Pierwiastek wielomianu

Definicja 4.1. Pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\;\) nazywamy liczbę rzeczywistą \(x_0\;\), dla której wielomian ten przyjmuje wartość \(0\;\), tzn. \(W(x_0)=0\;\).

Definicja 4.2. Równaniem wielomianowym nazywamy każde równanie postaci \(W(x)=0\;\), gdzie \(W(x)\;\) jest wielomianem.

Uwaga 4.1. Z obu definicji wynika, że synonimami są wyrażenia

• liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\;\),
• liczba \(x_0\;\) jest rozwiązaniem równania wielomianowego \(W(x)=0\;\).

Niektórzy autorzy odwołujący się do funkcyjnej interpretacji wielomianów (patrz Funkcje wielomianowe) używają jeszcze innych zwrotów o tym samym znaczeniu:

• liczba \(x_0\;\) jest miejscem zerowym wielomianu \(W(x)\;\),
• liczba \(x_0\;\) jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej \(W(x)\;\).

Uwaga 4.2. (dotycząca ważnej metody rozwiązywania równań) O różnych sposobach rozwiązywania równań jest mowa w Rozdziale 6. Równania wielomianowe. W tej chwili jednak zwracamy uwagę na pewien ważny pomysł związany z szukaniem rozwiązań tego typu równań. Zademonstrujemy go w dwóch zadaniach.

Zadanie 4.1. Podaj pierwiastki wielomianu \(T(x)=(x+1)(4-x)(6x-7)\;\).

Zadanie 4.2. Podaj pierwiastki wielomianu \(Z(x) = x^3-x^2-5x+5\;\).

Komentarz. Rozwiązania Zadań 4.1. i 4.2 podpowiadają następującą metodę. Jeśli szukamy pierwiastków wielomianu \(K(x)\;\), tzn. rozwiązań równania \(K(x)=0\;\), to staramy się przedstawić wielomian \(K(x)\;\) w postaci iloczynu wielomianów stopni dodatnich \(K(x)=A(x)B(x)\;\). (Przydają się tutaj wzory skróconego mnożenia oraz operacja wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.) Wówczas równanie \(K(x)=0\;\) przyjmuje postać \(A(x)B(x)=0\;\). Ponieważ iloczyn dwóch czynników jest równy \(0\;\) dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy \(0\;\), więc równanie \(A(x)B(x)=0\;\) możemy zastąpić warunekiem \((A(x)=0\;\) lub \(B(x)=0)\;\). Wielomiany \(A(x)\;\) i \(B(x)\;\) mają stopnie niższe niż wielomian \(K(x)\;\). Rozwiązanie równania \(K(x)=0\;\) sprowadza się do rozwiązania każdego z równań \(A(x)=0\;\), \(B(x)=0\;\) i nad ich rozwiązaniem należy pracować (patrz Rozdział 6. Równania wielomianowe).

Uwaga 4.3. Wśród wielomianów zmiennej \(x\;\) wyróżnia się pewne klasy wielomianów. Jedną z nich jest klasa wielomianów o współczynnikach całkowitych. Należą do niej np. wielomiany
\(\begin{array}{rl} W(x) & = 6x^3-4x^2+5x-2,\\ P(x) & = x^{50}-4x^{40}+3x^{20}-6x^5+x^2, \end{array}\;\)
a także
\(R(x) = -2(x-1)^2(2x^2+3)(3x-4) = -12x^5+40x^4-62x^3+76x^2-66x+24.\;\)
oraz
\(S(x) = 2\bigg(\frac{x}{2}-1\bigg)^2-\frac{1}{2}x^2=-2x+2.\;\)
Inną, szerszą od wpomnianej, klasę wielomianów stanowią wielomiany o współczynnikach wymiernych. Przykładami takich wielomianów są
\(\begin{array}{l}V(x)= \frac{3}{4}x^2-2x+\frac{17}{3},\\ T(x)= -0,3x^3+0,05x^2+5x-\frac{1}{3}, \end{array}\;\)
a także
\(U(x) =\frac{1}{2}\bigg(x+\frac{4}{3}\bigg)^2\bigg(\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{5}\bigg).\;\)

Rozważmy nastepujący przykład.

Spostrzeżenie zawarte w Przykładzie można uogólnić.

Jeśli liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych

\(W(x) = \frac{p_ n}{q_ n}x^ n + \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}x^{n-1}+\ldots +\frac{p_1}{q_1}x+\frac{p_0}{q_0},\;\)

gdzie \(p_ n, p_{n-1}, \ldots, p_0\;\) są liczbami całkowitymi, a \(q_ n, q_{n-1},\ldots, q_0\;\) są liczbami całkowitymi dodatnimi (dla \(p_i=0\;\) musimy przyjąć \(q_i=1\;\)) i \(n\;\) jest liczbą całkowitą dodatnią, to istnieje pewien wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(x_0\;\).

Przykładem takiego wielomianu jest wielomian

\(P(x) = a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x +a_0,\;\)

gdzie dla \(k=0,1, \ldots,n\quad\;\)

\(a_ k = p_ k\cdot (q_ n\cdot q_{n-1}\cdot \ldots \cdot q_1\cdot q_0).\;\)

Istotnie, skoro

\(\frac{p_ n}{q_ n}x_0^ n + \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}x_0^{n-1}+\ldots +\frac{p_1}{q_1}x_0+\frac{p_0}{q_0} = 0,\;\)

to mnożąc tę równość przez liczbę \(q_ n\cdot q_{n-1}\cdot \ldots \cdot q_1\cdot q_0\;\) otrzymujemy równość

\(a_ nx_0^ n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\ldots + a_1x_0 +a_0 = 0.\;\)

Dwa kolejne twierdzenia dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Uwaga 4.4. (dotycząca Twierdzenia 4.1) Z Twierdzenia 4.1. wynika, że mając wielomian o współczynnikach całkowitych można ustalić, które liczby wymierne są jego pierwiastkami lub stwierdzić, że taki wielomian nie posiada ani jednego pierwiastka wymiernego. Podajemy dwa przykłady demonstrujące tę metodę.

Zadanie 4.3. Znajdź liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu \(W(x) = 4x^3+3x^2+7x-2\;\).

Zadanie 4.4. Znajdź liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu \(W(x)=2x^5+4x-1\;\).

Wśród wielomianów o współczynnikach całkowitych wyróżnia się te wielomiany, które przy najwyższej potędze zmiennej mają współczynnik \(1\;\), tzn. wielomiany postaci

\(P(x) = x^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0,\;\)

gdzie \(n\;\) jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią.

Przykłady zastosowań Twierdzenia 4.2.

Zadanie 4.5. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=x^3-3x^2-2x+6\;\).

Zadanie 4.6. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=x^5-3x^4+3x^3-5x-2.\;\)

Zadanie 4.7. Czy liczba \(7\;\) jest pierwiastkiem wielomianu
\(W(x) = x^{321}-6x^{213}-5x^{123}-171x^{100}-285x^{53}+24x^{17}+153?\;\)

Uwaga 4.5. Pomimo, że Twierdzenie 4.1. i Twierdzenie 4.2. dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych, można użyć ich również do znajdowania pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach wymiernych (Patrz Uwaga 4.3). Przykłady takiego zastosowania Twierdzenia 4.1. demonstrujemy w rozwiązaniach dwóch zadań.

Zadanie 4.8. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
\(W(x) = 2x^3-\frac{2}{5}x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{15}.\;\)

Zadanie 4.9. Zbadaj, czy istnieje przynajmniej jeden pierwiastek wymierny wielomianu
\(W(x) = x^4 -x^3+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}.\;\)

Przykłady pokazywały, że niezerowe wielomiany mogą mieć różną liczbę pierwiastków. Ogólna informacja o liczbie pierwiastków wielomianu zawarta jest w następującym twierdzeniu.