Dzielenie wielomianów, twierdzenie Bézouta

Definicja 5.1. Wielomian $W(x)\;$ nazywamy podzielnym przez niezerowy wielomian $U(x)\quad\;$, jeżeli istnieje wielomian $V(x)\;$ taki, że wielomian $W(x)\;$ jest iloczynem wielomianów $U(x)\quad\;$ i $V(x)\;$, tzn. prawdziwa jest równość wielomianów $W(x)=U(x)\cdot V(x)\;$.

Przykłady:

Wielomian $W(x)=x^8-1\;$ jest podzielny przez wielomian $U(x)=x^2+1\;$, gdyż ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy $x^8-1 =(x^4-1)(x^4+1) = (x^2+1)(x^2-1)(x^4+1).\;$ Zatem $V(x)=(x^2-1)(x^4+1)\;$. Dla dowolnej liczby całkowitej $k\;$ większej od 1 wielomian $W(x)=x^ k-a^ k\;$ jest podzielny przez dwumian $x-a\;$ gdyż $x^ k-a^ k = (x-a)(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^2+\ldots +x^2a^{k-3}+xa^{k-2}+a^{k-1}).\;$ Jest to konsekwencją prostego rachunku $\begin{array}{l} (x-a)(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^2+\ldots + xa^{k-2}+a^{k-1}) = \\ = x^ k+x^{k-1}a+x^{k-2}a^2+\ldots +x^2a^{k-2}+xa^{k-1}-ax^{k-1}-a^2x^{k-2}-\ldots -a^{k-1}x-a^ k= \\ = x^ k-a^ k. \end{array}\;$

Uwaga 5.1. Z przykładu 2. wynika następujący wniosek.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a\;$ i $b\;$ oraz liczby całkowitej $k\;$ większej od $1\;$ prawdziwa jest równość
$a^ k-b^ k = (a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+a^{k-3}b^2+\ldots +ab^{k-2}+b^{k-1}).\;$
Jest to uogólnienie znanych wzorów na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów
$\begin{array}{rl} a^2-b^2 & =(a-b)(a+b),\\ a^3-b^3 & =(a-b)(a^2+ab+b^2). \end{array}\;$

Zadanie 5.1. Sprawdzić, czy wielomian $W(x)\;$ jest podzielny przez $U(x)\quad\;$, jeśli

1. $W(x) = 2x^3-x^2-5x-2\;$,$U(x)=x-2\qquad\;$,
2. $W(x) = x^6-1\;$,$U(x)=x^2-1\quad\;$,
3. $W(x) = 2x^4-3x^3+4x^2-5x+6\;$,$U(x)=x^2-3x+1\quad\;$,
4. $W(x) = x^6-x-1\;$,$U(x)=x^3-1\qquad\;$.

Uwaga 5.2. W Zadaniu 5.1. podpunkt 4. wykorzystana została własność, którą warto zapamiętać.

Jeśli wielomian $W(x)\;$ jest podzielny przez $U(x)\quad\;$ i dla pewnej liczby rzeczywistej $a\;$ $U(a)=0\;$, to także $W(a)=0\;$. Istotnie, skoro istnieje wielomian $V(x)\;$ taki, że $W(x)=U(x)\cdot V(x)\;$, to$W(a)=U(a)\cdot V(a)=0\cdot V(a)=0\;$.

W trakcie opisywania własności wielomianów warto zwrócić uwagę na podobieństwa między wielomianami i liczbami całkowitymi. Mówi się o dodawaniu, odejmowaniu i mnożeniu zarówno liczb całkowitych, jak i wielomianów. Definicje podzielności liczb całkowitych, jak i podzielności wielomianów, wyglądają identycznie. Można także przenieść na wielomiany kolejne pojęcie — dzielenie z resztą.

Przypomnijmy

Twierdzenie 5.1.:

Dla dowolnej liczby całkowitej $n\;$ i dowolnej liczby całkowitej dodatniej $m\;$ istnieje tylko jedna para liczb całkowitych $q\;$, $r\;$ taka, że $n=q\cdot m +r\;$, $0\leq r<m\;$. Liczbę $q\;$ nazywamy ilorazem, a liczbę $r\;$ resztą.

Przykłady:

$25\;$ przy dzieleniu przez $6\;$ daje iloraz $4\;$ i resztę $1\;$, gdyż $25=4\cdot 6+1\;$. $-25\;$ przy dzieleniu przez $6\;$ daje iloraz $-5\;$ i resztę $5\;$, gdyż $-25=(-5)\cdot 6+5\;$. Zauważmy, że liczbę $-25\;$ można rozpisać na różne sposoby: $\begin{array}{rl} -25 & = (-5)\cdot 6+5,\\ -25 & = (-4)\cdot 6+(-1),\\ -25 & = (-6)\cdot 6+11,\\ \mathrm{itd.},& \end{array}\;$ ale wśród tych zapisów jest tylko jeden, w którym "reszta" jest mniejsza niż $6\;$ i nieujemna.

Sformułujemy odpowiednik tego twierdzenia dla wielomianów w zakresie omawianym w szkole i podamy jego dowód. Następnie podamy, już bez dowodu, ogólną wersję wielomianowego odpowiednika twierdzenia o dzieleniu z resztą.

Twierdzenie 5.2.:

Dla dowolnego wielomianu $W(x)\;$ i dowolnej liczby rzeczywistej $c\;$ istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomian $Q(x)\qquad\;$ i liczba rzeczywista $r\;$ takie, że $W(x) = (x-c)Q(x)+r.\;$ Wielomian $Q(x)\qquad\;$ nazywamy ilorazem, a liczbę $r\;$ resztą.

Uwaga 5.3. Dzielenie z resztą liczby całkowitej przez daną liczbę, jak i dzielenie wielomianu przez dany wielomian, polega na przedstawieniu liczby czy wielomianu w pewnej postaci — postaci opisanej w twierdzeniu. Pomimo słowa "dzielenie" w nazwie do zapisu tych operacji nie używa się symbolu dzielenia.

Zanim zostaną omówione i zademonstrowane różne algorytmy znajdowania ilorazu i reszty w dzieleniu wielomianu przez dwumian, podajemy ważne konsekwencje Twierdzenia 5.2.

Twierdzenie 5.3.:

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)\;$ przez dwumian $x-c\;$ jest równa wartości wielomianu $W(x)\;$ dla $x=c\;$, tzn. liczbie $W(c)\quad\;$.

Twierdzenie 5.4.:

Jeżeli w dzieleniu wielomianu $W(x)\;$ przez dwumian $x-c\;$ reszta z dzielenia jest równa 0, to wielomian $W(x)\;$ jest podzielny przez dwumian $x-c\;$.

Twierdzenie 5.5. (Bézouta):

Liczba $c\;$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)\;$ jest podzielny przez dwumian $x-c\;$.

Teraz omówione zostaną algorytmy pozwalające wyznaczyć iloraz oraz resztę w dzieleniu $W(x)\;$ przez dwumian $x-c\;$.

Odpowiedź na pytanie jak praktycznie znaleźć iloraz i resztę w dzieleniu wielomianu $W(x)\;$ przez dwumian $x-c\;$ ukryta jest w równości $W(x)=(x-c)Q(x)+r\;$, a także w rozwiązaniu Zadania 5.1. podpunkt 1. Sposób wyznaczania wielomianu $Q(x)\qquad\;$ i liczby $r\;$ pokazujemy jeszcze raz w rozwiązaniu kolejnego zadania.

Zadanie 5.2. (jak dzielimy z resztą wielomian przez dwumian - METODA I) Podziel z resztą wielomian $W(x)=x^4-2x^3+4x^2+1\;$ przez dwumian $x-2\;$.

Rozwiązanie: Zgodnie z Twierdzeniem 5.2. szukamy wielomianu $Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d\;$, gdzie $a,b,c,d\;$ są liczbami rzeczywistymi, oraz liczby $r\;$ takich, że zachodzi równość wielomianów
$\begin{array}{rl} x^4-2x^3+4x^2+1 & = (ax^3+bx^2+cx+d)(x-2)+r=\\ & = ax^4+x^3(-2a+b) +x^2(-2b+c)+x(-2c+d)-2d+r. \end{array}\;$
Z porównania współczynników otrzymujemy układ równań
${\left\{ \begin{array}{rl} 1=a \\ -2=-2a+b\\ 4=-2b+c \\ 0 = -2c+d \\ 1 = -2d+r. \end{array} \right.}\;$
Stąd $a=1\;$, $b=-2+2=0\;$, $c=4\;$, $d=8\;$, $r=17\;$. Zatem
$x^4-2x^3+4x^2+1 = (x^3+4x+8)(x-2)+17.\;$

Omówiony poniżej schemat Hornera jest uogólnieniem metody opisanej w rozwiązaniu Zadania 5.2. Podaje się w nim wzory na wszystkie współczynniki ilorazu wielomianu $W(x)\;$ przez dwumian $x-c\;$ oraz wzór na resztę.

Schemat Hornera (jak dzielimy z resztą wielomian przez dwumian — METODA II).

Niech $W(x)=a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\;$ będzie wielomianem stopnia $n\;$ i niech $c\;$ będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Szukamy wielomianu $Q(x)\qquad\;$ i takiej liczby $r\;$, że

$W(x) = (x-c)\cdot Q(x) +r.\;$

Z Twierdzenia 2.2. wielomian $Q(x)\qquad\;$ jest stopnia $n-1\;$. Ma zatem postać

$Q(x) = b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\ldots +b_1x+b_0.\;$

Powinna być spełniona równość:
$\begin{array}{rl} W(x) & = (x-c)Q(x)+r=\\ & = (x-c)(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\ldots +b_1x+b_0)+r=\\ & = b_{n-1}x^ n+(b_{n-2}-cb_{n-1})x^{n-1} +(b_{n-3}-cb_{n-2})x^{n-2}+\ldots +\\ & \quad +(b_1-cb_2)x^2+(b_0-cb_1)x-cb_0+r. \end{array}\;$
Porównując współczynniki otrzymanego właśnie wielomianu i wielomianu $W(x)\;$, otrzymujemy układ równań

${\left\{ \begin{array}{rl} b_{n-1}=a_ n\\ b_{n-2}-cb_{n-1}=a_{n-1}\\ b_{n-3}-cb_{n-2}=a_{n-2}\\ \vdots \\ b_1-cb_2 = a_2\\ b_0-cb_1=a_1\\ r-cb_0=a_0, \end{array} \right.}\;$

który może być zapisany następująco:
$\begin{array}{rl}(\ast ){\left\{ \begin{array}{rl} b_{n-1}=a_ n\\ b_{n-2}=cb_{n-1}+a_{n-1}\\ b_{n-3}=cb_{n-2}+a_{n-2}\\ \vdots \\ b_1=cb_2 + a_2\\ b_0=cb_1+a_1\\ r=cb_0+a_0. \end{array} \right.} \end{array}\;$

Układ równań pozwala wyliczyć wszystkie współczynniki $b_{n-1},b_{n-2},\ldots,b_1,b_0\;$ oraz $r\;$, gdy dane są współczynniki $a_ n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0\;$.

Obliczanie współczynników wielomianu $Q(x)\qquad\;$ oraz reszty z dzielenia ułatwia dwuwierszowa tabela, w której w pierwszym wierszu wypisuje się współczynniki wielomianu $W(x)\;$, a w drugim współczynniki wielomianu $Q(x)\qquad\;$ oraz resztę $r\;$.

	$a_n\;$	$a_{n-1}\;$	$a_{n-2}\;$	…	$a_2\;$	$a_1\;$	$a_0\;$
$c\;$	$a_n\! =\! b_{n-1}\quad\;$	$cb_{n-1}\! +\! a_{n-1}\! =\! b_{n-2}\;$	$cb_{n-2}\! +\! a_{n-2}\! =\! b_{n-3}\;$	…	$cb_2\! +\! a_2\! =\! b_1\;$	$cb_1\! +\! a_1\! =\! b_0\quad\;$	$cb_0\! +\! a_0\! =\! r\;$
	$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }\;$						$\underbrace{\qquad \qquad \quad }\;$
	to są współczynniki wielomianu $Q(x)\qquad\;$						to jest $r\;$,
							czyli $W(c)\;$

Powyższą tabelę, czyli układ $(\ast )\;$ nazywamy schematem Hornera.

Zadanie 5.3. Stosując schemat Hornera znaleźć iloraz i resztę przy dzieleniu wielomianu$W(x) = x^3-3x-2\;$ przez

1. dwumian $x-3\;$,
2. dwumian $x+1\;$.

Uwaga 5.4. Przy wpisywaniu współczynników wielomianu $W(x)\;$ do tabeli musimy pamiętać, iż każda potęga zmiennej ma swoje "miejsce" w tabeli i jeśli któryś ze współczynników wielomianu $W(x)\;$ jest równy $0\;$, to ten współczynnik musi być także zapisany w tabeli.

Uwaga 5.5. Schemat Hornera jest szybkim algorytmem obliczania wartości wielomianu dla określonej liczby. Możemy go wykorzystać w zadaniach podobnych do Zadań 4.3. – 4.6. Odniesiemy przy tym korzyść podwójną, bo uzyskamy również współczynniki ilorazu. Rozwiązanie poniższego zadania pokazuje, w jaki sposób można to wykorzystać.

Zadanie 5.4. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu
$W(x) = 2x^4-2x^3-3x^2-x-2.\;$

Dzielenie "pisemne" (jak dzielimy z resztą wielomian przez dwumian — METODA III

Opisany poniżej algorytm przypomina algorytm pisemnego dzielenia liczb naturalnych.

Niech $W(x) = a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\;$ i niech $c\;$ będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że
$\begin{array}{rl} W(x) -a_ nx^{n-1}(x-c) & = (a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0)-(a_ nx^ n-a_ ncx^{n-1})=\\ & = (a_{n-1}+a_ nc)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0. \end{array}\;$
Oznaczamy

$(a_{n-1}+a_ nc)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0 = R_1(x).\;$

Wówczas

$W(x) = a_ nx^{n-1}(x-c)+R_1(x).\;$

Jeśli $R_1(x)\;$ nie jest wielomianem stałym, to powtarzamy "dzielenie z resztą" w stosunku do $R_1(x)\;$ i $x-c\;$. Operację tę powtarzamy tak długo, aż ostatni z otrzymanych w ten sposób wielomianów $R_i(x)\;$ będzie wielomianem stałym.
$\begin{array}{rl} W(x) & = a_ nx^{n-1}(x-c)+R_1(x)=\\ & = a_ nx^{n-1}(x-c)+a'_{n-1}x^{n-2}(x-c)+R_2(x)=\ldots =\\ & = a_ nx^{n-1}(x-c)+a'_{n-1}x^{n-2}(x-c)+a''_{n-2}x^{n-3}(x-c)+R_3(x)=\\ & = a_nx^{n-1}(x-c)+a'_{n-1}x^{n-2}(x-c)+a''_{n-2}x^{n-3}(x-c)+\ldots+R_n(x)\\ & = (x-c)(a_ nx^{n-1}+a'_{n-1}x^{n-2}+a''_{n-2}x^{n-3}+\ldots) +R_n(x)=\\ & = (x-c)Q(x)+R_n(x). \end{array}\;$
$Q(x)\qquad\;$ jest ilorazem, a $R_n(x)=r\;$ jest wielomianem stopnia 0 ($r\ne 0\;$ ) lub wielomianem zerowym ($r=0\;$ ).

Ponieważ $a_ nx^{n-1}\;$ możemy traktować jako iloraz $a_ nx^ n\;$ przez $x\;$, a więc iloraz jednomianów z najwyższymi potęgami zmiennej w wielomianach $W(x)\;$ i $x-c\;$, całą tę operację możemy zapisywać podobnie jak w pisemnym dzieleniu liczb całkowitych w postaci
$\begin{array}{rl}& \underline{a_ nx^{n-1}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad}\\ & a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0\, :\, x-c\\ -\quad & \! \! \underline{(a_ nx^ n-ca_ nx^{n-1})}\\ & (a_{n-1}\! +\! ca_ n)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0 \end{array}\;$
W pierwszym wierszu pod kreską piszemy wielomian $W(x)\;$. Iloraz "z dzielenia" jednomianów $a_ nx^ n\;$ i $x\;$ zapisujemy nad kreską. Następnie mnożymy otrzymany iloraz $a_ nx^{n-1}\;$ przez $x-c\;$ i zapisujemy go w drugim wierszu pod kreską, po czym odejmujemy otrzymany iloczyn od wielomianu $W(x)\;$. Różnicę zapisujemy pod druga kreską. Czynności te powtarzamy w stosunku do otrzymanej różnicy.

Niektórzy zalecają zamiast odejmowania kolejnych iloczynów zapisywanie ich od razu z przeciwnym znakiem i dodawanie. Taka operacja zapobiega błędom rachunkowym. Zapis wówczas wygląda następująco:
$\begin{array}{rl}& \underline{\quad a_ nx^{n-1}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad}\\ & \quad (a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0)\, :\, (x-c)\\ + &\, \, \, \underline{\, -a_ nx^ n+ca_ nx^{n-1}}\\ & \quad \, (a_{n-1}\! +\! ca_ n)x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_1x+a_0 \end{array}\;$

Zadanie 5.5. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu $W(x)=x^4-2x^3+4x^2-6x+8\;$ przez dwumian $x-1\;$.

Zadanie 5.6. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu $W(x)=2x^5-5x^3+8x\;$ przez dwumian $x+3\;$.

Zadanie 5.7. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu $W(x)=x^5-4x^3+6x^2-8x+10\;$ przez dwumian $(2x-4)\;$.

Uwaga 5.6. W rozwiązaniu Zadania 5.7 mogliśmy najpierw wykonać dzielenie dla wielomianu $W(x)\;$ i dwumianu $x-2\;$, ponieważ $2x-4=2(x-2)\;$, a następnie otrzymany iloraz pomnożyć przez $\frac{1}{2}\;$. Tak otrzymane iloraz i reszta są identyczne z wyliczonymi. Dlaczego? Tę kwestię wyjaśnia rachunek:
$\begin{array}{rl} x^5-4x^3+6x^2-8x+10 & = (2x-4)\bigg(\frac{1}{2}x^4+x^3+3x+2\bigg)+18=\\ & = (x-2)\cdot 2\bigg(\frac{1}{2}x^4+x^3+3x+2\bigg)+18=\\ & = (x-2)(x^4+2x^3+6x+4)+18 \end{array}\;$

Uwaga 5.7. W każdym z omówionych algorytmów iloraz $Q(x)\qquad\;$ i reszta $r\;$ są wyznaczone jednoznacznie.

Uwaga 5.8. Algorytm "pisemnego" dzielenia z resztą wielomianu przez dwumian, podobnie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów, można opisać bez używania zmiennej $x\;$. Na przykład, operację dzielenia z pierwszego przykładu można opisać następująco:

Stąd

Prawdziwe jest ogólne twierdzenie

Twierdzenie 5.6 (o dzieleniu z resztą dla dowolnych wielomianów):

Dla dowolnego wielomianu $W(x)\;$ i dowolnego niezerowego wielomianu $U(x)\quad\;$, istnieje tylko jedna para wielomianów $Q(x)\qquad\;$ i $R(x)\;$ taka, że prawdziwa jest równość wielomianów $W(x)=U(x)\cdot Q(x)+R(x)\;$, wielomian $R(x)\;$ jest wielomianem zerowym albo jest wielomianem niezerowymi $\mathrm{st}\, R(x)<\mathrm{st}\, U(x)\;$.

Dowód twierdzenia pomijamy.

Uwaga 5.9. Opisane METODA I i METODA III dzielenia z resztą dla wielomianu $W(x)\;$ i dwumianu $x-c\;$ przenoszą się na dowolne wielomiany. Zilustrujemy ten fakt na przykładach.

Przykład 5.1. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu $W(x)=2x^4-3x^3+4x^2-5x+6\;$ przez $U(x)=x^2-3x+1\;$.

Tak, jak poprzednio, za każdym razem "dzielimy" jednomian z najwyższą potęgą zmiennej dzielnej przez jednomian z najwyższą potęgą zmiennej dzielnika. Stąd
$2x^4-3x^3+4x^2-5x+6=(x^2-3x+1)(2x^2+3x+11)+25x-5.\;$
i $Q(x) = 2x^2+3x+11\;$ oraz $R(x) = 25x-5\;$.

Drugi sposób wynika z tego, że zgodnie z Twierdzeniem 2.2. stopień wielomianu $Q(x)\qquad\;$ jest równy różnicy stopni wielomianów $W(x)\;$ i $U(x)\quad\;$, zaś $R(x)\;$ jest wielomianem zerowym lub jego stopień jest mniejszy od stopnia wielomianu $U(x)\quad\;$. Wśród takich wielomianów szukamy wielomianów $Q(x)\qquad\;$ i $R(x)\;$, wyznaczając ich współczynniki z równości $W(x)=Q(x)U(x)+R(x)\;$. Zilustrujemy tę metodę na przykładzie.

Przykład 5.2. Podzielić z resztą wielomian $W(x)=x^3-3x^2-x-1\;$ przez wielomian$U(x)=3x^2-2x+1\;$. Ponieważ $\mathrm{st}\, W(x)=3\;$ i $\mathrm{st}\, U(x)=2\;$, więc $\mathrm{st}\, Q(x)=1\;$ natomiast $R(x)=0\;$ lub $\mathrm{st}\, R(x)<2\;$. Zatem
$Q(x) = ax+b \qquad \mathrm{i} \qquad R(x)=cx+d.\;$
Z równości
$x^3-3x^2-x-1 = (3x^2-2x+1)(ax+b)+cx+d\;$
otrzymujemy
$x^3-3x^2-x-1 = 3ax^3+(3b-2a)x^2+(-2b+a+c)x+b+d.\;$
Porównując współczynniki, mamy
${\left\{ \begin{array}{rl} 1=3a\\ -3=3b-2a\\ -1=-2b+a+c\\ -1=b+d. \end{array} \right.}\;$
Stąd $a=\frac{1}{3}\;$, $b=-\frac{7}{9}\;$, $c=-\frac{26}{9}\;$, $d=-\frac{2}{9}\;$, czyli $Q(x)=\frac{1}{3}x-\frac{7}{9}\;$ i $R(x)=-\frac{26}{9}x-\frac{2}{9}\;$ oraz
$x^3-3x^2-x-1 = (3x^2-2x+1)\bigg(\frac{1}{3}x-\frac{7}{9}\bigg)-\frac{26}{9}x-\frac{2}{9}.\;$

Przykład 5.3. Podzielić z resztą wielomian $W(x)=x^3+2x^2+1\;$ przez wielomian $U(x)=x^4-2x+2\;$.

Zauważmy, że $\mathrm{st}{W(x)}=3\;$, $\mathrm{st}U(x)=4\;$ i $\mathrm{st}{W(x)}<\mathrm{st}{U(x)}\;$. Zatem
$W(x) = U(x) \cdot 0 +W(x), \;$
czyli $Q(x)=0\;$ i $R(x)=W(x)\;$.

Uwaga 5.10. Przedstawienie wielomianu $W(x)\;$ w postaci iloczynu wielomianów stopni dodatnich nazywamy rozkładem wielomianu na czynniki. Operacja rozkładu wielomianu na czynniki jest niezwykle użyteczna przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych. Rozkład na czynniki związany jest więc z poszukiwaniem jego dzielników, tzn. wielomianów stopni dodatnich, przez które wielomian jest podzielny. W czynności tej można wykorzystać wzory skróconego mnożenia, operacje wyłączania czynnika przed nawias oraz twierdzenie Bézouta.

Zilustrujemy to w rozwiązanich kilku zadań

Zadanie 5.8. Rozłożyć na czynniki wielomian $W(x)=x^8-1\;$.

Zadanie 5.9. Rozłożyć na czynniki wielomian $W(x)=2x^5-5x^3-3x\;$.

Zadanie 5.10. Rozłożyć na czynniki wielomian $W(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8\;$.

Ogólnie, jeśli $a\;$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)\;$, to możemy napisać $W(x)=(x-a)Q(x)\;$, a następnie powtórzyć całą operację rozkładania na czynniki dla wielomianu $Q(x)\qquad\;$.

Na zakończenie przytoczymy główne twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki (bez dowodu).

Twierdzenie 5.7.:

Każdy wielomian o wspólczynnikach rzeczywistych stopnia dodatniego bądź nie daje się rozłożyć na czynniki, bądź jest iloczynem wielomianów stopni dodatnich, z których żaden nie daje się rozłożyć na czynniki.

Twierdzenie 5.8:

Jedynymi wielomianami o wspólczynnikach rzeczywistych stopni dodatnich, które nie dają się rozłożyć na czynniki, są wielomiany pierwszego stopnia oraz trójmiany kwadratowe o wyróżniku ujemnym.

Poniższy przykład pokazuje, że można wskazać wielomian, który nie ma pierwiastków i nie jest trójmianem kwadratowym.

Przykład 5.4.: Niech $W(x)=x^4+4\;$. Wielomian ten przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc nie ma pierwiastków. Zauważmy, że
$x^4+4 = x^4+4x^2+4-4x^2 = (x^2+2)^2-(2x)^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x).\;$
Wielomian $W(x)\;$ jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych o wyróżnikach ujemnych.