Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to Content

Pierwiastek wielomianu

pt., 09/10/2010 - 10:48 — ciebie

Definicja 4.1. Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę rzeczywistą x0, dla której wielomian ten przyjmuje wartość 0, tzn. W(x0)=0.

Przykłady:
  1. Wielomian W(x)=3x−1 ma jeden pierwiastek x0=13, ponieważ W(13)=0 i równanie W(x)=0 jest równoważne warunkom
    3x−1=0,x=13.
    Ogólnie, każdy dwumian liniowy P(x)=ax+b, gdzie a≠0, posiada jeden pierwiastek x0=−ba.
  2. Pierwiastkami wielomianu P(x)=4x2−1 są dwie liczby: x1=12 i x2=−12. Istotnie, P(12)=4(12)2−1=0 i P(−12)=4(−12)2−1=0. Z własności trójmianów kwadratowych wynika, iż P(x) nie ma innych pierwiastków.
  3. Pierwiastkiem wielomianu R(x)=4x2+4x+1 jest jedna liczba, ponieważ
    R(x)=4x2+4x+1=(2x+1)2
    i równanie R(x)=0 ma tylko jedno rozwiązanie x=−12.
  4. Wielomiany A(x)=x2+5, B(x)=4x4+x2+6, C(x)=−x100−6x96−5 nie mają pierwiastków, bo każdy z tych wielomianów przyjmuje wartości stałego znaku:
    • dla każdej rzeczywistej liczby x0 A(x0)>0,
    • dla każdej rzeczywistej liczby x0 B(x0)>0,
    • dla każdej rzeczywistej liczby x0 C(x0)<0.
  5. Z analizy liczby rozwiązań równania kwadratowego wynika, iż każdy trójmian kwadratowy ax2+bx+c, gdzie a≠0, może mieć 2 pierwiastki, 1 pierwiastek lub może nie mieć pierwiastków. Dokładniej, trójmian kwadratowy ax2+bx+c o wyróżniku Δ
    • ma dwa pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy Δ>0,
    • ma jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy Δ=0,
    • nie ma pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy Δ<0.
  6. Wielomian stopnia zerowego Z(x)=5 nie ma pierwiastków, a dla wielomianu zerowego U(x)=0 każda liczba rzeczywista jest jego pierwiastkiem.

Definicja 4.2. Równaniem wielomianowym nazywamy każde równanie postaci W(x)=0, gdzie W(x) jest wielomianem.

Uwaga 4.1. Z obu definicji wynika, że synonimami są wyrażenia

  • liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W(x),
  • liczba x0 jest rozwiązaniem równania wielomianowego W(x)=0.

Niektórzy autorzy odwołujący się do funkcyjnej interpretacji wielomianów (patrz Funkcje wielomianowe) używają jeszcze innych zwrotów o tym samym znaczeniu:

  • liczba x0 jest miejscem zerowym wielomianu W(x),
  • liczba x0 jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej W(x).
Image:End_of_proof.gif

Uwaga 4.2. (dotycząca ważnej metody rozwiązywania równań) O różnych sposobach rozwiązywania równań jest mowa w Rozdziale 6. Równania wielomianowe. W tej chwili jednak zwracamy uwagę na pewien ważny pomysł związany z szukaniem rozwiązań tego typu równań. Zademonstrujemy go w dwóch zadaniach.

Image:End_of_proof.gif

Zadanie 4.1. Podaj pierwiastki wielomianu T(x)=(x+1)(4−x)(6x−7).

Zadanie 4.2. Podaj pierwiastki wielomianu Z(x)=x3−x2−5x+5.

Komentarz. Rozwiązania Zadań 4.1. i 4.2 podpowiadają następującą metodę. Jeśli szukamy pierwiastków wielomianu K(x), tzn. rozwiązań równania K(x)=0, to staramy się przedstawić wielomian K(x) w postaci iloczynu wielomianów stopni dodatnich K(x)=A(x)B(x). (Przydają się tutaj wzory skróconego mnożenia oraz operacja wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.) Wówczas równanie K(x)=0 przyjmuje postać A(x)B(x)=0. Ponieważ iloczyn dwóch czynników jest równy 0 dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy 0, więc równanie A(x)B(x)=0 możemy zastąpić warunekiem (A(x)=0 lub B(x)=0). Wielomiany A(x) i B(x) mają stopnie niższe niż wielomian K(x). Rozwiązanie równania K(x)=0 sprowadza się do rozwiązania każdego z równań A(x)=0, B(x)=0 i nad ich rozwiązaniem należy pracować (patrz Rozdział 6. Równania wielomianowe).

Image:End_of_proof.gif

Uwaga 4.3. Wśród wielomianów zmiennej x wyróżnia się pewne klasy wielomianów. Jedną z nich jest klasa wielomianów o współczynnikach całkowitych. Należą do niej np. wielomiany
W(x)=6x3−4x2+5x−2,P(x)=x50−4x40+3x20−6x5+x2,
a także
R(x)=−2(x−1)2(2x2+3)(3x−4)=−12x5+40x4−62x3+76x2−66x+24.
oraz
S(x)=2(x2−1)2−12x2=−2x+2.
Inną, szerszą od wpomnianej, klasę wielomianów stanowią wielomiany o współczynnikach wymiernych. Przykładami takich wielomianów są
V(x)=34x2−2x+173,T(x)=−0,3x3+0,05x2+5x−13,
a także
U(x)=12(x+43)2(23x2+15).

Rozważmy nastepujący przykład.

Przykład 4.2:

Liczba x0=√52 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych
W(x)=15x3−110x2−12x+14,
gdyż
15(√52)3−110(√52)2−12√52+14=0.
Pomnóżmy tę równość przez 20 (czyli przez wspólny mianownik wszystkich współczynników wielomianu W(x) ). Otrzymujemy
20⋅15(√52)3−20⋅110(√52)2−20⋅12√52+20⋅14=0,
czyli
4(√52)3−2(√52)2−10√52+5=0.(∗)
Oznacza to, że x0=√52 jest także pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach całkowitych, mianowicie wielomianu P(x)=4x3−2x2−10x+5. Gdybyśmy równość (∗) pomnożyli przez dowolną niezerową krotność liczby 20, to znaleźlibyśmy inny wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba x0=√52.
Z powyższych rozważań można wywnioskować, że każdy pierwiastek wielomianu W(x) jest równocześnie pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych P(x).

Spostrzeżenie zawarte w Przykładzie można uogólnić.

Jeśli liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych

W(x)=pnqnxn+pn−1qn−1xn−1+…+p1q1x+p0q0,

gdzie pn,pn−1,…,p0 są liczbami całkowitymi, a qn,qn−1,…,q0 są liczbami całkowitymi dodatnimi (dla pi=0 musimy przyjąć qi=1) i n jest liczbą całkowitą dodatnią, to istnieje pewien wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba x0.

Przykładem takiego wielomianu jest wielomian

P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0,

gdzie dla k=0,1,…,n

ak=pk⋅(qn⋅qn−1⋅…⋅q1⋅q0).

Istotnie, skoro

pnqnxn0+pn−1qn−1xn−10+…+p1q1x0+p0q0=0,

to mnożąc tę równość przez liczbę qn⋅qn−1⋅…⋅q1⋅q0 otrzymujemy równość

anxn0+an−1xn−10+…+a1x0+a0=0.

Image:End_of_proof.gif

Dwa kolejne twierdzenia dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Twierdzenie 4.1.:

Niech W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że an≠0, a0≠0 i n≥1. Jeśli W(x) ma pierwiastek wymierny x0, przy czym x0=pq, p jest liczbą całkowitą, q jest liczbą całkowitą dodatnią i NWD(p,q)=1, to p jest dzielnikiem liczby a0, a q jest dzielnikiem liczby an.

Uwaga 4.4. (dotycząca Twierdzenia 4.1) Z Twierdzenia 4.1. wynika, że mając wielomian o współczynnikach całkowitych można ustalić, które liczby wymierne są jego pierwiastkami lub stwierdzić, że taki wielomian nie posiada ani jednego pierwiastka wymiernego. Podajemy dwa przykłady demonstrujące tę metodę.

Zadanie 4.3. Znajdź liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu W(x)=4x3+3x2+7x−2.

Zadanie 4.4. Znajdź liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu W(x)=2x5+4x−1.

Image:End_of_proof.gifImage:End_of_proof.gif

Wśród wielomianów o współczynnikach całkowitych wyróżnia się te wielomiany, które przy najwyższej potędze zmiennej mają współczynnik 1, tzn. wielomiany postaci

P(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0,

gdzie n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią.

Twierdzenie 4.2.:

Niech P(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0 będzie wielomianem dodatniego stopnia o współczynnikach całkowitych i a0≠0. Jeśli P(x) ma pierwiastek wymierny, to jest on liczbą całkowitą będącą dzielnikiem współczynnika a0.

Przykłady zastosowań Twierdzenia 4.2.

Zadanie 4.5. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
W(x)=x3−3x2−2x+6.

Zadanie 4.6. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
W(x)=x5−3x4+3x3−5x−2.

Zadanie 4.7. Czy liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu
W(x)=x321−6x213−5x123−171x100−285x53+24x17+153?

Uwaga 4.5. Pomimo, że Twierdzenie 4.1. i Twierdzenie 4.2. dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych, można użyć ich również do znajdowania pierwiastków wymiernych wielomianów o współczynnikach wymiernych (Patrz Uwaga 4.3). Przykłady takiego zastosowania Twierdzenia 4.1. demonstrujemy w rozwiązaniach dwóch zadań.

Zadanie 4.8. Wskaż wszystkie liczby wymierne będące pierwiastkami wielomianu
W(x)=2x3−25x2+13x−115.

Zadanie 4.9. Zbadaj, czy istnieje przynajmniej jeden pierwiastek wymierny wielomianu
W(x)=x4−x3+16x2+12x−16.

Image:End_of_proof.gifImage:End_of_proof.gif

Przykłady pokazywały, że niezerowe wielomiany mogą mieć różną liczbę pierwiastków. Ogólna informacja o liczbie pierwiastków wielomianu zawarta jest w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 4.3:

Wielomian stopnia n, gdzie n≥1, może mieć co najwyżej n różnych pierwiastków.



Theme by Dr. Radut.