10+4x}c^4b^2=\;\)
    \(5^2\cdot 3^{3-2-2}a^{3x+x+10+4x}b^{6x-3+4+6x+2}c^4= \frac{25}{3}a^{8x+10}b^{12x+3}c^4.\;\)
  4. \(3(x+y)^{-2}(z+t)^3\left(7(x+y)(z+t)^2\right)^2\left(-\frac{17}{147}(z+t)^{-7}(x+y)^3\right)=\;\)
    \(3 (x+y)^{-2}\cdot(z+t)^3 \cdot 7^2\cdot (x+y)^2\cdot(z+t)^{2\cdot 2} \cdot \left(-\frac{17}{147}\right) \cdot (z+t)^{-7}\cdot (x+y)^3 =\)
    \(- 3\cdot 49 \cdot \frac{17}{147}(x+y)^{-2+2+3}\cdot (z+t)^{3+4+(-7)}=\) \(-17 (x+y)^3\cdot(z+t)^0=\) \(-17(x+y)^3.\;\)
  5. \(\left(2a^{n+1}-3a^n+5a^{n+1}\right)\left(a^{n+1}-a^{n}+a^{n-1}\right)=\) \(\left(7a^{n+1}-3a^n\right)\left(a^{n+1}-a^{n}+a^{n-1}\right)=\)
    \(a^n\left(7a-3\right)\cdot a^{n-1}\left(a^2-a+1\right)= a^{n+n-1}(7a-3)(a^2-a+1)=\;\)
    \(a^{2n-1}(7a^3-7a^2+7a-3a^2+3a-3)=\;\)
    \(a^{2n-1}(7a^3-10a^2+10a-3)\;\).
  6. \(\left(\left(1+a^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1} =\) \( \left(\left(1+\frac{1}{a}\right)^{-1}\right)^{-1}=\) \(\left(\left(\frac{a+1}{a}\right)^{-1}\right)^{-1} =\) \(\left(\frac{a+1}{a}\right)^{(-1)\cdot (-1)}=\) \(\frac{a+1}{a}.\;\)
∎

Zadanie 1.3 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. \(58 \cdot 62,\;\)
  2. \(298^2,\;\)
  3. \(305^2\;\),
  4. \(26^2-21^2,\;\)
  5. \(\frac{15^3-13^3}{15^2-13^2}.\;\)


Odpowiedź:

  1. \(3596.\;\)
  2. \(88804.\;\)
  3. \(93025.\;\)
  4. \(235.\;\)
  5. \(21\frac{1}{28}.\;\)


Wskazówka:

  1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\;\)
  2. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\;\)
  3. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\;\)
  4. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b).\;\)
  5. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \; a^2-b^2=(a-b)(a+b).\;\)


Rozwiązanie:

  1. \(58 \cdot 62= (60-2)\cdot(60+2)=60^2-2^2=3600 -4=3596.\;\)
  2. \(298^2=(300-2)^2=300^2-2\cdot 2\cdot 300 +2^2= 90000-1200+4= 88804.\;\)
  3. \(305^2= (300+5)^2= 300^2+2\cdot 300 \cdot 5 +25= 90000+3000+25=93025.\;\)
  4. \(26^2-21^2=(26+21)\cdot(26-21)=47\cdot 5=235.\;\)
  5. \(\frac{15^3-13^3}{15^2-13^2}=\) \(\frac{(15-13)\cdot(15^2+15\cdot 13+13^2)}{(15-13)\cdot(15+13)}=\) \(\frac{15^2+2\cdot 15 \cdot 13 + 13^2-15\cdot 13}{15+13}=\)
    \( \frac{(15+13)^2-15\cdot 13}{15+13}=\) \((15+13)-\frac{15\cdot 13}{15+13}=\) \(28-\frac{(14+1)\cdot(14-1)}{28}=\) \(28-\frac{14^2-1}{28}=\) \(28-\frac{14^2}{28}+ \frac{1}{28}=\) \(28-\frac{(2\cdot7)^2}{4\cdot7}+\frac{1}{28}=\) \( 28-\frac{4\cdot 7^2}{4\cdot 7}+\frac{1}{28}=\) \(28-7+\frac{1}{28}=\) \(21\frac{1}{28}.\;\)
∎



Theme by Dr. Radut.