Zadanie 1.4 Oblicz bez użycia kalkulatora:
- √4+2√3,
- √8−2√7,
- 3√7+5√2,
- 3√20−14√2.
- 1+√3.
- √7−1.
- 1+√2.
- 2−√2.
- Zapisz 4+2√3 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
- Zapisz 8−2√7 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
- Zapisz 3√7+5√2 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
- Zapisz 3√20−14√2 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3.
- Zapisz 4+2√3 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz a,b tak, aby a2+2ab+b2=4+2√3. -> Użyj wzoru √x2=|x|. -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
- Zapisz 8−2√7 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. -> Dobierz a,b tak, aby a2−2ab+b2=8−2√7. -> Użyj wzoru √x2=|x|. -> Zbadaj znak wyrażenia pod wartością bezwzględną, aby poprawnie opuścić znak wartości bezwzględnej.
- Zapisz 3√7+5√2 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. ->Dobierz liczby a,b tak, aby (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=7+5√2. -> Skorzystaj z faktu, że 3√x3=x.
- Zapisz 3√20−14√2 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3. ->Dobierz liczby a,b tak, aby (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3=20−14√2. -> Skorzystaj z faktu, że 3√x3=x.
- Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2. Zauważmy, że 4+2√3=1+2√3+3=(1+√3)2. Ponadto 1+√3>0, zatem |1+√3|=1+√3. Otrzymujemy
√4+2√3= √1+2√3+3= √12+2⋅1⋅√3+(√3)2= √(1+√3)2= |1+√3|= 1+√3. - Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2. Zauważmy, że 8−2√7=1−2⋅1⋅√7+(√7)2=(1−√7)2. Ponadto 1−√7<0, zatem |1−√7|=−(1−√7)=√7−1. Otrzymujemy
√8−2√7= √1−2√7+7= √12−2⋅1⋅√7+(√7)2= √(1−√7)2= |1−√7|= √7−1. - Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Zauważmy, że 7+5√2= 1+3√2+3⋅2+2√2= 13+3⋅12⋅√2+3⋅1⋅(√2)2+(√2)3= (1+√2)3. Ponieważ 3√x3=x, otrzymujemy
3√7+5√2=3√(1+√2)3=1+√2. - Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3. Zauważmy, że 20−14√2= 8−12√2+12−2√2= 23−3⋅22⋅√2+3⋅2⋅(√2)2−(√2)3= (2−√2)3. Ponieważ 3√x3=x, otrzymujemy
3√20−14√2=3√(2−√2)3=2−√2.
Zadanie 1.5 Oblicz:
- √2+√2⋅√2⋅(2−√2),
- 25+2√6+25−2√6,
- 1√7+√5+2√5+2−3√2,5+√3,5√2,
- 1√7−√24+1−1√7+√24+1,
- 13√2−1−1,
- 43√9−3√3+1−3√3,
- (1+232)12⋅(9−4⋅212)14,
- (523+1013+413)⋅(513−213),
- 3√7+5√2⋅(√2−1)√4+2√3−√3,
- 4√73√54+153√1283√44√32+3√94√162.
- 2.
- 20.
- −4.
- 1−√63.
- 3√4+3√2.
- 1.
- √7.
- 3.
- 1.
- 35.
- Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a−b)=a2−b2.
- Dla każdego składnika rozszerz ułamek korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
- W każdym składniku usuń niewymierność z mianownika, rozszerzając ułamek.
- Zapisz 7−√24 w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
- Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3.
- Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3.
- Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2.
- Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a2−ab+b2)(a−b)=a3−b3.
- Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2 i (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
- Skorzystaj ze wzoru k√a⋅b=k√a⋅k√b.
- Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a−b)=a2−b2. Otrzymujemy
√2+√2⋅√2⋅(2−√2)= √(2+√2)⋅(2−√2)⋅2= √(22−(√2)2)⋅2= √2⋅2= 2. - Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem jeżeli w mianowniku jest liczba 5−2√6, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 5+2√6, zaś jeżeli w mianowniku jest 5+2√6, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez 5−2√6. Następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a−b)=a2−b2. Mamy zatem
25+2√6+25−2√6= 25+2√6⋅5−2√65−2√6+25−2√6⋅5+2√65+2√6= 10−4√652−(2√6)2+10+4√652−(2√6)2= 2052−(2√6)2= 2025−24= 20. - Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy kwadratów. Zatem, jeżeli w mianowniku jest liczba √7+√5, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez √7−√5, zaś jeżeli w mianowniku jest liczba √5+2, to licznik i mianownik warto pomnożyć przez √5−2. Jeżeli w mianowniku jest liczba √2, to aby usunąć niewymierność z mianownika mnożymy licznik i mianownik przez tę liczbę. Mamy zatem:
1√7+√5+2√5+2−3√2,5+√3,5√2= 1√7+√5⋅√7−√5√7−√5+2√5+2⋅√5−2√5−2−3√2,5+√3,5√2⋅√2√2= √7−√5(√7)2−(√5)2+2⋅(√5−2)(√5)2−22−3√2,5⋅2+√3,5⋅2√2⋅√2= √7−√52+2√5−4−3√5+√72= −4. - Zauważmy, że 7−√24=7−2√6=12−2√6+(√6)2=(1−√6)2 i analogicznie 7+√24=(1+√6)2. Ponadto 1−√6<0, zatem |1−√6|=−(1−√6)=√6−1 oraz 1+√6>0, zatem |1+√6|=1+√6. W otrzymanych wynikach usuwamy niewymierność z mianownika, odpowiednio rozszerzając ułamki. Otrzymujemy
1√7−√24+1−1√7+√24+1= 1√(1−√6)2+1−1√(1+√6)2+1= 1|1−√6|+1−1|1+√6|+1= 1√6−1+1−11+√6+1= 1√6−1√6+2= √66−√6−2(√6+2)⋅(√6−2)= √66−√6−2(√6)2−22= √66−√6−22= √66−√62+1= 1−√63. - Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do różnicy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3. Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba 3√2−1, to przyjmując a=3√2,b=1 mnożymy licznik i mianownik przez (3√2)2+3√2⋅1+12. Otrzymujemy
13√2−1−1= 13√2−1⋅(3√2)2+3√2+1(3√2)2+3√2+1−1= (3√2)2+3√2+1(3√2)3−13−1= (3√2)2+3√2+12−1−1= 3√22+3√2+1−1= 3√4+3√2. - Aby usunąć niewymierność z mianownika rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez dopełnienie mianownika do sumy sześcianów. Skorzystamy przy tym ze wzoru (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3. Zatem jeśli w mianowniku ułamka jest liczba 3√9+3√3+1=(3√3)2−3√3⋅1+12, to przyjmując a=3√3,b=1 mnożymy licznik i mianownik przez 3√3+1. Otrzymujemy
43√9−3√3+1−3√3= 43√9−3√3+1⋅3√3+13√3+1−3√3= 4⋅(3√3+1)(3√3)3+13−3√3= 4⋅(3√3+1)4−3√3= 3√3+1−3√3= 1. - I sposób: Zauważmy, że 9−4⋅212= 1+8−2⋅2√2= 12−2⋅1⋅2√2+(2√2)2= (1−2√2)2. Ponadto 1−2√2<0, więc |1−2√2|=−(1−2√2)=2√2−1, a zatem (1+232)12⋅(9−4⋅212)14= (1+2√2)12⋅((2√2−1)2)14= (1+2√2)12⋅(((1−2√2)2)12)12= (1+2√2)12⋅(√(1−2√2)2)12= (1+2√2)12⋅(|1−2√2|)12= (1+2√2)12(2√2−1)12= ((1+2√2)(2√2−1))12= (8−1)12= √7.
II sposób: Zauważmy, że (1+232)12= ((1+232)2)14= (1+23+2⋅232)14= (9+4√2)14. Zatem
(1+232)12⋅(9−4⋅212)14= (9+4√2)14⋅(9−4√2)14= ((9+4√2)⋅(9−4√2))14=
(92−(4√2)2)14= (81−32)14= 4914= (72)14= 712= √7. - Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia (a2+ab+b2)(a−b)=a3−b3, przyjmując a=513,b=213. Wtedy a2 + ab + b2 = (513)2+513⋅213+(213)2= 523+1013+413, zatem otrzymujemy
(523+1013+413)(513−213)= (513)3−(213)3= 5 − 2 = 3. - Zauważmy najpierw, że 7+5√2= 1+3√2+6+2√2= 13+3⋅12⋅√2+3⋅1⋅(√2)2+(√2)3= (1+√2)3, zatem uwzględniając fakt, że 3√x3=x, otrzymujemy 3√7+5√2=1+√2. Ponadto, stosując wzór √x2=|x| i biorąc pod uwagę, że 1+√3>0, a zatem |1+√3|=1+√3, mamy √4+2√3=√(1+√3)2=|1+√3|=1+√3. Otrzymujemy
3√7+5√2(√2−1)√4+2√3−√3= (1+√2)(√2−1)1+√3−√3= (√2)2−121= 1. - Zauważmy, że 3√54=3√27⋅2=3√27⋅3√2=33√2. Analogicznie 3√128= 3√64⋅2= 43√2,4√32= 4√16⋅2= 24√2,4√162= 4√81⋅2= 34√2. Ponadto wykorzystamy wzory k√a⋅b=k√a⋅k√b oraz k√m√2=k⋅m√2. Otrzymujemy więc
4√73√54+153√1283√44√32+3√94√162= 4√7⋅33√2+15⋅43√23√4⋅24√2+3√9⋅34√2= 4√813√23√84√2+3√274√2= 4√81⋅4√3√23√8⋅3√4√2+3√27⋅3√4√2= 312√2212√2+312√2= 35.
Zadanie 1.6 Określ, jakie warunki muszą spełniać zmienne występujące w wyrażeniu, aby miało ono sens, a następnie uprość to wyrażenie:
- (1,5x8y10z4−3x7y9z3+32x6y8z2):(−32x5y7z),
- (a+b)8(a−b)−1(a+b)6(a−b)−3,
- a5(b−c)2(b+c)5:(−34a4(b−c)(b+c)4),
- 4√6x(5+2√6)⋅√3√2x−2√3x,
- ((1−a)⋅√−1a−1+1+a√1+a)2,
- (√a+b+a√a−b−b√a−ba−b)2,
- (x+1)12−(x+1)−12(x+1)12+2(x+1)−12:x2−xx2+2x−3,
- (p14+q14)2+(4√p−4√q)22(p−q):1√p3−√q3−3√pq,
- 1+√a−xa+x1−√a−xa+x:1x.
- Zakres zmienności zmiennych: x≠0 i y≠0 i z≠0. Wyrażenie po uproszczeniu: −xyz(xyz−1)2.
- Zakres zmienności zmiennych: a≠−b i a≠b. Wyrażenie po uproszczeniu: (a2−b2)2.
- Zakres zmienności zmiennych: a≠0 i b≠c i b≠−c. Wyrażenie po uproszczeniu: −43a(b2−c2).
- Zakres zmienności zmiennych: x≥0. Wyrażenie po uproszczeniu: x34√6.
- Zakres zmienności zmiennych: a∈(−1,1). Wyrażenie po uproszczeniu: 2+2√1−a2.
- Zakres zmienności zmiennych: a≥−b i a>b. Wyrażenie po uproszczeniu: 2a+2√a2−b2.
- Zakres zmienności zmiennych: x∈(−1,0)∪(0,1)∪(1,+∞). Wyrażenie po uproszczeniu: 1.
- Zakres zmienności zmiennych: p≥0 i q≥0 i p≠q. Wyrażenie po uproszczeniu: (√p−√q)2.
- Zakres zmienności zmiennych: (a≥x i a>−x i x≠0) lub (a≤x i a<−x i x≠0). Wyrażenie po uproszczeniu: a+√a2−x2 dla a≥x i a>−x i x≠0 oraz a−√a2−x2 dla a≤x i a<−x i x≠0.
- Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku naturalnym.
- Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia a+b oraz a−b.
- Zamień operację dzielenia na operację mnożenia przez odwrotność dzielnika, a następnie skorzystaj z własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przyjmując za podstawy potęg wyrażenia a, b−c oraz b+c.
- Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, w szczególności z własności √A=4√A2 dla A≥0, ze wzorów skróconego mnożenia
- (A−B)2=A2−2AB+B2,
- (A−B)(A+B)=A2−B2,
oraz z faktu, że przy odpowiednich założeniach mamy
n√am=amn.
- Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
- (A+B)2=A2+2AB+B2,
- (A−B)(A+B)=A2−B2.
- Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych, ze wzorów skróconego mnożenia
- (A−B)2=A2−2AB+B2,
- (A−B)(A+B)=A2−B2.
Zanim podniesiesz wyrażenie do kwadratu uprość sumę w nawiasie.
- Skorzystaj z definicji potęgi o wykładniku postaci 1k, gdzie k∈C+, z definicji potęgi o wykładniku wymiernym oraz z własności działań na potęgach o wykładniku wymiernym. Wyłącz w liczniku i mianowniku dzielnej czynnik (x+1)−12.
- Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z definicji potęgi o wykładniku postaci 1k, gdzie k∈C+. Uprość dzielną, a dzielenie zamień na mnożenie przez odwrotność dzielnika. Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia
- (A+B)2=A2+2AB+B2,
- (A−B)2=A2−2AB+B2,
- A2−B2=(A+B)(A−B).
- Skorzystaj z definicji pierwiastka arytmetycznego, z własności działań na pierwiastkach arytmetycznych oraz ze wzorów skróconego mnożenia
- (A+B)2=A2+2AB+B2,
- (A−B)(A+B)=A2−B2.
Zauważ, że bez szczególnych założeń nie można (!) napisać √a−xa+x=√a−x√a+x, bo lewa strona ma sens, gdy a−xa+x≥0 i a+x≠0 zaś prawa tylko, gdy a−x≥0 i a+x>0. Możesz jednak zapisać
√a−xa+x=√|a−xa+x|=√|a−x||a+x|=√|a−x|√|a+x|.
- Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
−32x5y7z≠0 (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem),
co jest równoważne układowi warunków
{x≠0y≠0z≠0.
Wówczas
(1,5x8y10z4−3x7y9z3+32x6y8z2):(−32x5y7z)=
=32x6y8z2(x2y2z2−2xyz+1):(−32x5y7z)=−x6−5y8−7z2−1(x2y2z2−2xyz+1)=
=−xyz((xyz)2−2xyz+1)=−xyz(xyz−1)2. - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
{(a+b)6(a−b)−3≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)a−b≠0 (podstawa potegi calkowitej ujemnej nie moze byc zerem).
Układ ten jest równoważny układowi
{a+b≠0 i a−b≠0a−b≠0,
i dalej układowi
{a≠−ba≠b.
Wówczas
(a+b)8(a−b)−1(a+b)6(a−b)−3=(a+b)8(a+b)6⋅(a−b)−1(a−b)−3=(a+b)8−6(a−b)−1−(−3)=
=(a+b)2(a−b)2=((a+b)(a−b))2=(a2−b2)2. - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać warunek
−34a4(b−c)(b+c)4≠0 (poniewaz dzielnik nie moze byc zerem).
Jest on równoważny układowi warunków
{a≠0b≠cb≠−c.
Wówczas
a5(b−c)2(b+c)5:(−34a4(b−c)(b+c)4)=a5(b−c)2(b+c)5⋅(−43)a−4(b−c)−1(b+c)−4=
=−43a5+(−4)(b−c)2+(−1)(b+c)5+(−4)=−43a(b−c)(b+c)=−43a(b2−c2). - Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
{6x(5+2√6)≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)3√2x−2√3x≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).
Jest on równoważny układowi
{x(5+2√6)≥0(3√2−2√3)x≥0,
i dalej układowi
{x≥0 (gdyz 5+2√6>0 )x≥0 (gdyz 3√2>2√3 ).
Zatem x≥0.
Wówczas
4√6x(5+2√6)⋅√3√2x−2√3x= 4√6x(5+2√6)⋅4√(3√2x−2√3x)2=
4√6⋅(5+2√6)x(3√2−2√3)2x2=
4√6⋅(5+2√6)⋅((3√2)2−2⋅3√2⋅2√3+(2√3)2)x3=
4√6⋅(5+2√6)⋅(18−12√6+12)x3= 4√6⋅(5+2√6)⋅(30−12√6)x3=
4√6⋅(5+2√6)6(5−2√6)x3= 4√36⋅(5+2√6)(5−2√6)⋅4√x3=
4√36⋅(52−(2√6)2)⋅x34= x344√36⋅(25−24)= x34√√36= x34√6. - Aby wyrażenie miało sens, zmienna musi spełniać układ warunków
{−1a−1≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)a−1≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)1+a≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)√1+a≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
Układ ten jest równoważny układowi
{1−a≥0 (poniewaz −1a−1=11−a , zas 11−a≥0 tylko wtedy, gdy 1−a≥0 )a≠1a≥−1a≠−1 (poniewaz √1+a=0 tylko wtedy, gdy 1+a=0 , czyli tylko gdy a=−1 ).
Oznacza to, że
{a≤1a≠1a≥−1a≠−1,
czyli, że a∈(−1,1).
Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
((1−a)⋅√−1a−1+1+a√1+a)2= ((1−a)⋅√11−a+1+a√1+a)2= (1−a√1−a+1+a√1+a)2= (√1−a+√1+a)2= 1−a+2√1−a⋅√1+a+1+a= 2+2√(1−a)(1+a)= 2+2√1−a2. - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
{a+b≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)a−b≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)√a−b≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)a−b≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
Układ ten jest równoważny układowi
{a≥−ba≥ba≠b (poniewaz √a−b=0 tylko wtedy, gdy a−b=0 , czyli tylko gdy a=b )a≠b.
Oznacza to, że a≥−b i a>b.
Wówczas korzystając z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
(√a+b+a√a−b−b√a−ba−b)2= (√a+b+a√a−ba−b−b√a−ba−b)2=
(√a+b+(a−b)√a−ba−b)2= (√a+b+√a−b)2= a+b+2√a−b⋅√a+b+a−b= 2a+2√(a+b)(a−b)= 2a+2√a2−b2. - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
{x+1≥0 (podstawa potegi o wykladniku 12 musi byc nieujemna)x+1>0 (podstawa potegi o wykladniku −12 musi byc dodatnia)(x+1)12+2(x+1)−12≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)x2−xx2+2x−3≠0 (dzielnik nie moze byc zerem)x2+2x−3≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
Układ ten jest równoważny układowi
{x≥−1x>−1(x+1)−12((x+1)+2)≠0x2−x≠0 (ulamek algebraiczny jest rowny zero jedynie wtedy, gdy jego licznik jest rowny zero) (x+3)(x−1)≠0 (gdyz x2+2x−3=(x+3)(x−1) ),
i dalej układowi
{x≥−1x>−1(x+1)+2≠0 (gdyz (x+1)−12≠0 )x(x−1)≠0x+3≠0 i x−1≠0.
Kontynuując przekształcenia równoważne otrzymujemy
{x≥−1x>−1x+3≠0x≠0 i x−1≠0x≠−3 i x≠1,
czyli
{x≥−1x>−1x≠−3x≠0 i x≠1x≠−3 i x≠1.
Reasumując x∈(−1,0)∪(0,1)∪(1,+∞). Wówczas
(x+1)12−(x+1)−12(x+1)12+2(x+1)−12:x2−xx2+2x−3=(x+1)−12((x+1)−1)(x+1)−12((x+1)+2)⋅x2+2x−3x2−x=
=xx+3⋅(x−1)(x+3)x(x−1)=1. - Aby wyrażenie miało sens zmienne muszą spełniać układ warunków
{p≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem oraz podstawa potegi q≥0 o wykladniku 14 musza byc nieujemne)p−q≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)√p3−√q3≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)pq≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna).
Układ ten jest równoważny układowi
{p≥0q≥0p≠q√p3≠√q3(p≥0 i q≥0) lub (p≤0 i q≤0),
i dalej układowi
{p≥0q≥0p≠qp≠q (gdyz √p3=√q3 wtedy i tylko wtedy, gdy p=q )(p≥0 i q≥0) lub (p≤0 i q≤0).
Reasumując otrzymaliśmy, że p≥0 i q≥0 i p≠q.
Korzystając z założeń jakie muszą spełniać zmienne oraz z własności działań na pierwiastkach otrzymujemy
(p14+q14)2+(4√p−4√q)22(p−q):1√p3−√q3−3√pq=
(4√p+4√q)2+(4√p−4√q)22(p−q)⋅(√p3−√q3)−3√pq=
(4√p)2+24√p⋅4√q+(4√q)2+(4√p)2−24√p⋅4√q+(4√q)22(p−q)⋅(√p3−√q3)−3√pq=
2((√√p)2+(√√q)2)2(p−q)⋅(√p3−√q3)−3√pq= √p+√qp−q⋅(√p3−√q3)−3√pq=
√p4−√pq3+√qp3−√q4p−q−3√pq= p2−q√pq+p√qp−q2p−q−3√pq=
p2−q2+√pq(p−q)p−q−3√pq= (p−q)(p+q)+√pq(p−q)p−q−3√pq=
(p−q)(p+q+√pq)p−q−3√pq= p+q+√pq−3√pq= p+q−2√pq= (√p−√q)2.
Uwaga: Powyższy rachunek można przeprowadzić stosując notację wykładniczą i prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym. - Aby wyrażenie miało sens, zmienne muszą spełniać układ warunków
{a−xa+x≥0 (wyrazenie pod pierwiastkiem musi byc liczba nieujemna)a+x≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)1−√a−xa+x≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem)x≠0 (mianownik ulamka nie moze byc zerem).
Układ ten jest równoważny układowi
{(a−x)(a+x)≥0 (gdyz a−xa+x≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (a−x)(a+x)≥0 )a≠−x√a−xa+x≠1x≠0,
i dalej układowi
{(a−x)(a+x)≥0a≠−xa−xa+x≠1x≠0.
Oznacza to, że
{((a−x)≥0 i (a+x)≥0) lub ((a−x)≤0 i (a+x)≤0)a≠−xx≠0 (gdyz a−xa+x=1 jedynie, gdy a−x=a+x czyli, gdy x=0 )x≠0,
czyli, że
{a≥x i a≥−xa≠−xx≠0x≠0 lub {a≤x i a≤−xa≠−xx≠0x≠0.
Reasumując zmienne muszą spełniać jeden z dwóch układów
{a≥xa>−xx≠0 lub {a≤xa<−xx≠0.Korzystając z założeń, jakie muszą spełniać zmienne, oraz z własności działań na pierwiastkach uprościmy rozważane wyrażenie na dwa sposoby.
I sposób:
1+√a−xa+x1−√a−xa+x:1x= (1+√a−xa+x)(1+√a−xa+x)(1−√a−xa+x)(1+√a−xa+x):1x= (1+√a−xa+x)21−a−xa+x⋅x=
x⋅(1+2√a−xa+x+a−xa+x)a+x−(a−x)a+x= x⋅(1+2√a−xa+x+a−xa+x)(a+x)a+x−a+x=
x⋅a+x+2(a+x)√a−xa+x+a−x2x= 2a+2(a+x)√a−xa+x2= a+(a+x)√a−xa+x=
={a+|a+x|√a−xa+x, gdy a+x>0(wowczas a−x≥0)a−|a+x|√a−xa+x, gdy a+x<0(wowczas a−x≤0)
={a+√(a+x)2⋅√a−xa+x, gdy a+x>0 i a−x≥0a−√(a+x)2⋅√a−xa+x, gdy a+x<0 i a−x≤0
={a+√(a+x)2⋅a−xa+x, gdy a+x>0 i a−x≥0a−√(a+x)2⋅a−xa+x, gdy a+x<0 i a−x≤0
={a+√(a+x)(a−x), gdy a+x>0 i a−x≥0a−√(a+x)(a−x), gdy a+x<0 i a−x≤0
={a+√a2−x2, gdy a+x>0 i a−x≥0a−√a2−x2, gdy a+x<0 i a−x≤0.
II sposób:
1+√a−xa+x1−√a−xa+x:1x= 1+√|a−x|√|a+x|1−√|a−x|√|a+x|⋅x= x⋅√|a+x|+√|a−x|√|a+x|√|a+x|−√|a−x|√|a+x|= x⋅√|a+x|+√|a−x|√|a+x|−√|a−x|= x⋅(√|a+x|+√|a−x|)(√|a+x|+√|a−x|)(√|a+x|−√|a−x|)(√|a+x|+√|a−x|)= x⋅(√|a+x|+√|a−x|)2|a+x|−|a−x|=
x⋅(|a+x|+2√|a+x|⋅√|a−x|+|a−x|)|a+x|−|a−x|= x⋅(|a+x|+2√|a+x|⋅|a−x|+|a−x|)|a+x|−|a−x|= x⋅(|a+x|+2√|(a+x)(a−x)|+|a−x|)|a+x|−|a−x|= x⋅(|a+x|+2√(a+x)(a−x)+|a−x|)|a+x|−|a−x|= x⋅(|a+x|+2√a2−x2+|a−x|)|a+x|−|a−x|
= {x⋅a+x+2√a2−x2+a−xa+x−(a−x), gdy a+x>0 i a−x≥0x⋅−a−x+2√a2−x2−a+x−a−x+a−x, gdy a+x<0 i a−x≤0
={x⋅2a+2√a2−x22x, gdy a+x>0 i a−x≥0x⋅−2a+2√a2−x2−2x, gdy a+x<0 i a−x≤0
={a+√a2−x2, gdy a+x>0 i a−x≥0a−√a2−x2, gdy a+x<0 i a−x≤0.