Ćwiczenie 4.1. Sprawdzić czy liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(F(x)\;\).
- \(F(x)=x+3,\qquad x_0=3, \quad x_0=-3\;\);
- \(F(x)=5x+3,\qquad x_0=\frac{3}{5}, \quad x_0=\frac{5}{3}\;\);
- \(F(x)=x^2-1,\qquad x_0=1, \quad x_0=-1, \quad x_0=0\;\);
- \(F(x)=x^2-2x+1,\qquad x_0=-1,\quad x_0=0\;\);
- \(F(x)=(3x+2)(x-\frac{2}{3}),\qquad x_0=\frac{3}{2},\quad x_0=-\frac{2}{3}\;\);
- \(F(x)=x^4-2x^2+x,\qquad x_0=0,\quad x_0=-1\;\);
- \(F(x)=2(-5+x)-x^2,\qquad x_0=5\;\)
- \(F(x)=x^6-x^5+x-2,\qquad x_0=1\;\);
- \(F(x)=\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5},\qquad x_0=2,\quad x_0=\frac{2}{\sqrt{5}}\;\);
- \(F(x)=(x-\sqrt{7})^2(x+1),\qquad x_0=\sqrt{7}\;\);
- \(F(x)=(x+1)(x-2)(x-2+\sqrt{5}),\qquad x_0=1\quad, x_0=-2,\quad x_0=-\sqrt{5}+2\;\);
- \(F(x)=x^3-2x^2-8x-4,\qquad x_0=2+\sqrt{5}\;\);
- \(F(x)=x^3-2x^2-9x-2,\qquad x_0=2-\sqrt{5}\;\);
- (*) \(F(x)=x^4-x^3-3x^2+3x-6,\qquad x_0=1+\sqrt[3]{2}\;\).
Ćwiczenie 4.2. Odgadnij przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu \(W(x)\;\).
- \(W(x)=x^2-9\;\);
- \(W(x)=x^3+1\;\);
- \(W(x)=x^{2007}+1\;\)
- \(W(x)=x^2-2x+1\;\);
- \(W(x)=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1\;\);
- \(W(x)=x^3+x^2+x+1\;\);
- \(W(x)=2x^4-3x^3-2x^2+3\;\);
- \(W(x)=x^6+x^5+x^3+2x-5\;\);
- \(W(x)=x^3+x^2+x\;\);
- \(W(x)=2008x^{2008}+2007x^{2007}+\dots + 2x^2+x\;\).
Ćwiczenie 4.3. Wykaż, że liczba \(5\;\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=(x-5)(x^2+1)(x^4+1)\;\).
Część 2. Ćwiczenie 4.4. Wskaż wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)\;\):
- \(W(x)=(x-3)(x+5)\;\),
- \(W(x)=(2x-1)(3x-1)(4x-1)\;\),
- \(W(x)=-3(3x+9)(2-8x)(4x^2-\frac14)\;\),
- \(W(x)=-(2-x)(x^2+5)(-\frac23+x)\;\).
Ćwiczenie 4.5. Wypisz wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu \(F(x)\;\).
- \(F(x)=\frac{1}{16}x^{4}-x^{2}+4\;\),
- \(F(x)=x^{3}+9x^{2}+27x+27\;\),
- \(F(x)=x^{3}-8\;\).
Ćwiczenie 4.6. Wiadomo, że \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(P(x)\;\) oraz \(x_0\;\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q(x)\;\). Czy liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu:
- \(P(x)\cdot Q(x)\;\),
- \(2P(x)-Q(x)\;\),
- \(P(x)+2Q(x)(x-x_0)\;\),
- \(3P(x)(x-x_0)-Q(x)^2\;\).
Ćwiczenie 4.7. Napisz dwumian stopnia pierwszego, którego pierwiastkiem jest liczba \(a\;\).
- \(a=5\;\),
- \(a=-\frac{3}{4}\;\),
- \(a=\frac12+\frac{\sqrt5}2\;\).
Część 3. Ćwiczenie 4.8. Czy wielomian \(W(x)\;\) spełnia warunki: \(W(x)\;\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i liczba \(-\frac{6}{5}\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\;\)?
- \(W(x)=(x+\frac{6}{5})(x-1)(x-2),\;\)
- \(W(x)=5(x+\frac{6}{5})(x-1)(x-2),\;\)
- \(W(x)=5x^3-9x^2-8x+12,\;\)
- \(W(x)=5x^2-6.\;\)
Ćwiczenie 4.9. Czy wielomian \(W(x)\;\) spełnia warunki: \(W(x)\;\) jest wielomianem o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\sqrt{3}\;\)?
- \(W(x)=x^3-x^2-3x+3,\;\)
- \(W(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-x+1,\;\)
- \(W(x)=(x-\sqrt{3})(x-1)(x-2)\;\),
- \(W(x)=x^3-3.\;\)
Część 4. Ćwiczenie 4.10. Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych (Twierdzenie 4.1) wypisz wszystkie liczby wymierne, wśród których należy szukać wymiernych pierwiastków wielomianu \(W(x)\;\).
- \(W(x)=x^4+3x^2-2x+24\;\),
- \(W(x)=5x^5+7x^4-12x+15\;\),
- \(W(x)=2x^3-5x^2+7x-7\;\).
Ćwiczenie 4.11. Wskaż wszystkie liczby będące wymiernymi pierwiastkami wielomianu \(W(x)\;\).
- \(W(x)=x^3+2x^2-3x-10\;\),
- \(W(x)=x^5+3x^4-5x^2+2\;\),
- \(W(x)=3x^4-4x^3-7x^2+8x+2\;\).
Ćwiczenie 4.12. Rozstrzygnij, czy dla pewnych liczb całkowitych \(a\;\) i \(b\;\) liczba \(x_{0}\;\) może być pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\;\).
- \(W(x)=x^3+ax^2+bx+1,\ \ x_{0}=\frac{1}{2}\;\),
- \(W(x)=3x^4+b^2x^3-(a-1)x+2,\ \ x_{0}=-3\;\).
Część 5. Ćwiczenie 4.13. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu \(W(x)\;\).
- \(W(x)=x^3+\frac{5}{2}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{5}{6}\;\),
- \(W(x)=\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{5}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{5}x+1\;\).