Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta (ćwiczenia)

Ćwiczenie 5.1. Wskaż iloraz i resztę z dzielenia wielomianu \(W(x)\;\) przez dwumian \(P(x)\;\):

1. \(W(x)=(x+7)(x^2+7)+5\;\), \(P(x)=x+7\;\),
2. \(W(x)=(3x-2)(x^2+5x-2)-4\;\), \(P(x)=x-\frac23\;\),
3. \(W(x)=(x^2+7)(2-x)\;\), \(P(x)=x-2\;\).

Część 2.

Ćwiczenie 5.2. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W(x)\;\) przez dwumian \(Q(x).\;\)

1. \(W(x)=x^4+6x^2-x-2, Q(x)=x+1,\;\)
2. \(W(x)=2x^4+5x^3-7x^2+18x-8, Q(x)=x+4.\;\)

Ćwiczenie 5.3. Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\;\) przez dwumian \(x+1\;\) jest równa 5, oblicz \(W(-1).\;\)

Ćwiczenie 5.4. Wiedząc, że wielomian \(W(x)\;\) jest podzielny przez dwumiany \(x-2\;\) i \(x-3,\;\) oblicz \(2W(3)+3W(2).\;\)

Ćwiczenie 5.5. Sprawdź, czy wielomian \(W(x)\;\) jest podzielny przez dwumian \(Q(x).\;\)

1. \(W(x)=x^4+5x^3-2x^2-7x+3,\ Q(x)= x-1,\;\)
2. \(W(x)=x^6-x^4+x^2-1,\ Q(x)=x+1,\;\)
3. \(W(x)=2x^3-3x^2+4x-5,\ Q(x)=x+3,\;\)
4. \(W(x)=x^3-10,\ Q(x)=x-10.\;\)

Część 3.

Ćwiczenie 5.6. Stosując METODĘ I wykonaj dzielenie wielomianu \(W(x)\;\) przez dwumian \(P(x)\;\). Wskaż iloraz i resztę z tego dzielenia.

1. \(W(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2,\ \ P(x)=x-2\;\),
2. \(W(x)=x^{5}-4x^{2}+6x-2,\ \ P(x)=x+2\;\),
3. \(W(x)=16x^{4}+8x^{3}-7x^{2}+2x+1,\ \ P(x)=x+\frac{1}{2}\;\).

Część 4.

Ćwiczenie 5.7. Stosując schemat Hornera wykonaj dzielenie wielomianu \(W(x)\;\) przez wielomian \(P(x)\;\). Wskaż iloraz i resztę z tego dzielenia.

1. \(W(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2,\ \ P(x)=x-2\;\),
2. \(W(x)=x^{5}-4x^{2}+6x-2,\ \ P(x)=x+2\;\),
3. \(W(x)=16x^{4}+8x^{3}-7x^{2}+2x+1,\ \ P(x)=x+\frac{1}{2}\;\).

Część 5.

Ćwiczenie 5.8. Korzystając ze schematu Hornera sprawdź, czy liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x).\;\)

1. \(W(x)=x^3-2x^2+x-2, x_0=2,\;\)
2. \(W(x)=x^3-x^2+1, x_0=\frac{1}{2},\;\)
3. \(W(x)=x^4-1, x_0=-1.\;\)

Ćwiczenie 5.9. Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych (Twierdzenie 4.2.), następnie ze schematu Hornera, znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu \(W(x)=x^3+2x^2-3x-10\;\).

Część 6.

Ćwiczenie 5.10. Wykonaj dzielenie wielomianu \(W(x)\;\) przez wielomian \(P(x)\;\) metodą "pisemną". Wskaż iloraz i resztę z tego dzielenia.

1. \(W(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2,\ \ P(x)=x-2\;\),
2. \(W(x)=x^{5}-4x^{2}+6x-2,\ \ P(x)=x+2\;\),
3. \(W(x)=16x^{4}+8x^{3}-7x^{2}+2x+1,\ \ P(x)=x+\frac{1}{2}\;\).

Część 7.

Ćwiczenie 5.11. Wykonaj, trzema sposobami, dzielenie wielomianu \(W(x)\;\) przez dwumian \(P(x)\;\). Wskaż iloraz i resztę z tego dzielenia.

1. \(W(x)=x^{4}+8x^{3}+12x^{2}-12x-9,\ \ P(x)=x+3\;\),
2. \(W(x)=3x^{4}-8x^{3}+4x-5,\ \ P(x)=x+\frac{1}{3}\;\).