Processing math: 100%
Skip to Content

Potęgi. Zadania 4-6

Zadanie 1.4 Oblicz bez użycia kalkulatora:

  1. 4+23,
  2. 827,
  3. 37+52,
  4. 320142.


Odpowiedź:

  1. 1+3.
  2. 71.
  3. 1+2.
  4. 22.


Wskazówka:

  1. Zapisz 4+23 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  2. Zapisz 827 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  3. Zapisz 37+52 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
  4. Zapisz 320142 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (ab)3=a33a2b+3ab2b3.


Podpowiedź:

  1. Zapisz 4+23 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz a,b tak, aby a2+2ab+b2=4+23. -> Użyj wzoru x2=|x|. -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
  2. Zapisz 827 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz a,b tak, aby a22ab+b2=827. -> Użyj wzoru x2=|x|. -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
  3. Zapisz 37+52 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. ->Dobierz liczby a,b tak, aby (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=7+52. -> Skorzystaj z faktu, że 3x3=x.
  4. Zapisz 320142 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (ab)3=a33a2b+3ab2b3. ->Dobierz liczby a,b tak, aby (ab)3=a33a2b+3ab2b3=20142. -> Skorzystaj z faktu, że 3x3=x.


Rozwiązanie:

  1. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2. Zauważmy, że 4+23=1+23+3=(1+3)2. Ponadto 1+3>0, zatem |1+3|=1+3. Otrzymujemy
    4+23= 1+23+3= 12+213+(3)2= (1+3)2= |1+3|= 1+3.
  2. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (ab)2=a22ab+b2. Zauważmy, że 827=1217+(7)2=(17)2. Ponadto 17<0, zatem |17|=(17)=71. Otrzymujemy
    827= 127+7= 12217+(7)2= (17)2= |17|= 71.
  3. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Zauważmy, że 7+52= 1+32+32+22= 13+3122+31(2)2+(2)3= (1+2)3. Ponieważ 3x3=x, otrzymujemy
    37+52=3(1+2)3=1+2.
  4. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (ab)3=a33a2b+3ab2b3. Zauważmy, że 20142= 8122+1222= 233222+32(2)2(2)3= (22)3. Ponieważ 3x3=x, otrzymujemy
    320142=3(22)3=22.

Zadanie 1.5 Oblicz:

  1. 2+22(22),
  2. 25+26+2526,
  3. 17+5+25+232,5+3,52,
  4. 1724+117+24+1,
  5. 13211,
  6. 43933+133,
  7. (1+232)12(94212)14,
  8. (523+1013+413)(513213),
  9. 37+52(21)4+233,
  10. 47354+15312834432+394162.


Odpowiedź:

  1. 2.
  2. 20.
  3. 4.
  4. 163.
  5. 34+32.
  6. 1.
  7. 7.
  8. 3.
  9. 1.
  10. 35.


Wskazówka:

  1. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(ab)=a2b2.
  2. Dla każdego składnika rozszerz ułamek korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
  3. W każdym składniku usuń niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek.
  4. Zapisz 724 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
  5. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (ab)(a2+ab+b2)=a3b3.
  6. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3.
  7. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (ab)2=a22ab+b2.
  8. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a2ab+b2)(ab)=a3b3.
  9. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2 i (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
  10. Skorzystaj ze wzoru kab=kakb.


Rozwiązanie:

  1. Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(ab)=a2b2. Otrzymujemy
    2+22(22)= (2+2)(22)2= (22(2)2)2= 22= 2.
  2. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem jeżeli w mianowniku jest liczba 526, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 5+26, zaś jeżeli w mianowniku jest 5+26, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 526. Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(ab)=a2b2. Mamy zatem
    25+26+2526= 25+26526526+25265+265+26= 104652(26)2+10+4652(26)2= 2052(26)2= 202524= 20.
  3. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem, jeżeli w mianowniku jest liczba 7+5, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 75, zaś jeżeli w mianowniku jest liczba 5+2, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 52. Jeżeli w mianowniku jest liczba 2, to aby usunąć niewymierność z mianownika mnożymy licznik i mianownik przez tę liczbę. Mamy zatem:
    17+5+25+232,5+3,52= 17+57575+25+2525232,5+3,5222= 75(7)2(5)2+2(52)(5)22232,52+3,5222= 752+25435+72= 4.
  4. Zauważmy, że 724=726=1226+(6)2=(16)2 i analogicznie 7+24=(1+6)2. Ponadto 16<0, zatem |16|=(16)=61 oraz 1+6>0, zatem |1+6|=1+6. W otrzymanych wynikach usuwamy niewymierność z mianownika, odpowiednio rozszerzając ułamki. Otrzymujemy
    1724+117+24+1= 1(16)2+11(1+6)2+1= 1|16|+11|1+6|+1= 161+111+6+1= 1616+2= 6662(6+2)(62)= 6662(6)222= 66622= 6662+1= 163.
  5. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru (ab)(a2+ab+b2)=a3b3. Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba 321, to przyjmując a=32,b=1 mnożymy licznik i mianownik przez (32)2+321+12. Otrzymujemy
    13211= 1321(32)2+32+1(32)2+32+11= (32)2+32+1(32)3131= (32)2+32+1211= 322+32+11= 34+32.
  6. Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do sumy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3. Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba 39+33+1=(33)2331+12, to przyjmując a=33,b=1 mnożymy licznik i mianownik przez 33+1. Otrzymujemy
    43933+133= 43933+133+133+133= 4(33+1)(33)3+1333= 4(33+1)433= 33+133= 1.
  7. I sposób: Zauważmy, że 94212= 1+8222= 122122+(22)2= (122)2. Ponadto 122<0, więc |122|=(122)=221, a zatem (1+232)12(94212)14= (1+22)12((221)2)14= (1+22)12(((122)2)12)12= (1+22)12((122)2)12= (1+22)12(|122|)12= (1+22)12(221)12= ((1+22)(221))12= (81)12= 7.
    II sposób: Zauważmy, że (1+232)12= ((1+232)2)14= (1+23+2232)14= (9+42)14. Zatem
    (1+232)12(94212)14= (9+42)14(942)14= ((9+42)(942))14=
    (92(42)2)14= (8132)14= 4914= (72)14= 712= 7.
  8. Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a2+ab+b2)(ab)=a3b3, przyjmując a=513,b=213. Wtedy a2 + ab + b2 = (513)2+513213+(213)2= 523+1013+413, zatem otrzymujemy
    (523+1013+413)(513213)= (513)3(213)3= 5 − 2 = 3.
  9. Zauważmy najpierw, że 7+52= 1+32+6+22= 13+3122+31(2)2+(2)3= (1+2)3, zatem uwzględniając fakt, że 3x3=x, otrzymujemy 37+52=1+2. Ponadto, stosując wzór x2=|x| i biorąc pod uwagę, że 1+3>0, a zatem |1+3|=1+3, mamy 4+23=(1+3)2=|1+3|=1+3. Otrzymujemy
    37+52(21)4+233= (1+2)(21)1+33= (2)2121= 1.
  10. Zauważmy, że 354=3272=32732=332. Analogicznie 3128= 3642= 432,432= 4162= 242,4162= 4812= 342. Ponadto wykorzystamy wzory kab=kakb oraz km2=km2. Otrzymujemy więc
    47354+15312834432+394162= 47332+1543234242+39342= 481323842+32742= 48143238342+327342= 31222122+3122= 35.

Zadanie 1.6 Określ, jakie warunki muszą spełniać zmienne występujące w wyrażeniu, aby miało ono sens, a następnie uprość to wyrażenie:

  1. (1,5x8y10z43x7y9z3+32x6y8z2):(32x5y7z),
  2. (a+b)8(ab)1(a+b)6(ab)3,
  3. a5(bc)2(b+c)5:(34a4(bc)(b+c)4),
  4. 46x(5+26)32x23x,
  5. ((1a)1a1+1+a1+a)2,
  6. (a+b+aabbabab)2,
  7. (x+1)12(x+1)12(x+1)12+2(x+1)12:x2xx2+2x3,
  8. (p14+q14)2+(4p4q)22(pq):1p3q33pq,
  9. 1+axa+x1axa+x:1x.


Odpowiedź:

  1. Zakres zmienności zmiennych: x0 i y0 i z0. Wyrażenie po uproszczeniu: xyz(xyz1)2.
  2. Zakres zmienności zmiennych: ab i ab. Wyrażenie po uproszczeniu: (a2b2)2.
  3. Zakres zmienności zmiennych: a0 i bc i bc. Wyrażenie po uproszczeniu: 43a(b2c2).
  4. Zakres zmienności zmiennych: x0. Wyrażenie po uproszczeniu: x346.
  5. Zakres zmienności zmiennych: a(1,1). Wyrażenie po uproszczeniu: 2+21a2.
  6. Zakres zmienności zmiennych: ab i a>b. Wyrażenie po uproszczeniu: 2a+2a2b2.
  7. Zakres zmienności zmiennych: x(1,0)(0,1)(1,+). Wyrażenie po uproszczeniu: 1.
  8. Zakres zmienności zmiennych: p0 i q0 i pq. Wyrażenie po uproszczeniu: (pq)2.
  9. Zakres zmienności zmiennych: (ax i a>x i x0) lub (ax i a<x i x0). Wyrażenie po uproszczeniu: a+a2x2 dla ax i a>x i x0 oraz aa2x2 dla ax i a<x i x0.


Wskazówka:

  1. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym.
  2. Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia a+b oraz ab.
  3. Zamień operację dzielenia na operację mnożenia przez odwrotność dzielnika, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia a, bc oraz b+c.
  4. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, w szczególności z własności A=4A2 dla A0, ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (AB)2=A22AB+B2,
    2. (AB)(A+B)=A2B2,

    oraz z faktu, że przy odpowiednich założeniach mamy

    nam=amn.

  5. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (AB)(A+B)=A2B2.
  6. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (AB)2=A22AB+B2,
    2. (AB)(A+B)=A2B2.

    Zanim podniesiesz wyrażenie do kwadratu uprość sumę w nawiasie.

  7. Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku postaci 1k, gdzie kC+, z definicji potęgi o wykładniku wymiernym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym. Wyłącz w liczniku i mianowniku dzielnej czynnik (x+1)12.
  8. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z definicji potęgi o wykładniku postaci 1k, gdzie kC+. Uprość dzielną, a dzielenie zamień na mnożenie przez odwrotność dzielnika. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (AB)2=A22AB+B2,
    3. A2B2=(A+B)(AB).
  9. Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
    1. (A+B)2=A2+2AB+B2,
    2. (AB)(A+B)=A2B2.

    Zauważ, że bez szczególnych założeń nie można (!) napisać axa+x=axa+x, bo lewa strona ma sens, gdy axa+x0 i a+x0 zaś prawa tylko, gdy ax0 i a+x>0. Możesz jednak zapisać

    axa+x=|axa+x|=|ax||a+x|=|ax||a+x|.


Rozwiązanie:

  1. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
    32x5y7z0 (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem),
    co jest równoważne układowi warunków
    {x0y0z0.
    Wówczas
    (1,5x8y10z43x7y9z3+32x6y8z2):(32x5y7z)=
    =32x6y8z2(x2y2z22xyz+1):(32x5y7z)=x65y87z21(x2y2z22xyz+1)=
    =xyz((xyz)22xyz+1)=xyz(xyz1)2.
  2. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    {(a+b)6(ab)30 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)ab0 (podstawa potegi calkowitej ujemnej nie moze byc zerem).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {a+b0 i ab0ab0,
    i dalej układowi
    {abab.
    Wówczas
    (a+b)8(ab)1(a+b)6(ab)3=(a+b)8(a+b)6(ab)1(ab)3=(a+b)86(ab)1(3)=
    =(a+b)2(ab)2=((a+b)(ab))2=(a2b2)2.
  3. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
    34a4(bc)(b+c)40 (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem).
    Jest on równoważny układowi warunków
    {a0bcbc.
    Wówczas
    a5(bc)2(b+c)5:(34a4(bc)(b+c)4)=a5(bc)2(b+c)5(43)a4(bc)1(b+c)4=
    =43a5+(4)(bc)2+(1)(b+c)5+(4)=43a(bc)(b+c)=43a(b2c2).
  4. Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
    {6x(5+26)0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)32x23x0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).
    Jest on równoważny układowi
    {x(5+26)0(3223)x0,
    i dalej układowi
    {x0 (gdyz 5+26>0 )x0 (gdyz 32>23 ).
    Zatem x0.
    Wówczas
    46x(5+26)32x23x= 46x(5+26)4(32x23x)2=
    46(5+26)x(3223)2x2=
    46(5+26)((32)223223+(23)2)x3=
    46(5+26)(18126+12)x3= 46(5+26)(30126)x3=
    46(5+26)6(526)x3= 436(5+26)(526)4x3=
    436(52(26)2)x34= x34436(2524)= x3436= x346.
  5. Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
    {1a10 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)a10 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)1+a0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)1+a0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {1a0 (poniewaz 1a1=11a , zas 11a0 tylko wtedy, gdy 1a0 )a1a1a1 (poniewaz 1+a=0 tylko wtedy, gdy 1+a=0 , czyli tylko gdy a=1 ).
    Oznacza to, że
    {a1a1a1a1,
    czyli, że a(1,1).
    Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    ((1a)1a1+1+a1+a)2= ((1a)11a+1+a1+a)2= (1a1a+1+a1+a)2= (1a+1+a)2= 1a+21a1+a+1+a= 2+2(1a)(1+a)= 2+21a2.
  6. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    {a+b0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)ab0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)ab0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)ab0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {ababab (poniewaz ab=0 tylko wtedy, gdy ab=0 , czyli tylko gdy a=b )ab.
    Oznacza to, że ab i a>b.
    Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    (a+b+aabbabab)2= (a+b+aababbabab)2=
    (a+b+(ab)abab)2= (a+b+ab)2= a+b+2aba+b+ab= 2a+2(a+b)(ab)= 2a+2a2b2.
  7. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    {x+10 (podstawa potegi o wykladniku 12 musi byc nieujemna)x+1>0 (podstawa potegi o wykladniku 12 musi byc dodatnia)(x+1)12+2(x+1)120 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)x2xx2+2x30 (dzielnik nie moze byc zerem)x2+2x30 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {x1x>1(x+1)12((x+1)+2)0x2x0 (ulamek algebraiczny jest rowny zero jedynie wtedy,  gdy jego licznik jest rowny zero) (x+3)(x1)0 (gdyz x2+2x3=(x+3)(x1) ),
    i dalej układowi
    {x1x>1(x+1)+20 (gdyz (x+1)120 )x(x1)0x+30 i x10.
    Kontynuując przekształcenia równoważne otrzymujemy
    {x1x>1x+30x0 i x10x3 i x1,
    czyli
    {x1x>1x3x0 i x1x3 i x1.
    Reasumując x(1,0)(0,1)(1,+). Wówczas
    (x+1)12(x+1)12(x+1)12+2(x+1)12:x2xx2+2x3=(x+1)12((x+1)1)(x+1)12((x+1)+2)x2+2x3x2x=
    =xx+3(x1)(x+3)x(x1)=1.
  8. Aby wyrażenie miało sens zmienne muszą spełniać układ warunków
    {p0 (wyrazenie pod pierwiastkiem oraz podstawa potegi q0 o wykladniku 14 musza byc nieujemne)pq0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)p3q30 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)pq0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {p0q0pqp3q3(p0 i q0) lub (p0 i q0),
    i dalej układowi
    {p0q0pqpq (gdyz p3=q3 wtedy i tylko wtedy, gdy p=q )(p0 i q0) lub (p0 i q0).
    Reasumując otrzymaliśmy, że p0 i q0 i pq.
    Korzystając z założeń jakie muszą spełniać zmienne oraz z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
    (p14+q14)2+(4p4q)22(pq):1p3q33pq=
    (4p+4q)2+(4p4q)22(pq)(p3q3)3pq=
    (4p)2+24p4q+(4q)2+(4p)224p4q+(4q)22(pq)(p3q3)3pq=
    2((p)2+(q)2)2(pq)(p3q3)3pq= p+qpq(p3q3)3pq=
    p4pq3+qp3q4pq3pq= p2qpq+pqpq2pq3pq=
    p2q2+pq(pq)pq3pq= (pq)(p+q)+pq(pq)pq3pq=
    (pq)(p+q+pq)pq3pq= p+q+pq3pq= p+q2pq= (pq)2.
    Uwaga: Powyższy rachunek można przeprowadzić stosując notację wykładniczą i prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
  9. Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
    {axa+x0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)a+x0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)1axa+x0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)x0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
    Układ ten jest równoważny układowi
    {(ax)(a+x)0 (gdyz axa+x0 wtedy i tylko wtedy, gdy (ax)(a+x)0 )axaxa+x1x0,
    i dalej układowi
    {(ax)(a+x)0axaxa+x1x0.
    Oznacza to, że
    {((ax)0 i (a+x)0) lub ((ax)0 i (a+x)0)axx0 (gdyz axa+x=1 jedynie, gdy ax=a+x czyli, gdy x=0 )x0,
    czyli, że
    {ax i axaxx0x0 lub  {ax i axaxx0x0.
    Reasumując zmienne muszą spełniać jeden z dwóch układów
    {axa>xx0 lub  {axa<xx0.

    Korzystając z założeń, jakie muszą spełniać zmienne, oraz z własności działań na pierwiastkach uprościmy rozważane wyrażenie na dwa sposoby.
    I sposób:
    1+axa+x1axa+x:1x= (1+axa+x)(1+axa+x)(1axa+x)(1+axa+x):1x= (1+axa+x)21axa+xx=
    x(1+2axa+x+axa+x)a+x(ax)a+x= x(1+2axa+x+axa+x)(a+x)a+xa+x=
    xa+x+2(a+x)axa+x+ax2x= 2a+2(a+x)axa+x2= a+(a+x)axa+x=
    ={a+|a+x|axa+x, gdy a+x>0(wowczas ax0)a|a+x|axa+x, gdy a+x<0(wowczas ax0)
    ={a+(a+x)2axa+x, gdy a+x>0 i ax0a(a+x)2axa+x, gdy a+x<0 i ax0
    ={a+(a+x)2axa+x, gdy a+x>0 i ax0a(a+x)2axa+x, gdy a+x<0 i ax0
    ={a+(a+x)(ax), gdy a+x>0 i ax0a(a+x)(ax), gdy a+x<0 i ax0
    ={a+a2x2, gdy a+x>0 i ax0aa2x2, gdy a+x<0 i ax0.
    II sposób:
    1+axa+x1axa+x:1x= 1+|ax||a+x|1|ax||a+x|x= x|a+x|+|ax||a+x||a+x||ax||a+x|= x|a+x|+|ax||a+x||ax|= x(|a+x|+|ax|)(|a+x|+|ax|)(|a+x||ax|)(|a+x|+|ax|)= x(|a+x|+|ax|)2|a+x||ax|=
    x(|a+x|+2|a+x||ax|+|ax|)|a+x||ax|= x(|a+x|+2|a+x||ax|+|ax|)|a+x||ax|= x(|a+x|+2|(a+x)(ax)|+|ax|)|a+x||ax|= x(|a+x|+2(a+x)(ax)+|ax|)|a+x||ax|= x(|a+x|+2a2x2+|ax|)|a+x||ax|
    = {xa+x+2a2x2+axa+x(ax), gdy a+x>0 i ax0xax+2a2x2a+xax+ax, gdy a+x<0 i ax0
    ={x2a+2a2x22x, gdy a+x>0 i ax0x2a+2a2x22x, gdy a+x<0 i ax0
    ={a+a2x2, gdy a+x>0 i ax0aa2x2, gdy a+x<0 i ax0.