Skip to Content

Potęgi. Zadania 4-6

śr., 09/15/2010 - 15:10 — ciebie

Zadanie 1.4 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\;\),
  2. \(\sqrt{8-2\sqrt{7}}\;\),
  3. \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}},\;\)
  4. \(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}.\;\)


Odpowiedź:

  1. \(1+\sqrt{3}.\;\)
  2. \(\sqrt{7}-1.\;\)
  3. \(1+\sqrt{2}.\;\)
  4. \(2-\sqrt{2}.\;\)


Wskazówka:

  1. Zapisz \(4+2\sqrt{3}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  2. Zapisz \(8-2\sqrt{7}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  3. Zapisz \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;\).
  4. Zapisz \(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;\).


Podpowiedź:

  1. Zapisz \(4+2\sqrt{3}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz \(a,b\;\) tak, aby \(a^2+2ab+b^2=4+2\sqrt{3}.\;\) -> Użyj wzoru \(\sqrt{x^2}=|x|.\;\) -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
  2. Zapisz \(8-2\sqrt{7}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz \(a,b\;\) tak, aby \(a^2-2ab+b^2=8-2\sqrt{7}.\;\) -> Użyj wzoru \(\sqrt{x^2}=|x|.\;\) -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
  3. Zapisz \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;\). ->Dobierz liczby \(a,b\;\) tak, aby \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=7+5\sqrt{2}\;\). -> Skorzystaj z faktu, że \(\sqrt[3]{x^3}=x\;\).
  4. Zapisz \(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;\). ->Dobierz liczby \(a,b\;\) tak, aby \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=20-14\sqrt{2}\;\). -> Skorzystaj z faktu, że \(\sqrt[3]{x^3}=x\;\).


Rozwiązanie:

  1. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\;\) Zauważmy, że \(4+2\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3=(1+\sqrt{3})^2.\;\) Ponadto \(1+\sqrt{3} >0,\;\) zatem \(|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}.\;\) Otrzymujemy
    \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\) \(\sqrt{1+2\sqrt{3}+3}=\) \(\sqrt{1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\) \(\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=\) \(|1+\sqrt{3}|=\) \(1+\sqrt{3}.\;\)
  2. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\;\) Zauważmy, że \(8-2\sqrt{7}= 1-2\cdot 1\cdot \sqrt{7}+(\sqrt{7})^2=(1-\sqrt{7})^2.\;\) Ponadto \(1-\sqrt{7} <0,\;\) zatem \(|1-\sqrt{7}|=-(1-\sqrt{7})=\sqrt{7}-1.\;\) Otrzymujemy
    \(\sqrt{8-2\sqrt{7}}=\) \(\sqrt{1-2\sqrt{7}+7}=\) \(\sqrt{1^2-2\cdot 1 \cdot \sqrt{7}+(\sqrt{7})^2}=\) \(\sqrt{(1-\sqrt{7})^2}=\) \(|1-\sqrt{7}|=\) \(\sqrt{7}-1.\;\)
  3. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\;\) Zauważmy, że \(7+5\sqrt{2}=\) \(1+3 \sqrt{2}+3\cdot 2+ 2\sqrt{2}=\) \(1^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3=\) \((1+\sqrt{2})^3.\;\) Ponieważ \(\sqrt[3]{x^3}=x,\;\) otrzymujemy
    \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3}=1+\sqrt{2}.\;\)
  4. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\;\) Zauważmy, że \(20-14\sqrt{2}=\) \(8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}=\) \(2^3-3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2}+3\cdot 2\cdot (\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3=\) \((2-\sqrt{2})^3\;\). Ponieważ \(\sqrt[3]{x^3}=x,\;\) otrzymujemy
    \(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^3}=2-\sqrt{2}.\;\)
∎

Zadanie 1.5 Oblicz:

  1. \(\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2\cdot(2-\sqrt{2})}\;\),
  2. \(\frac{2}{5+2\sqrt{6}}+\frac{2}{5-2\sqrt{6}}\;\),
  3. \(\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}+2}- \frac{3\sqrt{2,5}+\sqrt{3,5}}{\sqrt{2}},\;\)
  4. \(\frac{1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}-\frac{1}{\sqrt{7+\sqrt{24}}+1}\;\),
  5. \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}-1,\;\)
  6. \(\frac{4}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1}-\sqrt[3]{3},\;\)
  7. \(\left(1+2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \left(9-4\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}\;\),
  8. \(\left(5^{\frac{2}{3}}+10^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(5^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{1}{3}}\right)\;\),
  9. \(\frac{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}\;\),
  10. \(\frac{\sqrt[4]{7\sqrt[3]{54}+15\sqrt[3]{128}}} {\sqrt[3]{4\sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\sqrt[4]{162}}}\;\).


Odpowiedź:

  1. \(2.\;\)
  2. \(20.\;\)
  3. \(-4.\;\)
  4. \(1-\frac{\sqrt{6}}{3}.\;\)
  5. \(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}.\;\)
  6. \(1.\;\)
  7. \(\sqrt{7}.\;\)
  8. \(3.\;\)
  9. \(1.\;\)
  10. \(\frac{3}{5}.\;\)


Wskazówka:

  1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2.\;\)
  2. Dla każdego składnika rozszerz ułamek korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
  3. W każdym składniku usuń niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek.
  4. Zapisz \(7-\sqrt{24}\;\) w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  5. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.\;\)
  6. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.\;\)
  7. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\;\)
  8. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a^2-ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3.\;\)
  9. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\;\) i \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\;\)
  10. Skorzystaj ze wzoru \(\sqrt[k]{a\cdot b}=\sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}.\;\)


Rozwiązanie:

  1. Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2.\;\) Otrzymujemy
    \(\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2\cdot(2-\sqrt{2})}=\) \(\sqrt{(2+\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt{2})\cdot 2}=\) \(\sqrt{(2^2-(\sqrt{2})^2)\cdot 2}=\) \(\sqrt{2\cdot 2}=\) \(2.\;\)
  2. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem jeżeli w mianowniku jest liczba \(5-2\sqrt{6}\;\), to licznik i mianownik warto pomnożyć przez \(5+2\sqrt{6}\;\), zaś jeżeli w mianowniku jest \(5+2\sqrt{6}\;\), to licznik i mianownik warto pomnożyć przez \(5-2\sqrt{6}\;\). Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\;\). Mamy zatem
    \(\frac{2}{5+2\sqrt{6}}+\frac{2}{5-2\sqrt{6}}=\) \( \frac{2}{5+2\sqrt{6}} \cdot \frac{5-2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}+\frac{2}{5-2\sqrt{6}}\cdot \frac{5+2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}=\) \(\frac{10-4\sqrt{6}}{5^2-(2\sqrt{6})^2}+ \frac{10+4\sqrt{6}}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\) \( \frac{20}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\) \(\frac{20}{25-24}=\) \(20.\;\)
  3. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem, jeżeli w mianowniku jest liczba \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\;\), to licznik i mianownik warto pomnożyć przez \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\;\), zaś jeżeli w mianowniku jest liczba \(\sqrt{5}+2\;\), to licznik i mianownik warto pomnożyć przez \(\sqrt{5}-2.\;\) Jeżeli w mianowniku jest liczba \(\sqrt{2},\;\) to aby usunąć niewymierność z mianownika mnożymy licznik i mianownik przez tę liczbę. Mamy zatem:
    \(\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}+2}- \frac{3\sqrt{2,5}+\sqrt{3,5}}{\sqrt{2}}=\) \(\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}+2}\cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}-\frac{3\sqrt{2,5}+\sqrt{3,5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2} +\frac{2\cdot(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5})^2-2^2}-\frac{3\sqrt{2,5\cdot 2}+\sqrt{3,5\cdot 2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} }=\) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+2\sqrt{5}-4-\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}=\) \(-4.\;\)
  4. Zauważmy, że \(7-\sqrt{24}=7-2\sqrt{6}=1^2-2\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=(1-\sqrt{6})^2\;\) i analogicznie \(7+\sqrt{24}=(1+\sqrt{6})^2.\;\) Ponadto \(1-\sqrt{6}<0\;\), zatem \(|1-\sqrt{6}|=-(1-\sqrt{6})=\sqrt{6}-1\;\) oraz \(1+\sqrt{6}>0,\;\) zatem \(|1+\sqrt{6}|=1+\sqrt{6}.\;\) W otrzymanych wynikach usuwamy niewymierność z mianownika, odpowiednio rozszerzając ułamki. Otrzymujemy
    \(\frac{1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}-\frac{1}{\sqrt{7+\sqrt{24}}+1}=\) \(\frac{1} {\sqrt{(1-\sqrt{6})^2}+1}-\frac{1}{\sqrt{(1+\sqrt{6})^2}+1} =\) \( \frac{1}{|1-\sqrt{6}|+1} - \frac{1}{|1+\sqrt{6}|+1}=\) \(\frac{1}{\sqrt{6}-1+1}-\frac{1}{1+\sqrt{6}+1}=\) \( \frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}+2}=\) \(\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}-2} {(\sqrt{6}+2)\cdot(\sqrt{6}-2)}=\) \( \frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}-2}{(\sqrt{6})^2-2^2}=\) \(\frac{\sqrt{6}}{6}- \frac{\sqrt{6}-2}{2}=\) \(\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1 =\) \(1-\frac{\sqrt{6}}{3}.\;\)
  5. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.\;\) Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba \(\sqrt[3]{2}-1\;\), to przyjmując \(a=\sqrt[3]{2}, b=1\;\) mnożymy licznik i mianownik przez \((\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}\cdot 1+1^2.\;\) Otrzymujemy
    \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}-1=\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}\cdot \frac{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1}-1=\) \( \frac{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2})^3-1^3}-1=\) \( \frac{(\sqrt[3]{2})^2+\sqrt[3]{2}+1}{2-1}-1=\) \(\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2}+1-1=\) \( \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}.\;\)
  6. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do sumy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.\;\) Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba \(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1=(\sqrt[3]{3})^2-\sqrt[3]{3}\cdot 1+1^2\;\), to przyjmując \(a=\sqrt[3]{3}, \; b=1\;\) mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt[3]{3}+1\;\). Otrzymujemy
    \(\frac{4}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1}-\sqrt[3]{3}=\) \(\frac{4}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}+1}\cdot \frac{\sqrt[3]{3}+1}{\sqrt[3]{3}+1}-\sqrt[3]{3}=\) \(\frac{4\cdot(\sqrt[3]{3}+1)} {(\sqrt[3]{3})^3+1^3}-\sqrt[3]{3}=\) \( \frac{4\cdot(\sqrt[3]{3}+1)}{4}-\sqrt[3]{3}=\) \(\sqrt[3]{3}+1-\sqrt[3]{3}=\) \(1.\;\)
  7. I sposób: Zauważmy, że \(9-4\cdot 2^{1\over2}=\) \(1+8-2\cdot 2\sqrt{2}=\) \(1^2-2\cdot 1 \cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=\) \(\left(1-2\sqrt{2}\right)^2\;\). Ponadto \(1-2\sqrt{2}<0\;\), więc \(|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1\;\), a zatem \(\left(1+2^{3\over2}\right)^{1\over2}\cdot \left(9-4\cdot 2^{1\over2}\right)^{1\over4} =\) \(\left(1+2\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left((2\sqrt{2}-1)^2\right)^{\frac{1}{4}}=\) \( \left(1+2\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\left((1-2\sqrt{2})^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\) \( \left(1+2\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \left(\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\) \(\left(1+2\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot \left(|1-2\sqrt{2}|\right)^{\frac{1}{2}}=\) \((1+2\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} (2\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{2}}=\) \( \left((1+2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1)\right)^{\frac{1}{2}}=\) \( (8-1)^{\frac{1}{2}}=\) \(\sqrt{7}.\;\)
    II sposób: Zauważmy, że \(\left(1+2^\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{2}=\) \(\left(\left(1+2^\frac{3}{2}\right)^2 \right)^\frac{1}{4}=\) \(\left(1+2^3+2\cdot 2^\frac{3}{2} \right)^\frac{1}{4}=\) \(\left(9+4\sqrt{2}\right)^\frac{1}{4}\;\). Zatem
    \(\left(1+2^{3\over2}\right)^{1\over2}\cdot \left(9-4\cdot 2^{1\over2}\right)^{1\over4}=\) \(\left(9+4\sqrt{2}\right)^\frac{1}{4}\cdot \left(9-4\sqrt{2}\right)^\frac{1}{4}=\) \(\left(\left(9+4\sqrt{2}\right)\cdot \left(9-4\sqrt{2}\right)\right)^\frac{1}{4}=\)
    \(\left(9^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2\right)^\frac{1}{4}=\) \((81-32)^\frac{1}{4}=\) \(49^\frac{1}{4}=\) \( \left(7^2\right)^\frac{1}{4}=\) \(7^\frac{1}{2}=\) \(\sqrt{7}.\;\)
  8. Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia \((a^2+ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3\;\), przyjmując \(a=5^{\frac{1}{3}}, b=2^{\frac{1}{3}}.\;\) Wtedy a2 + ab + b2 = \(\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^2+5^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2=\) \( 5^{2\over3}+10^{1\over3}+4^{1\over3},\;\) zatem otrzymujemy
    \(\left(5^{2\over3}+10^{1\over3}+4^{1\over3}\right) \left(5^{1\over3}-2^{1\over3}\right)=\) \(\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^3- \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3=\) 5 − 2 = \(3.\;\)
  9. Zauważmy najpierw, że \(7+5\sqrt{2}=\) \(1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=\) \(1^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1\cdot (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3=\) \((1+\sqrt{2})^3\;\), zatem uwzględniając fakt, że \(\sqrt[3]{x^3}=x,\;\) otrzymujemy \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}.\;\) Ponadto, stosując wzór \(\sqrt{x^2}=|x|\;\) i biorąc pod uwagę, że \(1+\sqrt{3}>0\;\), a zatem \(|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3},\;\) mamy \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}.\;\) Otrzymujemy
    \(\frac{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}=\) \( \frac{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}}=\) \(\frac{(\sqrt{2})^2-1^2}{1}=\) \(1.\;\)
  10. Zauważmy, że \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}.\;\) Analogicznie \(\sqrt[3]{128}=\) \(\sqrt[3]{64\cdot 2}=\) \(4\sqrt[3]{2}, \; \sqrt[4]{32}=\) \(\sqrt[4]{16\cdot 2}=\) \(2\sqrt[4]{2}, \; \sqrt[4]{162}=\) \(\sqrt[4]{81\cdot 2}=\) \(3\sqrt[4]{2}.\;\) Ponadto wykorzystamy wzory \(\sqrt[k]{a\cdot b}=\sqrt[k]{a}\cdot \sqrt[k]{b}\;\) oraz \(\sqrt[k]{\sqrt[m]{2}}=\sqrt[k\cdot m]{2}\;\). Otrzymujemy więc
    \(\frac{\sqrt[4]{7\sqrt[3]{54}+15\sqrt[3]{128}}} {\sqrt[3]{4\sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\sqrt[4]{162}}}=\) \(\frac{\sqrt[4]{7\cdot 3\sqrt[3]{2}+15\cdot 4\sqrt[3]{2}}}{\sqrt[3]{4\cdot 2\sqrt[4]{2}}+\sqrt[3]{9\cdot3\sqrt[4]{2}}}=\) \(\frac{\sqrt[4]{81\sqrt[3]{2}}} {\sqrt[3]{8\sqrt[4]{2}}+\sqrt[3]{27\sqrt[4]{2}}}=\) \( \frac{\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}}{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\) \( \frac{3\sqrt[12]{2}}{2\sqrt[12]{2}+3\sqrt[12]{2}}=\) \(\frac{3}{5}.\;\)
∎

Zadanie 1.6 Określ, jakie warunki muszą spełniać zmienne występujące w wyrażeniu, aby miało ono sens, a następnie uprość to wyrażenie:

  1. \(\left(1,5 x^8y^{10}z^4-3x^7y^9z^3+\frac{3}{2}x^6y^8z^2\right):\left(-\frac32 x^5y^7z\right)\;\),
  2. \(\frac{(a+b)^{8}(a-b)^{-1}}{(a+b)^{6}(a-b)^{-3}}\;\),
  3. \(a^5(b-c)^2(b+c)^5:\left(-\frac34 a^4(b-c)(b+c)^4\right)\;\),
  4. \(\sqrt[4]{6x(5+2\sqrt{6})}\cdot\sqrt{3\sqrt{2}x-2\sqrt{3}x}\;\),
  5. \(\left((1-a)\cdot\sqrt{-\frac{1}{a-1}}+\frac{1+a}{\sqrt{1+a}}\right)^2\;\),
  6. \(\left(\sqrt{a+b}+\frac{a}{\sqrt{a-b}}-\frac{b\sqrt{a-b}}{a-b}\right)^2\;\),
  7. \(\frac{(x+1)^{\frac12}-(x+1)^{-\frac12}}{(x+1)^{\frac12}+2(x+1)^{-\frac12}}: \frac{x^2-x}{x^2+2x-3}\;\),
  8. \(\frac{(p^{\frac 14}+q^{\frac 14})^2+ (\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2}{2(p-q)}:\frac{1}{\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}}-3\sqrt{pq}\;\),
  9. \(\frac{1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}{1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}:\frac{1}{x}\;\).


Odpowiedź:

  1. Zakres zmienności zmiennych: \(x\ne 0\;\) i \(y\ne 0\;\) i \(z\ne 0\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(-xyz(xyz- 1)^2\;\).
  2. Zakres zmienności zmiennych: \(a\ne -b\;\) i \(a\ne b\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(\left(a^2-b^2\right)^2\;\).
  3. Zakres zmienności zmiennych: \(a\ne 0\;\) i \(b\ne c\;\) i \(b\ne -c\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(-\frac43 a\left(b^2-c^2\right)\;\).
  4. Zakres zmienności zmiennych: \(x\geq 0\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(x^{\frac34}\sqrt{6}\;\).
  5. Zakres zmienności zmiennych: \(a\in (-1,1)\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(2+2\sqrt{1-a^2}\;\).
  6. Zakres zmienności zmiennych: \(a\geq -b\;\) i \(a>b\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(2a+2\sqrt{a^2-b^2}\;\).
  7. Zakres zmienności zmiennych: \(x\in(-1,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(1\;\).
  8. Zakres zmienności zmiennych: \(p\geq 0\;\) i \(q\geq 0\;\) i \(p\ne q\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)^2\;\).
  9. Zakres zmienności zmiennych: \(\left(a\geq x\mbox{ i } a> -x \mbox{ i }x\ne 0\right)\;\) lub \(\left(a\leq x\mbox{ i } a< -x \mbox{ i } x\ne 0\right)\;\). Wyrażenie po uproszczeniu: \(a+\sqrt{a^2-x^2}\;\) dla \(a\geq x\;\) i \(a> -x\;\) i \(x\ne 0\;\) oraz \(a-\sqrt{a^2-x^2}\;\) dla \(a\leq x\;\) i \(a< -x\;\) i \(x\ne 0\;\).


Wskazówka:

  1. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym.
  2. Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia \(a+b\;\) oraz \(a-b\;\).
  3. Zamień operację dzielenia na operację mnożenia przez odwrotność dzielnika, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia \(a\;\), \(b-c\;\) oraz \(b+c\;\).
  4. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, w szczególności z własności \(\sqrt{A}=\sqrt[4]{A^2}\;\) dla \(A\geq 0\;\), ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\),

    oraz z faktu, że przy odpowiednich założeniach mamy

    \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\;\).

  5. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\).
  6. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\).

    Zanim podniesiesz wyrażenie do kwadratu uprość sumę w nawiasie.

  7. Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku postaci \(\frac 1k\;\), gdzie \(k\in\mathrm{C}_+\;\), z definicji potęgi o wykładniku wymiernym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym. Wyłącz w liczniku i mianowniku dzielnej czynnik \((x+1)^{-\frac12}\;\).
  8. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z definicji potęgi o wykładniku postaci \(\frac 1k\;\), gdzie \(k\in\mathrm{C}_+\;\). Uprość dzielną, a dzielenie zamień na mnożenie przez odwrotność dzielnika. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\;\),
    3. \(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\;\).
  9. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\;\),
    2. \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\;\).

    Zauważ, że bez szczególnych założeń nie można (!) napisać \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}=\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}}\;\), bo lewa strona ma sens, gdy \(\frac{a-x}{a+x}\geq 0\;\) i \(a+x\ne 0\;\) zaś prawa tylko, gdy \(a-x\geq 0\;\) i \(a+x>0\;\). Możesz jednak zapisać

    \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt{\left|\frac{a-x}{a+x}\right|}= \sqrt{\frac{|a-x|}{|a+x|}}=\frac{\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}}.\)


Rozwiązanie:

  1. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
    \(-\frac32 x^5y^7z\ne 0 \mbox{ (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem)},\)
    co jest równoważne układowi warunków
    \(\left\{\begin{array}{l} x\ne 0\\y\ne 0\\ z\ne 0.\end{array}\right.\)
    Wówczas
    \( \left(1,5 x^8y^{10}z^4-3x^7y^9z^3+\frac{3}{2}x^6y^8z^2\right):\left(-\frac32 x^5y^7z\right)=\)
    \( =\frac32x^6y^8z^2\left( x^2y^{2}z^2-2xyz+1\right):\left(-\frac32 x^5y^7z\right)=-x^{6-5}y^{8-7}z^{2-1}\left( x^2y^{2}z^2-2xyz+1\right)= \)
    \( = -xyz\left((xyz)^2-2xyz+1\right)=-xyz(xyz-1)^2. \)
  2. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} (a+b)^6(a-b)^{-3}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}\\ a-b\ne 0& \mbox{ (podstawa potegi calkowitej ujemnej nie moze byc zerem).}\end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} a+b\ne 0\mbox{ i } a-b\ne 0& \\ a-b\ne 0,& \end{array}\right.\)
    i dalej układowi
    \(\left\{\begin{array}{l} a\ne -b\\a\ne b.\end{array}\right.\)
    Wówczas
    \( \frac{(a+b)^{8}(a-b)^{-1}}{(a+b)^{6}(a-b)^{-3}}= \frac{(a+b)^{8}}{(a+b)^{6}}\cdot\frac{(a-b)^{-1}}{(a-b)^{-3}}= (a+b)^{8-6}(a-b)^{-1-(-3)}=\)
    \(=(a+b)^{2}(a-b)^{2}=\left((a+b)(a-b)\right)^2= \left(a^2-b^2\right)^2. \)
  3. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
    \(-\frac34 a^4(b-c)(b+c)^4\ne 0 \mbox{ (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem)}.\)
    Jest on równoważny układowi warunków
    \(\left\{\begin{array}{l} a\ne 0\\b\ne c\\ b\ne -c.\end{array}\right.\)
    Wówczas
    \( a^5(b-c)^2(b+c)^5:\left(-\frac34 a^4(b-c)(b+c)^4\right)=a^5(b-c)^2 (b+c)^5\cdot\left(-\frac 43\right) a^{-4}(b-c)^{-1}(b+c)^{-4}=\)
    \( =-\frac 43 a^{5+(-4)}(b-c)^{2+(-1)}(b+c)^{5+(-4)}=-\frac 43 a(b-c)(b+c)=-\frac 43 a(b^2-c^2). \)
  4. Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} 6x(5+2\sqrt{6})\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ 3\sqrt{2}x-2\sqrt{3}x\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).} \end{array}\right.\)
    Jest on równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{l} x(5+2\sqrt{6})\geq 0\\ \left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)x\geq 0, \end{array}\right.\)
    i dalej układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} x\geq 0& \mbox{ (gdyz } 5+2\sqrt{6}>0 \mbox{ )}\\ x\geq 0& \mbox{ (gdyz } 3\sqrt{2}>2\sqrt{3} \mbox{ ).} \end{array}\right.\)
    Zatem \(x\geq 0\;\).
    Wówczas
    \(\sqrt[4]{6x\left(5+2\sqrt{6}\right)}\cdot\sqrt{3\sqrt{2}x-2\sqrt{3}x}=\) \( \sqrt[4]{6x\left(5+2\sqrt{6}\right)}\cdot\sqrt[4]{\left(3\sqrt{2}x-2\sqrt{3}x\right)^2} =\)
    \( \sqrt[4]{6\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)x\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)^2x^2}=\)
    \( \sqrt[4]{6\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)\cdot\left(\left(3\sqrt{2}\right)^2- 2\cdot3\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3}+ \left(2\sqrt{3}\right)^2\right)x^3}=\)
    \( \sqrt[4]{6\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)\cdot\left(18-12\sqrt{6}+ 12\right)x^3}=\) \( \sqrt[4]{6\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)\cdot\left(30-12\sqrt{6}\right)x^3}=\)
    \( \sqrt[4]{6\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)6\left(5-2\sqrt{6}\right)x^3}=\) \( \sqrt[4]{36\cdot\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}\cdot\sqrt[4]{x^3}=\)
    \( \sqrt[4]{36\cdot\left(5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2\right)}\cdot x^{\frac 34}=\) \( x^{\frac 34}\sqrt[4]{36\cdot(25-24)}=\) \( x^{\frac 34}\sqrt{\sqrt{36}}=\) \(x^{\frac 34}\sqrt{6}\;\).
  5. Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{a-1}\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ a-1\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)} \\ 1+a\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ \sqrt{1+a}\ne 0 & \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}. \end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} 1-a\geq 0&\mbox{ (poniewaz } -\frac{1}{a-1}=\frac{1}{1-a} \mbox{ , zas } \frac{1}{1-a}\geq 0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } 1-a\geq 0 \mbox{ )}\\ a\ne 1& \\ a\geq -1& \\ a\ne -1& \mbox{ (poniewaz } \sqrt{1+a}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } 1+a=0 \mbox{ , czyli tylko gdy } a=-1 \mbox{ )}. \end{array}\right.\)
    Oznacza to, że
    \(\left\{\begin{array}{l} a\leq 1 \\ a\ne 1 \\ a\geq -1 \\ a\ne -1, \end{array}\right.\)
    czyli, że \(a\in (-1,1)\;\).
    Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    \(\left((1-a)\cdot\sqrt{-\frac{1}{a-1}}+\frac{1+a}{\sqrt{1+a}}\right)^2=\) \( \left((1-a)\cdot\sqrt{\frac{1}{1-a}}+\frac{1+a}{\sqrt{1+a}}\right)^2=\) \( \left(\frac{1-a}{\sqrt{1-a}}+\frac{1+a}{\sqrt{1+a}}\right)^2=\) \( \left(\sqrt{1-a}+\sqrt{1+a}\right)^2=\) \(1-a+2\sqrt{1-a}\cdot\sqrt{1+a}+1+a=\) \( 2+2\sqrt{(1-a)(1+a)}=\) \(2+2\sqrt{1-a^2}\;\).
  6. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} a+b\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ a-b\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ \sqrt{a-b}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)} \\ a-b\ne 0 & \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}. \end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{l} a\geq -b \\ a\geq b \\ a\ne b \mbox{ (poniewaz } \sqrt{a-b}=0 \mbox{ tylko wtedy, gdy } a-b=0 \mbox{ , czyli tylko gdy } a=b \mbox{ )} \\ a\ne b. \end{array}\right.\)
    Oznacza to, że \(a\geq -b\;\) i \(a>b\;\).
    Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    \(\left(\sqrt{a+b}+\frac{a}{\sqrt{a-b}}-\frac{b\sqrt{a-b}}{a-b}\right)^2=\) \( \left(\sqrt{a+b}+\frac{a\sqrt{a-b}}{a-b}-\frac{b\sqrt{a-b}}{a-b}\right)^2=\)
    \( \left(\sqrt{a+b}+\frac{(a-b)\sqrt{a-b}}{a-b}\right)^2=\) \( \left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)^2=\) \(a+b+2\sqrt{a-b}\cdot\sqrt{a+b}+a-b=\) \( 2a+2\sqrt{(a+b)(a-b)}=\) \(2a+2\sqrt{a^2-b^2}\;\).
  7. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} x+1\geq 0& \mbox{ (podstawa potegi o wykladniku } \frac12 \mbox{ musi byc nieujemna)}\\ x+1> 0& \mbox{ (podstawa potegi o wykladniku } -\frac12 \mbox{ musi byc dodatnia)}\\ (x+1)^{\frac 12}+2(x+1)^{-\frac 12}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}\\ \frac{x^2-x}{x^2+2x-3}\ne 0& \mbox{ (dzielnik nie moze byc zerem)}\\ x^2+2x-3\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem).} \end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} x\geq -1& \\ x> -1& \\ (x+1)^{-\frac 12}\left((x+1)+2\right)\ne 0& \\ x^2-x\ne 0& \mbox{ (ulamek algebraiczny jest rowny zero jedynie wtedy, }\\ & \mbox{ gdy jego licznik jest rowny zero) }\\ (x+3)(x-1)\ne 0& \mbox{ (gdyz } x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \mbox{ ),}\\ \end{array}\right.\)
    i dalej układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} x\geq-1& \\ x> -1& \\ (x+1)+2\ne 0& \mbox{ (gdyz } (x+1)^{-\frac 12}\ne 0 \mbox{ )}\\ x(x-1)\ne 0& \\ x+3\ne 0 \mbox{ i } x-1\ne 0& .\end{array}\right.\)
    Kontynuując przekształcenia równoważne otrzymujemy
    \(\left\{\begin{array}{l} x\geq-1\\ x> -1\\ x+3\ne 0\\ x\ne0\mbox{ i } x-1\ne 0\\ x\ne -3 \mbox{ i } x\ne 1,\end{array}\right.\)
    czyli
    \(\left\{\begin{array}{l} x\geq-1\\ x> -1\\ x\ne -3\\ x\ne 0 \mbox{ i } x\ne 1 \\ x\ne -3 \mbox{ i } x\ne 1.\end{array}\right.\)
    Reasumując \(x\in (-1,0)\cup (0,1)\cup (1,+\infty)\;\). Wówczas
    \( \frac{(x+1)^{\frac12}-(x+1)^{-\frac12}}{(x+1)^{\frac12}+2(x+1)^{-\frac12}}: \frac{x^2-x}{x^2+2x-3} =\frac{(x+1)^{-\frac12}\left((x+1)-1\right)}{(x+1)^{-\frac12}\left((x+1)+2\right)} \cdot\frac{x^2+2x-3}{x^2-x}=\)
    \( =\frac{x}{x+3}\cdot \frac{(x-1)(x+3)}{x(x-1)}=1. \)
  8. Aby wyrażenie miało sens zmienne muszą spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} p\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem oraz podstawa potegi }\\ q\geq 0& \mbox{ o wykladniku } \frac 14 \mbox{ musza byc nieujemne)}\\ p-q\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)} \\ \sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}\ne 0 & \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}\\ pq\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).} \end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} p\geq 0& \\ q\geq 0& \\ p\ne q& \\ \sqrt{p^3}\ne\sqrt{q^3} & \\ \left( p\geq 0 \mbox{ i } q\geq 0\right) \mbox{ lub } \left(p\leq 0 \mbox{ i } q\leq 0\right),& \end{array}\right.\)
    i dalej układowi
    \(\left\{\begin{array}{l} p\geq 0 \\ q\geq 0 \\ p\ne q \\ p\ne q \mbox{ (gdyz } \sqrt{p^3}=\sqrt{q^3} \mbox{ wtedy i tylko wtedy, gdy } p=q \mbox{ )} \\ \left( p\geq 0 \mbox{ i } q\geq 0\right) \mbox{ lub } \left(p\leq 0 \mbox{ i } q\leq 0\right). \end{array}\right.\)
    Reasumując otrzymaliśmy, że \(p\geq 0\;\) i \(q\geq 0\;\) i \(p\ne q\;\).
    Korzystając z założeń jakie muszą spełniać zmienne oraz z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    \(\frac{(p^{\frac 14}+q^{\frac 14})^2+ (\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2}{2(p-q)}:\frac{1}{\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}}-3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^2+ (\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2}{2(p-q)}\cdot\left({\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}}\right) -3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{\left(\sqrt[4]{p}\right)^2+2\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q}+ \left(\sqrt[4]{q}\right)^2+\left(\sqrt[4]{p}\right)^2-2\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q}+ \left(\sqrt[4]{q}\right)^2}{2(p-q)}\cdot\left(\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}\right)-3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{2\left(\left(\sqrt{\sqrt{p}}\right)^2+ \left(\sqrt{\sqrt{q}}\right)^2\right)}{2(p-q)}\cdot\left(\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}\right) -3\sqrt{pq}=\) \( \frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{p-q}\cdot\left(\sqrt{p^3}-\sqrt{q^3}\right)-3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{\sqrt{p^4}-\sqrt{pq^3}+\sqrt{qp^3}-\sqrt{q^4}}{p-q}-3\sqrt{pq}=\) \( \frac{{p^2}-q\sqrt{pq}+p\sqrt{qp}-{q^2}}{p-q}-3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{p^2-q^2+\sqrt{pq}(p-q)}{p-q}-3\sqrt{pq}=\) \( \frac{(p-q)(p+q)+\sqrt{pq}(p-q)}{p-q}-3\sqrt{pq}=\)
    \( \frac{(p-q)\left(p+q+\sqrt{pq}\right)}{p-q}-3\sqrt{pq}=\) \( p+q+\sqrt{pq}-3\sqrt{pq}=\) \(p+q-2\sqrt{pq}=\) \(\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)^2\;\).
    Uwaga: Powyższy rachunek można przeprowadzić stosując notację wykładniczą i prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  9. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    \(\left\{\begin{array}{ll} \frac{a-x}{a+x}\geq 0& \mbox{ (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)}\\ a+x\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)}\\ 1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\ne 0& \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem)} \\ x\ne 0 & \mbox{ (mianownik ulamka nie moze byc zerem).} \end{array}\right.\)
    Układ ten jest równoważny układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} (a-x)(a+x)\geq 0& \mbox{ (gdyz } \frac{a-x}{a+x}\geq 0 \mbox{ wtedy i tylko wtedy, gdy } (a-x)(a+x)\geq 0 \mbox{ )}\\ a\ne -x& \\ \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\ne 1& \\ x\ne 0, & \end{array}\right.\)
    i dalej układowi
    \(\left\{\begin{array}{ll} (a-x)(a+x)\geq 0& \\ a\ne -x& \\ {\frac{a-x}{a+x}}\ne 1& \\ x\ne 0. & \end{array}\right.\)
    Oznacza to, że
    \(\left\{\begin{array}{l} \left((a-x)\geq0\mbox{ i }(a+x)\geq 0\right) \mbox{ lub } \left((a-x)\leq0\mbox{ i }(a+x)\leq 0\right)\\ a\ne -x \\ x\ne 0 \mbox{ (gdyz } \frac{a-x}{a+x}=1 \mbox{ jedynie, gdy } a-x=a+x \mbox{ czyli, gdy } x=0 \mbox{ )} \\ x\ne 0, \end{array}\right.\)
    czyli, że
    \(\left\{\begin{array}{l} a\geq x \mbox{ i } a\geq -x\\ a\ne -x \\ x\ne 0\\ x\ne 0 \end{array}\right. \mbox{ lub } \ \left\{\begin{array}{l} a\leq x\mbox{ i }a\leq -x\\ a\ne -x \\ x\ne 0\\ x\ne 0. \end{array}\right.\)
    Reasumując zmienne muszą spełniać jeden z dwóch układów
    \(\left\{\begin{array}{l} a\geq x\\ a> -x \\ x\ne 0 \end{array}\right. \mbox{ lub } \ \left\{\begin{array}{l} a\leq x\\ a< -x \\ x\ne 0. \end{array}\right.\)

    Korzystając z założeń, jakie muszą spełniać zmienne, oraz z własności działań na pierwiastkach uprościmy rozważane wyrażenie na dwa sposoby.
    I sposób:
    \(\frac{1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}{1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}:\frac{1}{x}=\) \( \frac{\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)} {\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)} :\frac{1}{x}=\) \( \frac{\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2} {1-\frac{a-x}{a+x}} \cdot x=\)
    \( x\cdot\frac{\left(1+2\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}+\frac{a-x}{a+x}\right)} {\frac{a+x-(a-x)}{a+x}}=\) \( x\cdot\frac{\left(1+2\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}+\frac{a-x}{a+x}\right)(a+x)} {a+x-a+x}=\)
    \( x\cdot\frac{a+x+2(a+x)\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}+a-x} {2x}=\) \( \frac{2a+2(a+x)\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}{2}=\) \( a+(a+x)\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}=\)
    \(=\left\{\begin{array}{ll} a+|a+x|\sqrt{\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x>0 (\mbox{wowczas } a-x\geq 0)\\ a-|a+x|\sqrt{\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x<0 (\mbox{wowczas } a-x\leq 0)\end{array}\right. \)
    \(=\left\{\begin{array}{ll} a+\sqrt{(a+x)^2}\cdot\sqrt{\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ a-\sqrt{(a+x)^2}\cdot\sqrt{\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq 0\end{array}\right. \)
    \(=\left\{\begin{array}{ll} a+\sqrt{(a+x)^2\cdot\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ a-\sqrt{(a+x)^2\cdot\frac{a-x}{a+x}},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq 0\end{array}\right. \)
    \(=\left\{\begin{array}{ll} a+\sqrt{(a+x)(a-x)},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ a-\sqrt{(a+x)(a-x)},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq 0\end{array}\right. \)
    \(=\left\{\begin{array}{ll} a+\sqrt{a^2-x^2},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ a-\sqrt{a^2-x^2},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq 0.\end{array}\right.\;\)
    II sposób:
    \(\frac{1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}{1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}:\frac{1}{x}=\) \( \frac{1+\frac{\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}}}{1-\frac{\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}}}\cdot x=\) \(x\cdot \frac{\frac{\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}}} {\frac{\sqrt{|a+x|}-\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}}}=\) \( x\cdot\frac{\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}}{\sqrt{|a+x|}-\sqrt{|a-x|}}=\) \( x\cdot\frac{\left(\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}\right) \left(\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}\right)}{\left(\sqrt{|a+x|}-\sqrt{|a-x|}\right) \left(\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}\right)}=\) \( x\cdot\frac{\left(\sqrt{|a+x|}+\sqrt{|a-x|}\right)^2}{|a+x|-|a-x|}=\)
    \( x\cdot\frac{\left(|a+x|+2\sqrt{|a+x|}\cdot\sqrt{|a-x|}+|a-x|\right)}{|a+x|-|a-x|}=\) \( x\cdot\frac{\left(|a+x|+2\sqrt{|a+x|\cdot|a-x|}+|a-x|\right)}{|a+x|-|a-x|}=\) \( x\cdot\frac{\left(|a+x|+2\sqrt{|(a+x)(a-x)|}+|a-x|\right)}{|a+x|-|a-x|}=\) \( x\cdot\frac{\left(|a+x|+2\sqrt{(a+x)(a-x)}+|a-x|\right)}{|a+x|-|a-x|}=\) \( x\cdot\frac{\left(|a+x|+2\sqrt{a^2-x^2}+|a-x|\right)}{|a+x|-|a-x|}\)
    = \(\left\{\begin{array}{ll} x\cdot\frac{a+x+2\sqrt{a^2-x^2}+a-x}{a+x-(a-x)},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ x\cdot\frac{-a-x+2\sqrt{a^2-x^2}-a+x}{-a-x+a-x},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq 0\end{array}\right.\)
    \( =\left\{\begin{array}{ll} x\cdot\frac{2a+2\sqrt{a^2-x^2}}{2x},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq 0\\ x\cdot\frac{-2a+2\sqrt{a^2-x^2}}{-2x},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq0\end{array}\right.\)
    \( =\left\{\begin{array}{ll} a+\sqrt{a^2-x^2},&\mbox{ gdy } a+x>0 \mbox{ i } a-x\geq0\\ {a-\sqrt{a^2-x^2}},&\mbox{ gdy } a+x<0 \mbox{ i } a-x\leq0.\end{array}\right.\;\)

∎



Theme by Dr. Radut.