Skip to Content

Potęga o wykładniku wymiernym

śr., 09/15/2010 - 14:05 — ciebie

Definicja 5.1

Niech \(a\;\) będzie liczbą rzeczywistą dodatnią i \(m,n\;\) dowolnymi liczbami całkowitymi, przy czym \(n\ne 0\;\). Potęgę o wykładniku \(\frac{m}{n}\;\) liczby \(a\;\) definiuje równość
\(a^{\frac mn}=\left\{\begin{array}{ll} \left(a^{\frac 1n}\right)^m,& \mbox{ gdy } n>0\\ \left(a^{\frac{1}{-n}}\right)^{-m},& \mbox{ gdy } n<0. \end{array}\right.\)

Przykłady:
  1. \(3^{\frac{6}{11}}=\left(3^{\frac{1}{11}}\right)^6=\left(\sqrt[11]{3}\right)^6\;\) (tutaj \(n=11, m=6\;\) i pierwsza linijka definicji),
  2. \(3^{\frac{-6}{11}}=\left(3^{\frac{1}{11}}\right)^{-6}= \frac{1}{\left(\sqrt[11]{3}\right)^6}\;\) (tutaj \(n=11, m=-6\;\) i pierwsza linijka definicji),
  3. \(3^{\frac{6}{-11}}=\left(3^{\frac{1}{11}}\right)^{-6}\;\) (tutaj \(n=-11, m=6\;\), więc zgodnie z drugą linijką definicji ,,minus'' znika z mianownika i pojawia się w liczniku),
  4. \(3^{\frac{-6}{-11}}=\left(3^{\frac{1}{11}}\right)^{-(-6)}= \left(3^{\frac{1}{11}}\right)^6\;\) (tutaj \(n=-11, m=-6\;\), więc zgodnie z drugą linijką definicji ,,minus'' znika z mianownika i pojawia się w liczniku).

Zauważmy, że \(3^{\frac{-6}{-11}}=3^{\frac{6}{11}}\;\), \(3^{\frac{-6}{11}}=3^{\frac{6}{-11}}\;\).

Zadanie 5.2 Oblicz, a następnie wskaż liczby równe:

  1. \(8^{\frac{-2}{3}}\;\), \(8^{\frac{-2}{-3}}\;\), \(8^{\frac{2}{3}}\;\), \(8^{\frac{2}{-3}}\;\), \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\;\), \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-2}\;\), \(\left(8^{\frac{1}{-3}}\right)^{2}\;\);
  2. \((0,0016)^{\frac{5}{4}}\;\), \((0,0016)^{\frac{-5}{4}}\;\), \((0,0016)^{\frac{5}{-4}}\;\), \((0,0016)^{\frac{-5}{-4}}\;\);
  3. \((81)^{\frac{-5}{2}}\;\), \((81)^{\frac{-10}{4}}\;\), \((81)^{\frac{-15}{6}}\;\), \((81)^{\frac{10}{-4}}\;\), \((81)^{\frac{5}{-2}}\;\).

Rozwiązanie:

    1. \(8^{\frac{-2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-2}=2^{-2}=\frac 14\;\),
    2. \(8^{\frac{-2}{-3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-(-2)}=2^2=4\;\),
    3. \(8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=4\;\),
    4. \(8^{\frac{2}{-3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-2}=2^{-2}=\frac 14\;\),
    5. \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=2^2=4\;\),
    6. \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-2}=2^{-2}=\frac 14\;\),
    7. \(\left(8^{\frac{1}{-3}}\right)^{2}=\) \( \left(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{-1}\right)^2=\) \(\left(2^{-1}\right)^{2}=\) 2 − 2 = \(\frac 14\;\).
    1. \((0,0016)^{\frac{5}{4}}=\left((0,0016)^{\frac{1}{4}}\right)^5= \left(0,2\right)^5=0,00032\;\),
    2. \((0,0016)^{\frac{-5}{4}}=\) \(\left((0,0016)^{\frac{1}{4}}\right)^{-5}=\) \( \left(0,2\right)^{-5}=\) \(\left({\frac{10}{2}}\right)^5=\) \(5^5\;\),
    3. \((0,0016)^{\frac{5}{-4}}=\left((0,0016)^{\frac{1}{4}}\right)^{-5}= \left(0,2\right)^{-5}=5^5\;\),
    4. \((0,0016)^{\frac{-5}{-4}}=\left((0,0016)^{\frac{1}{4}}\right)^{-(-5)}= \left(0,2\right)^5=0,00032\;\).
    1. \((81)^{\frac{-5}{2}}=\left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{-5}= \left(9\right)^{-5}\;\),
    2. \((81)^{\frac{-10}{4}}=\left(81^{\frac{1}{4}}\right)^{-10}=3^{-10}= \left(3^2\right)^{-5}=9^{-5}\;\),
    3. \((81)^{\frac{-15}{6}}=\) \(\left(81^{\frac{1}{6}}\right)^{-15}=\) \( \left(\left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac 13}\right)^{-15}=\) \( \left(\left(9^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right)^{-5}=\) \(9^{-5}\;\),
    4. \((81)^{\frac{10}{-4}}=\left(81^{\frac{1}{4}}\right)^{-10}= 3^{-10}=\left(3^2\right)^{-5}=9^{-5}\;\),
    5. \({(81)^{\frac{5}{-2}}=\left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{-5}=9^{-5}}\;\).
∎

Twierdzenie 5.3:

Jeśli \(a>0\;\) i \(n,m\in\mathrm{C}_+\;\), to \(a^{\frac mn}=\left(a^{\frac 1n}\right)^m=\left(a^m\right)^{\frac 1n}\;\).

Dowód: Równość \(a^{\frac mn}=\left(a^{\frac 1n}\right)^m\;\) wynika z definicji. Niech \(x=\left(a^{\frac 1n}\right)^m\;\), \(y=\left(a^m\right)^{\frac 1n}\;\). Pokażemy, że zarówno \(x\;\) jak i \(y\;\) spełniają równanie \(t^n=a^m\;\):
\( x^n=\left(\left(a^{\frac 1n}\right)^m\right)^n=\left(a^{\frac 1n}\right)^{m\cdot n}= \left(\left(a^{\frac 1n}\right)^n\right)^m=a^m,\)
\( y^n=\left(\left(a^{m}\right)^{\frac 1n}\right)^n=a^m. \)
W obu obliczeniach skorzystaliśmy z równości \(\left(b^{\frac 1n}\right)^n=b\;\), raz dla \(b=a\;\), drugi raz dla \(b=a^m\;\). Liczby \(x\;\) i \(y\;\) są dodatnie i spełniają równanie posiadające jedno dodatnie rozwiązanie, więc \(x=y\;\), czyli \(\left(a^{\frac 1n}\right)^m=\left(a^m\right)^{\frac 1n}\;\). Zadanie 5.2 (c) podpowiada ogólną własność, którą formułujemy w kolejnym twierdzeniu.


Twierdzenie 5.4:

Niech \(a\;\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Dla dowolnych liczb całkowitych \(m,n,p\;\) i \(q\;\), z których \(n\;\) i \(q\;\) są różne od zera, z równości \(\frac mn=\frac pq\;\) wynika równość potęg \(a^{\frac mn}=a^{\frac pq}\;\).

Dowód: Załóżmy, że \(a>0\;\) i \(m,n,p,q\;\) są liczbami całkowitymi, przy czym \(n\ne 0\;\), \(q\ne 0\;\) i \(\frac mn=\frac pq\;\). Ponieważ potęgę liczby z wykładnikiem, będącym ilorazem liczb całkowitych z dzielnikiem ujemnym, definiuje się poprzez potęgi o wykładniku będącym ilorazem liczb z dzielnikiem dodatnim, można w dowodzie założyć, że \(n>0\;\) i \(q>0\;\). Niech \(x=a^{\frac mn}\;\), \(y=a^{\frac pq}\;\). Mamy
\( x^{nq}=\left(a^{\frac mn}\right)^{nq}=\left(\left(a^{\frac 1n}\right)^m\right)^{nq} =\left(a^{\frac 1n}\right)^{m\cdot n\cdot q}= \left(\left(a^{\frac 1n}\right)^n\right)^{m\cdot q}=a^{m\cdot q}\)
\( y^{nq}=\left(a^{\frac pq}\right)^{nq}=\left(\left(a^{\frac 1q}\right)^p\right)^{nq} =\left(a^{\frac 1q}\right)^{p\cdot q\cdot n}= \left(\left(a^{\frac 1q}\right)^q\right)^{p\cdot n}=a^{p\cdot n}. \)
Skoro \(\frac mn=\frac pq\;\), to \(mq=np\;\). Tak więc zarówno dodatnia liczba \(x\;\) jak i dodatnia liczba \(y\;\) spełniają równanie
tnq = apn.
Ponieważ równanie to ma tylko jedno rozwiązanie, więc \(x=y\;\), czyli \(a^{\frac mn}=a^{\frac pq}\;\). Twierdzenie 5.4 pokazuje, iż bez żadnych obliczeń mamy prawo zapisać np. równości:
\( 5^{\frac{3}{4}}=5^{\frac{6}{8}}=5^{\frac{9}{12}}=5^{\frac{900}{1200}}= 5^{\frac{4500}{6000}}=\dots\)
\( (0,3)^{\frac{-9}{-5}}=(0,3)^{1,8}=(0,3)^{\frac{27}{15}}=\dots\)
\( \left(\frac 23\right)^{\frac{-4}{5}}=\left(\frac 23\right)^{\frac{4}{-5}}=\left(\frac 23\right)^{\frac{8}{-10}}=\left(\frac 23\right)^{\frac{-8}{10}}=\dots \)
Z Twierdzenia 5.4 wynika poprawność następującej definicji.

Definicja 5.5

Niech \(a\;\) będzie ustaloną liczbą rzeczywista dodatnią, a liczba \(w\;\) dowolną ustaloną liczbą wymierną. Potęgą o wykładniku wymiernym \(w\;\) liczby \(a\;\) nazywamy liczbę \(a^{\frac pq}\;\), gdzie \(\frac pq\;\) jest jakimkolwiek ilorazem liczb całkowitych reprezentującym liczbę \(w\;\).

Uwaga 5.6 Zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych, więc Definicja 5.1 potęgi o wykładniku wymiernym dla podstawy dodatniej odnosi się również do potęgi z wykładnikiem całkowitym. Z drugiej strony Definicje 1.1 , 2.1 i 3.1 wprowadzały już potęgę o wykładniku całkowitym dla podstaw rzeczywistych różnych od zera, a więc w rzeczywistości dla podstaw dodatnich. Definicje te są zgodne, ponieważ jeśli \(s\;\) jest ustaloną liczba całkowitą, to \(s=\frac s1=\frac{k\cdot s}{k}\;\) dla dowolnej liczby \(k\;\) całkowitej różnej od zera i z Twierdzenia 5.4 wynika, że dla dowolnego \(a>0\;\), \(a^{\frac s1}=a^{\frac{k\cdot s}{k}}\;\) podczas, gdy \(a^{\frac s1}=\left(a^{\frac 11}\right)^s=a^s\;\)

(patrz: Uwaga 4.23 ).

∎

Uwaga 5.7 Opisana powyżej definicja potęgi o wykładniku wymiernym, poprawna dzięki Twierdzeniu 5.4 , dotyczy podstawy dodatniej. Nie można jej powtórzyć w przypadku podstawy ujemnej pomimo, iż dla nieparzystych liczb dodatnich \(k\;\) określa się potęgę liczby o wykładniku \(\frac 1k\;\) również dla podstaw ujemnych. Dla przykładu zastanówmy się nad możliwością określenia \((-32)^{\frac{3}{5}}\;\). Symbolowi temu można by nadać znaczenie w sposób następujący:
\((-32)^{\frac{3}{5}}\stackrel{\textrm{def}}{=} \left((-32)^{\frac{1}{5}}\right)^3 =(-2)^{3}=-8\)
i liczba ta byłaby równa liczbie \(\left((-32)^3\right)^{\frac 15}=(-2^{15})^{\frac{1}{5}}=\left((-2^3)^5\right)^{\frac 15}=-2^3\;\), ale niemożliwe jest, by zachować własność opisaną w Twierdzeniu 5.4 . W myśl tego twierdzenia powinna zachodzić równość \((-32)^{\frac{3}{5}}=(-32)^{\frac{6}{10}}\;\), bo \(\frac 35=\frac{6}{10}\;\). Jednakże nadanie sensu zapisowi \((-32)^{\frac{6}{10}}\;\) nie jest możliwe, bo nie określa się potęgi

\((-32)^{\frac{1}{10}}\;\).

∎

Dla potęg o podstawach dodatnich i wykładnikach wymiernych można sformułować twierdzenie analogiczne do Twierdzenia 3.3 , w którym zebrane zostają podstawowe własności operacji brania potęgi.

Twierdzenie 5.8:

Niech \(a\;\) i \(b\;\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, zaś \(w_1\;\) i \(w_2\;\) dowolnymi liczbami wymiernymi. Prawdziwe są następujące własności:

  1. \(a^{w_1} \cdot a^{w_2}=a^{w_1+w_2}\;\),
  2. \(\frac{a^{w_1}}{a^{w_2}}=a^{w_1-w_2}\;\),
  3. \((a\cdot b)^{w_1}=a^{w_1}\cdot b^{w_1}\;\),
  4. \(\left(\frac{a}{b}\right)^{w_1}=\frac{a^{w_1}}{b^{w_1}}\;\),
  5. \((a^{w_1})^{w_2}=a^{w_1\cdot w_2}\;\),
  6. \(a^{-w_1}=\frac{1}{a^{w_1}}\;\).

Dowód: Dowód każdej z własności przeprowadza się z użyciem reprezentacji ułamkowych liczb \(w_1\;\) i \(w_2\;\), w oparciu o definicję i twierdzenia wcześniej udowodnione. Niech \(w_1=\frac{m}{n}\;\), \(w_2=\frac pq\;\), gdzie \(m,n,p,q\in\mathrm{C}\;\), \(n,q>0\;\).

  1. \(a^{w_1} \cdot a^{w_2}\stackrel{Df.9}{=} a^{\frac mn}\cdot a^{\frac pq} \stackrel{Tw.12}{=}a^{\frac{mq}{nq}}\cdot a^{\frac{np}{nq}}\stackrel{Df.8}{=} \left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{mq}\cdot \left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{np}\stackrel{Tw.4}{=} \left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{mq+np}=\) \(a^{\frac{mq+np}{nq}}=\) \( a^{\frac mn+\frac pq}\stackrel{Df.9}{=} a^{w_1+w_2}\;\),
  2. \(\frac{a^{w_1}}{a^{w_2}}\stackrel{Df.9}{=} \frac{a^{\frac mn}}{a^{\frac pq}}\stackrel{Tw.12}{=} \frac{a^{\frac{mq}{nq}}}{a^{\frac{np}{nq}}}\stackrel{Df.8}{=} \frac{\left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{mq}}{\left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{np}} \stackrel{Tw.4}{=} \left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{mq-np} \stackrel{Df.8}{=}a^{\frac{mq-np}{nq}}=\) \(a^{\frac mn - \frac pq}\stackrel{Df.9}{=}a^{w_1-w_2}\;\),
  3. \((a\cdot b)^{w_1}\stackrel{Df.9}{=} (a\cdot b)^{\frac mn}\stackrel{Df.8}{=} \left(\left(a\cdot b\right)^{\frac 1n}\right)^m\stackrel{Tw.10}{=}\left(a^{\frac 1n}\cdot b^{\frac 1n}\right)^m\stackrel{Tw.4}{=}\left(a^{\frac 1n}\right)^m\cdot\left(b^{\frac 1n}\right)^m\stackrel{Df.8}{=} a^{\frac mn}\cdot b^{\frac mn}\stackrel{Df.9}{=}a^{w_1}\cdot b^{w_1}\;\),
  4. \(\left(\frac{a}{b}\right)^{w_1} \stackrel{Df.9}{=} \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac mn}\stackrel{Df.8}{=} \left(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac 1n}\right)^m\stackrel{Tw.10}{=} \left(\frac{a^{\frac 1n}}{b^{\frac 1n}}\right)^{m}\stackrel{Tw.4}{=} \frac{\left(a^{\frac 1n}\right)^{m}}{\left(b^{\frac 1n}\right)^{m}}\stackrel{Df.8}{=} \frac{a^{\frac mn}}{b^{\frac mn}}\stackrel{Df.9}{=}\frac{a^{w_1}}{b^{w_1}}\;\),
  5. \((a^{w_1})^{w_2}\stackrel{Df.9}{=} \left(a^{\frac mn}\right)^{\frac pq} \stackrel{Df.8}{=} \left(\left(a^{\frac mn}\right)^{\frac 1q}\right)^p \stackrel{Df.8}{=}\left(\left(\left(a^{\frac 1n}\right)^m\right)^{\frac 1q}\right)^p \stackrel{Tw.11}{=} \left(\left(a^{\frac 1n}\right)^{\frac mq}\right)^p \stackrel{Df.8}{=} \left(\left(\left(a^{\frac 1n}\right)^{\frac 1q}\right)^m\right)^p \stackrel{Tw.4}{=} \left(\left(a^{\frac 1n}\right)^{\frac 1q}\right)^{mp} \stackrel{Tw.10}{=} \left(a^{\frac{1}{nq}}\right)^{mp} \stackrel{Df.8}{=} a^{\frac{mp}{nq}}=\) \( a^{\frac mn \cdot \frac pq} \stackrel{Df.9}{=} a^{w_1\cdot w_2}\;\),
  6. \(a^{-w_1}\stackrel{Df.9}{=}a^{-\frac mn} =\) \(a^{\frac{-m}{n}}\stackrel{Df.8}{=} \left(a^{\frac 1n}\right)^{-m}\stackrel{Df.4}{=} \frac{1}{\left(a^{\frac 1n}\right)^m}\stackrel{Df.8}{=} \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\stackrel{Df.9}{=} \frac{1}{a^{w_1}}\;\).

Zwykle przyjmuje się dodatkowo definicję następującą:

Definicja 5.9

Jeśli \(w\;\) jest liczbą wymierną dodatnią, to \(0^w=0\;\).

Zadanie 5.10 Podaj przykłady liczbowe ilustrujące każdą z własności wymienionych w Twierdzeniu 5.8 .

Rozwiązanie:

Odpowiedź mogłaby być następująca:

    1. \(2^{\frac{5}{7}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}=\) \(2^{\frac{5}{7}+\frac{1}{2}}=\) \( 2^{\frac{10+7}{14}}=\) \(2^{\frac{17}{14}}=\) \(2\cdot 2^{\frac{3}{14}}\;\),
    2. \(2^{\frac{5}{7}}\cdot 2^{-\frac{1}{2}}=\) \(2^{\frac{5}{7}+ \left(-\frac{1}{2}\right)}=\) \( 2^{\frac{10-7}{14}}=\) \(2^{\frac{3}{14}}\;\),
    1. \(\frac{3^{\frac 49}}{3^{-0,2}}=3^{\frac 49-(-0,2)}= 3^{\frac 49+\frac 15}=3^{\frac{29}{45}}\;\),
    1. \((64)^{-\frac 25}=\) \((32\cdot 2)^{-\frac 25}=\) \( 32^{-\frac 25}\cdot 2^{-\frac 25}=\) \(\frac 14\cdot 2^{-\frac 25}\;\),
    1. \(\left(\frac{18}{0,016}\right)^{\frac 32}= \frac{18^{\frac 32}}{(0,016)^{\frac 32}}\;\),
    1. \(\left(8^{-\frac 23}\right)^{-\frac 94}= 8^{(-\frac 23)\cdot (-\frac 94)}=8^{\frac 32}\;\),
    2. \(\left({\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{120}{7}}=\) \( \left({\frac{2}{3}}^{-1}\right)^{\frac{120}{7}}=\) \( \left({\frac{3}{2}}\right)^{\frac{120}{7}}\;\),
    1. \(6^{-\frac 53}=\frac{1}{6^{\frac 53}}\;\),
    2. \(\frac{1}{3^{-\frac{10}{11}}}=3^{-(-\frac{10}{11})}=3^{\frac{10}{11}}\;\).
∎

Zadanie 5.11 Oblicz:

  1. \(\frac{\left(\frac 34\right)^{-\frac 23}\cdot \left(\frac{2}{81}\right)^{\frac{13}{2}}}{2^{\frac 12}\cdot 8^{\frac{12}{5}}}\;\),
  2. \(\left(\left(\frac 56\right)^{-\frac 23}\cdot \left(5\cdot \left(\frac 43\right)^2\right)^{\frac 49}\right)^{-\frac 32}\;\),
  3. \(\left(\frac{\left(2^{\frac 17}\right)^{-\frac{35}{6}}}{(0,2)^{\frac 45}\cdot 2} \right)^{\frac 32}\;\).

Rozwiązanie:

  1. \(\frac{\left(\frac 34\right)^{-\frac 23}\cdot \left(\frac{2}{81}\right)^{\frac{13}{2}}}{2^{\frac 12}\cdot 8^{\frac{12}{5}}} =\) \(3^{-\frac 23}\cdot\left(4^{-1}\right)^{-\frac 23}\cdot 2^{\frac{13}{2}}\cdot\left(81^{-1}\right)^{\frac{13}{2}}\cdot 2^{-\frac 12}\cdot 8^{-\frac{12}{5}}=\) \( \left(2^{2}\right)^{\frac 23}\cdot 2^{\frac{13}{2}}\cdot 2^{-\frac 12}\cdot\left(2^{3}\right)^{-\frac{12}{5}}\cdot 3^{-\frac 23}\cdot \left(3^4\right)^{-\frac{13}{2}}=\) \( 2^{\frac 43+\frac{13}{2}-\frac 12-\frac{36}{5}}\cdot 3^{-\frac 23-26}=\) \(2^{\frac{40+12\cdot 15-6\cdot 36}{30}}\cdot 3^{-\frac{80}{3}}=\) \(2^{\frac{220-216}{30}}\cdot 3^{-\frac{80}{3}}=\) \( 2^{\frac{2}{15}}\cdot 3^{-\frac{80}{3}}\;\).
  2. \(\left(\left(\frac 56\right)^{-\frac 23}\cdot \left(5\cdot \left(\frac 43\right)^2\right)^{\frac 49}\right)^{-\frac 32}=\) \( \left(\frac 56\right)^{-\frac 23\cdot ({-\frac 32})}\cdot \left(5\cdot \left(\frac 43\right)^2\right)^{\frac 49\cdot ({-\frac 32})}=\) \( \frac 56 \cdot \left(5\cdot \left(\frac 43\right)^2\right)^{-\frac 23}=\) \( \frac 56\cdot 5^{-\frac 23}\cdot \left(\frac 43\right)^{-\frac 43}=\) \( 5^{1-\frac 23}\cdot 2^{-1}\cdot 3^{-1}\cdot 4^{-\frac 43}\cdot 3^{\frac 43}=\) \(2^{-1-\frac 83}\cdot 3^{-1+\frac 43}\cdot 5^{\frac 13}=\) \(2^{-\frac{11}{3}}\cdot 3^{\frac 13}\cdot 5^{\frac 13}=\) \(\left(\frac{15}{2048}\right)^{\frac 13}\;\).
  3. \(\left(\frac{\left(2^{\frac 17}\right)^{-\frac{35}{6}}}{(0,2)^{\frac 45}\cdot 2} \right)^{\frac 32}=\) \( \left(\frac{2^{-\frac 56}}{\left(\frac 15\right)^{\frac 45}\cdot 2} \right)^{\frac 32}=\) \(2^{-\frac 56\cdot \frac 32}\cdot \left(\left(5^{-1}\right)^{\frac 45}\right)^{-\frac32}\cdot 2^{-\frac 32}=\) \(2^{-\frac 54-\frac 32}\cdot 5^{\frac 65}=\) \( 2^{-\frac{11}{4}}\cdot 5^{\frac 65}\;\).
∎

Zadanie 5.12 Określ zakres zmienności zmiennych:

  1. \(\frac{\left(x^{\frac 23}-x^{\frac 13}\right)^{\frac 43}}{x^{\frac 45}-1}\;\),
  2. \(\frac{(x+y)^{\frac 25}}{(x-y)^{\frac 25}}\;\),
  3. \(x^{(y-1)^{\frac 23}}\;\).

Rozwiązanie:

  1. \(x\;\) musi spełniać warunki:
    \(\left\{\begin{array}{l} x\geq 0\\ x^{\frac 23}-x^{\frac 13}\geq 0\\ x^{\frac 45}\ne 1\end{array}\right. \mbox{ czyli } \left\{\begin{array}{l} x\geq 0\\ x^{\frac 13}\left(x^{\frac 13}-1\right)\geq 0\\ x^{\frac 45}\ne 1\end{array}\right. \mbox{ czyli } \left\{\begin{array}{l} x\geq 0\\ x^{\frac 13}\geq 1\\ x^{\frac 45}\ne 1\end{array}\right.,\)
    tzn. \(x>1\;\).
  2. Zmienne \(x\;\) i \(y\;\) są liczbami rzeczywistymi, które spełniają warunki
    \(\left\{\begin{array}{l} x+y\geq 0\\ x-y\geq 0\\ (x-y)^{\frac 25}\ne 0\end{array}\right. \mbox{ czyli } \left\{\begin{array}{l} y\geq -x\\ y\leq x\\ x\ne y\end{array}\right. \mbox{ czyli } \left\{\begin{array}{l} y\geq -x\\ y<x\end{array}\right..\)

  3. Wyrażenie \(x^{(y-1)^{\frac 23}}\;\), czyli \(x^{\left[(y-1)^{\frac 23}\right]}\;\) ma sens w następujących przypadkach:
    • gdy \(x>0\;\), a \((y-1)^{\frac 23}\;\) jest liczbą rzeczywistą (w istocie może być tylko liczbą nieujemną), tzn. gdy \(x>0\;\) i \(y\geq 1\;\),
    • gdy \(x=0\;\), a \((y-1)^{\frac 23}\;\) jest liczbą rzeczywistą większą od zera, tzn. gdy \(x=0\;\) i \(y> 1\;\),
    • gdy \(x<0\;\), a \((y-1)^{\frac 23}\;\) jest liczbą całkowitą, przy czym \(y\geq 1\;\),
    • gdy \(x<0\;\), a \((y-1)^{\frac 23}\;\) jest liczbą postaci \(\frac1k\;\), gdzie \(k\;\) jest nieparzystą liczbą dodatnią, przy czym \(y\geq 1\;\).
∎

Zadanie 5.13 Przekształć wyrażenie określiwszy wcześniej zakres zmienności:

  1. \(\left(x^{\frac 32}-(x+1)^{\frac 32}\right)^2+2(x(x+1))^{\frac 32}\;\),
  2. \(\frac{x^{\frac 23}-y^{\frac 23}}{x^{\frac 13}-y^{\frac 13}}\;\),
  3. \(\frac{x-y}{x^{\frac 14}-y^{\frac 14}}\;\),
  4. \(\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}}\;\).

Rozwiązanie:

  1. Wyrażenie ma sens, gdy \(x\geq 0\;\), \(x+1\geq 0\;\) i \(x(x+1)\geq 0\;\), czyli gdy \(x\geq 0\;\). Dla \(x\geq 0\;\)
    \( \left(x^{\frac 32}-(x+1)^{\frac 32}\right)^2+2(x(x+1))^{\frac 32}=x^3+(x+1)^3-2x^{\frac 32}(x+1)^{\frac 32}+2(x(x+1))^{\frac 32}=\)
    = x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = 2x3 + 3x2 + 3x + 1.
  2. Wyrażenie ma sens, gdy \(x\geq 0\;\), \(y\geq 0\;\) i \(x^{\frac 13}-y^{\frac 13}\ne 0\;\), tzn. gdy \(x\geq 0\;\), \(y\geq 0\;\) i \(x\ne y\;\). Wówczas
    \( \frac{x^{\frac 23}-y^{\frac 23}}{x^{\frac 13}-y^{\frac 13}}= \frac{\left(x^{\frac 13}-y^{\frac 13}\right) \left(x^{\frac 13}+y^{\frac 13}\right)}{x^{\frac 13}-y^{\frac 13}}=x^{\frac 13}+y^{\frac 13}. \)
  3. Wyrażenie ma sens, gdy \(x\geq 0\;\) i \(y\geq 0\;\) i \(x^{\frac 14}\ne y^{\frac 14}\;\), czyli gdy \(x\geq 0\;\), \(y\geq 0\;\) i \(x\ne y\;\). Wówczas
    \( \frac{x-y}{x^{\frac 14}-y^{\frac 14}}= \frac{\left(x^{\frac 12}-y^{\frac 12}\right)\left(x^{\frac 12}+y^{\frac 12}\right)}{x^{\frac 14}-y^{\frac 14}}= \frac{\left(x^{\frac 14}-y^{\frac 14}\right)\left(x^{\frac 14}+y^{\frac 14}\right)\left(x^{\frac 12}+y^{\frac 12}\right)}{x^{\frac 14}-y^{\frac 14}}=\)
    \( =\left(x^{\frac 14}+y^{\frac 14}\right)\left(x^{\frac 12}+y^{\frac 12}\right)=x^{\frac 34}+x^{\frac 14}y^{\frac 12}+x^{\frac 12}y^{\frac 14}+y^{\frac 34}. \)
  4. Wyrażenie ma sens, gdy \(x\geq 0\;\), \(y\geq 0\;\), \(x\ne 0\;\), \(y\ne 0\;\) i \(x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}\ne 0\;\), czyli, gdy \(x>0\;\) i \(y>0\;\). Wówczas
    \(\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}}= \frac{\left(\left(x^{-1}\right)^{\frac 12}-\left(y^{-1}\right)^{\frac 12}\right)\left(\left(x^{-1}\right)^{\frac 12}+\left(y^{-1}\right)^{\frac 12}\right)}{x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}}=\frac{\left(x^{-\frac 12}-y^{-\frac 12}\right)\left(x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}\right)}{x^{-\frac 12}+y^{-\frac 12}}=x^{-\frac 12}-y^{-\frac 12}.\)
∎



Theme by Dr. Radut.