Processing math: 100%
Skip to Content

Pierwiastek wielomianu (ćwiczenia)

pt., 09/10/2010 - 12:29 — ciebie

Ćwiczenie 4.1. Sprawdzić czy liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu F(x).

  1. F(x)=x+3,x0=3,x0=−3;
  2. F(x)=5x+3,x0=35,x0=53;
  3. F(x)=x2−1,x0=1,x0=−1,x0=0;
  4. F(x)=x2−2x+1,x0=−1,x0=0;
  5. F(x)=(3x+2)(x−23),x0=32,x0=−23;
  6. F(x)=x4−2x2+x,x0=0,x0=−1;
  7. F(x)=2(−5+x)−x2,x0=5
  8. F(x)=x6−x5+x−2,x0=1;
  9. F(x)=15x2−45,x0=2,x0=2√5;
  10. F(x)=(x−√7)2(x+1),x0=√7;
  11. F(x)=(x+1)(x−2)(x−2+√5),x0=1,x0=−2,x0=−√5+2;
  12. F(x)=x3−2x2−8x−4,x0=2+√5;
  13. F(x)=x3−2x2−9x−2,x0=2−√5;
  14. (*) F(x)=x4−x3−3x2+3x−6,x0=1+3√2.

Ćwiczenie 4.2. Odgadnij przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu W(x).

  1. W(x)=x2−9;
  2. W(x)=x3+1;
  3. W(x)=x2007+1
  4. W(x)=x2−2x+1;
  5. W(x)=x5−x4+x3−x2+x−1;
  6. W(x)=x3+x2+x+1;
  7. W(x)=2x4−3x3−2x2+3;
  8. W(x)=x6+x5+x3+2x−5;
  9. W(x)=x3+x2+x;
  10. W(x)=2008x2008+2007x2007+⋯+2x2+x.

Ćwiczenie 4.3. Wykaż, że liczba 5 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu W(x)=(x−5)(x2+1)(x4+1).

Część 2. Ćwiczenie 4.4. Wskaż wszystkie pierwiastki wielomianu W(x):

  1. W(x)=(x−3)(x+5),
  2. W(x)=(2x−1)(3x−1)(4x−1),
  3. W(x)=−3(3x+9)(2−8x)(4x2−14),
  4. W(x)=−(2−x)(x2+5)(−23+x).

Ćwiczenie 4.5. Wypisz wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu F(x).

  1. F(x)=116x4−x2+4,
  2. F(x)=x3+9x2+27x+27,
  3. F(x)=x3−8.

Ćwiczenie 4.6. Wiadomo, że x0 jest pierwiastkiem wielomianu P(x) oraz x0 nie jest pierwiastkiem wielomianu Q(x). Czy liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu:

  1. P(x)⋅Q(x),
  2. 2P(x)−Q(x),
  3. P(x)+2Q(x)(x−x0),
  4. 3P(x)(x−x0)−Q(x)2.

Ćwiczenie 4.7. Napisz dwumian stopnia pierwszego, którego pierwiastkiem jest liczba a.

  1. a=5,
  2. a=−34,
  3. a=12+√52.

Część 3. Ćwiczenie 4.8. Czy wielomian W(x) spełnia warunki: W(x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i liczba −65 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)?

  1. W(x)=(x+65)(x−1)(x−2),
  2. W(x)=5(x+65)(x−1)(x−2),
  3. W(x)=5x3−9x2−8x+12,
  4. W(x)=5x2−6.

Ćwiczenie 4.9. Czy wielomian W(x) spełnia warunki: W(x) jest wielomianem o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest liczba √3?

  1. W(x)=x3−x2−3x+3,
  2. W(x)=13x3−13x2−x+1,
  3. W(x)=(x−√3)(x−1)(x−2),
  4. W(x)=x3−3.

Część 4. Ćwiczenie 4.10. Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych (Twierdzenie 4.1) wypisz wszystkie liczby wymierne, wśród których należy szukać wymiernych pierwiastków wielomianu W(x).

  1. W(x)=x4+3x2−2x+24,
  2. W(x)=5x5+7x4−12x+15,
  3. W(x)=2x3−5x2+7x−7.

Ćwiczenie 4.11. Wskaż wszystkie liczby będące wymiernymi pierwiastkami wielomianu W(x).

  1. W(x)=x3+2x2−3x−10,
  2. W(x)=x5+3x4−5x2+2,
  3. W(x)=3x4−4x3−7x2+8x+2.

Ćwiczenie 4.12. Rozstrzygnij, czy dla pewnych liczb całkowitych a i b liczba x0 może być pierwiastkiem wielomianu W(x).

  1. W(x)=x3+ax2+bx+1,  x0=12,
  2. W(x)=3x4+b2x3−(a−1)x+2,  x0=−3.

Część 5. Ćwiczenie 4.13. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu W(x).

  1. W(x)=x3+52x2+83x+56,
  2. W(x)=12x4−15x3+32x2−25x+1.



Theme by Dr. Radut.