Równość wielomianów (ćwiczenia)

Ćwiczenie 3.1. Dla jakich liczb rzeczywistych \(a\;\) wielomiany \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) są równe?

1. \(P(x)=2x^3+3x^2-x+10\quad\;\) i \(\quad Q(x)=(x^2-x+2)(2x+a)\;\),
2. \(P(x)=2x^3+x^2-x+6\quad\;\) i \(\quad Q(x)=(x^2-x+2)(ax+3)\;\).

Ćwiczenie 3.2. Wyznacz wszystkie możliwe liczby \(a\;\) i \(b\;\), dla których wielomiany
\( P(x)=x^3+4x-5\quad\textrm{i}\quad Q(x)=(x^2+ax+b)(x-1)\;\)
są równe.

Część 2.

Ćwiczenie 3.3. Spośród podanych wielomianów wybierz wszystkie, które są równe wielomianowi
\( W(x)=x^6-x^4-4x^2+4. \;\)

1. \(W_1(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x-2)(x+2),\;\)
2. \(W_2(x)=(x-1)^2(x^2+1)(x^2-4),\;\)
3. \(W_3(x)=(x^2-1)^2(x-2)^2,\;\)
4. \(W_4(x)=(1-x^2)(4-x^4).\;\)

(Nowa Era - Babiański, Chańko)

Ćwiczenie 3.4. Dla jakich \(a\;\) wielomiany \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) są równe?

1. \(P(x)=2x^3-x^2-9x+15\quad\;\) i \(\quad Q(x)=(x^2-3x+3)(2x+a)\;\),
2. \(P(x)=5x^3-5x^2+15\quad\;\) i \(\quad Q(x)=(x^2-3x+3)(ax+5)\;\),
3. \(P(x)=x^2+(a^2+9)(x+1)\quad\;\) i \(\quad Q(x)=x^2+10x-6a+4\;\).

Ćwiczenie 3.5. Wyznacz wszystkie możliwe liczby rzeczywiste \(a\;\) i \(b\;\), dla których każda liczba rzeczywista \(x\;\) jest rozwiązaniem równania
\( (x^2+ax+b)(x+1)=x^3-x^2-x+1. \;\)

Część 3.

Ćwiczenie 3.6. Dla jakich \(a\;\) podany wielomian jest wielomianem stopnia \(0\;\), a dla jakich jest wielomianem zerowym?

1. \(W(x)=2(a^2-4)x+(a+2)\;\),
2. \(W(x)=(3a-6)x^2\;\),
3. \(W(x)=(a^2-9)x^2+(a-9)\;\).

Część 4.

Ćwiczenie 3.7. Sprawdź, czy zachodzą podane poniżej równości wielomianów:

1. \((x-1)x(x+1)(x+2)+1=(x^2+x-1)^2,\;\)
2. \(4x(x-1)(2x-1)(2x+1)+1=(4x^2-2x-1)^2.\;\)