Równania wielomianowe

Pojęcie równania wielomianowego jest ściśle związane z pojęciem pierwiastka wielomianu. Dlatego wiele informacji na temat równań wielomianowych można znaleźć w części 1.5_Pierwiastek_wielomianu.

Uwaga 6.1. W Definicji 4.1. wyjaśniono termin pierwiastek wielomianu, w Definicji 4.2. termin równanie wielomianowe.

Uwaga 4.2. wskazuje bardzo ważną ogólną strategię używaną przy rozwiązywaniu równań. Można ją skutecznie stosować w odniesieniu do równań wielomianowych.

Procedura

• Mamy równanie \(W(x)=0\;\), gdzie \(W(x)\;\) jest wielomianem.
• Zapisujemy wielomian w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopni dodatnich \(W(x)=P(x)\cdot Q(x)\;\).
• Otrzymujemy równanie \(P(x)\cdot Q(x)=0\;\).
• Jest ono równoważne alternatywie równań \(P(x)=0\;\) lub \(Q(x)=0\;\).
• Rozwiązujemy każde z tych równań i zbiory rozwiązań łączymy w jeden zbiór.

Twierdzenie 5.7. i Twierdzenie 5.8. gwarantują, iż każdy wielomian stopnia wyższego niż \(2\;\) można rozłożyć na iloczyn czynników stopni dodatnich. Kłopot polega na tym, że nie ma uniwersalnej metody rozkładu dowolnego wielomianu na czynniki nierozkładalne. Zatem sztuka rozwiązywania równań wielomianowych polega na kolekcjonowaniu pewnych "chwytów", które prowadzą do rozkładu wielomianów na iloczyn wielomianów stopni dodatnich.

Uwaga 6.2. (dotycząca kłopotów terminologicznych) Używamy wymiennie terminów:

• "liczba \(x_0\;\) spełnia równanie wielomianowe \(W(x)=0\,\;\)",
• "liczba \(x_0\;\) jest rozwiązaniem równania wielomianowego \(W(x)=0\,\;\)",
• "liczba \(x_0\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\,\;\)",
• "zero jest wartością wielomianu \(W(x)\;\) dla \(x\;\) równego \(x_0\;\)".

Podobnie, za identyczne uznajemy polecenia:

• "podaj zbiór wszystkich liczb spełniających równanie wielomianowe \(W(x)=0\,\;\)",
• "podaj zbiór rozwiązań równania wielomianowego \(W(x)=0\,\;\)",
• "rozwiąż równanie wielomianowe \(W(x)=0\,\;\)",
• "wskaż wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)\,\;\)".

Zgodnie z Uwagą 3.3. zapis \(W(x)=0\;\) może być odczytywany rozmaicie.

• Jeśli myślimy o równaniach i wśród nich o równaniu \(W(x)=0\;\), gdzie \(W(x)\;\) jest pewnym wielomianem, to liczbę spełniającą to równanie nazywamy rozwiązaniem równania.
• Jeśli myślimy o wielomianach i ich właściwościach, a wśród nich o wielomianie \(W(x)\;\), to o liczbie spełniającej równanie \(W(x)=0\;\) powiemy, że jest to pierwiastek wielomianu.
• Jeśli wreszcie traktujemy wielomian \(W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0\;\), gdzie \(n\;\) jest liczbą całkowita nieujemną, \(a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\;\), jako funkcję (wielomianową) określoną w zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmującą wartości rzeczywiste (patrz Funkcje wielomianowe, także Funkcje kwadratowe, Funkcje liniowe), to o liczbie spełniającej równanie \(W(x)=0\;\) powiemy, że jest to miejsce zerowe funkcji \(W(x)\;\).

W komentarzach i sformułowaniach zadań będziemy się starali konsekwentnie trzymać tej logicznie uzasadnionej terminologii.

Jednakże w podręcznikach i zbiorach zadań bardzo często, tradycyjnie już, używa się terminu pierwiastek równania.

Stosowanie tego zwrotu prowadzi niekiedy do nieporozumienia, co może się objawiać w ten sposób, iż odpowiedź w dobrze przez nas rozwiązanym zadaniu nie zgadza się z odpowiedzią podaną przez autorów podręcznika czy zbioru zadań. Różnica w odpowiedziach może wynikać nie z błędnego rozwiązania lecz różnej interpretacji polecenia w zadaniu (patrz Uwaga 6.3.)

Wyróżnimy teraz trzy grupy równań wielomianowych \(W(x)=0\;\).

1. Równania \(W(x)=0\;\), gdzie wielomian \(W(x)\;\) jest zerowy lub ma stopień nie większy niż \(1\;\)

• Gdy \(W(x)\;\) jest wielomianem zerowym, to zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(W(x)=0\;\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Gdy \(W(x)\;\) jest wielomianem stopnia zerowego, to równanie \(W(x)=0\;\) nie ma rozwiązań.
• Gdy \(W(x)\;\) jest wielomianem stopnia 1, to równanie \(W(x)=0\;\) ma jedno rozwiązanie; dokładniej, jeśli \(W(x)=a_1x+a_0\;\) i \(a_1\ne 0\;\), to rozwiązaniem równania \(a_1x+a_0=0\;\) jest \(x=-\frac{a_0}{a_1}\;\).

1. Równania \(W(x)=0\;\), gdzie \(W(x)\;\) jest wielomianem stopnia 2.
   Gdy wielomian \(W(x)\;\) jest postaci \(W(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\;\) i \(a_2\ne 0\;\), to równanie \(a_2x^2+a_1x+a_0=0\;\), czyli rownanie kwadratowe,

• ma dwa rozwiązania, gdy \(\Delta>0\;\),
• ma jedno rozwiązanie, gdy \(\Delta=0\;\),
• nie ma rozwiązań, gdy \(\Delta<0\;\).

Bardziej szczegółowe informacje znajdują się w części Funkcje kwadratowe.

Uwaga 6.3. Gdy rozważamy równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\;\), \(a\ne0\;\), to sytuacje \(\Delta>0\;\) i \(\Delta<0\;\) na ogół nie rodzą nieporozumień terminologicznych.

1. Warunek \(\Delta<0\;\) oznacza:

• brak liczb spełniających równanie \(ax^2+bx+c=0\;\),
• brak rozwiązań równania \(ax^2+bx+c=0\;\),
• brak pierwiastków wielomianu \(ax^2+bx+c\;\),
• brak miejsc zerowych funkcji \(W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\), \(W(x)=ax^2+bx+c\;\).
  Zwrot "brak pierwiastków równania" też jest zrozumiały.

1. Warunek \(\Delta>0\;\) oznacza:

• istnienie dwóch liczb spełniających równanie \(ax^2+bx+c=0\;\),
• istnienie dwóch rozwiązań równania \(ax^2+bx+c=0\;\),
• istnienie dwóch pierwiastków wielomianu \(ax^2+bx+c\;\),
• istnienie dwóch miejsc zerowych funkcji \(W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\), \(W(x)=ax^2+bx+c\;\).

1. Kłopot pojawia się, gdy rozważamy sytuację \(\Delta=0\;\). Wiadomo, że wówczas równanie \(ax^2+bx+c=0\;\), gdzie \(a\ne0\;\), można zapisać równoważnie
   \(a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2=0,\;\) co oznacza, że

• istnieje jedyna liczba \(-\frac{b}{2a}\;\) spełniająca równanie \(ax^2+bx+c=0\;\),
• istnieje dokładnie jedno rozwiązanie równania \(ax^2+bx+c=0\;\),
• wielomian \(ax^2+bx+c\;\) ma tylko jeden pierwiastek,
• funkcja kwadratowa \(W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;\), \(W(x)=ax^2+bx+c\;\) ma jedno miejsce zerowe.

Jednak niektórzy autorzy mówią również w tej sytuacji: "równanie \(ax^2+bx+c=0\;\) ma dwa identyczne pierwiastki". Jest to zwrot mylący, bo przecież "dwa identyczne", to znaczy "jeden". Źródłem tego, tradycyjnie używanego zwrotu, jest postać iloczynowa trójmianu:
\( ax^2+bx+c= a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 = a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg), \;\) w której występują dwa identyczne czynniki liniowe.

W teorii wielomianów takie zjawisko określa się przy pomocy terminu "liczba \(-\frac{b}{2a}\;\) jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(ax^2+bx+c\;\)" lub "\(-\frac{b}{2a}\;\) jest pierwiastkiem krotności dwa wielomianu \(ax^2+bx+c\;\)". Więcej szczegółów na ten temat można znaleźć w dalszej części tego rozdziału (patrz Definicja 6.1.).

Poniższe dwa przykłady demonstrują, jakie komplikacje może zrodzić używanie terminu "pierwiastek równania".

Przykład 6.1. (Zad. 7.85 Dróbka, Szymański I)

Zadanie. Dla jakich wartości parametru \(m\;\) suma kwadratów pierwiastków równania
\( x^2-(m-5)x+m^2-6m+5=0 \;\)
jest większa od \(7\;\).

Rozwiązanie I. Skoro użyto liczby mnogiej "suma pierwiastków równania", to należy sądzić, że pytanie dotyczy dwóch rozwiązań równania \(x_1\;\) i \(x_2\;\) i to różnych. Zatem szukamy takich liczb \(m\;\), dla których spełniony jest układ warunków
\( \left\{\begin{array}{l} \Delta>0\\ x_1^2+x_2^2>7 \end{array}\right., \;\)
który, zgodnie z równością \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\;\) oraz ze wzorami Viete'a, ma postać
\( \left\{\begin{array}{l} (m-5)^2-4(m^2-6m+5)>0\\ (m-5)^2-2(m^2-6m+5)>7. \end{array}\right. \;\)
Układ ten jest równoważny układowi
\( \left\{\begin{array}{l} (m-5)(-3m-1)>0\\ -m^2+2m+8>0 \end{array}\right. . \;\)
Stąd
\( \left\{\begin{array}{l} m\in(-\frac{1}{3},5)\\ m\in(-2,4) \end{array}\right. \!\!\!\!,\mathrm{ czyli }\quad m\in\left(-\frac{1}{3},4\right). \;\)

Rozwiązanie II. Jeśli uznamy, że w rozwiązaniu należy także uwzględnić "dwa identyczne pierwiastki równania", to trzeba zapostulować układ warunków
\( \left\{\begin{array}{l} \Delta\geq0\\ x_1^2+x_2^2>7 \end{array}\right., \;\)
który, zgodnie z równością \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\;\) oraz ze wzorami Viete'a (obowiązującymi także, gdy \(x_1=x_2\;\)), ma postać
\( \left\{\begin{array}{l} (m-5)^2-4(m^2-6m+5)\geq0\\ (m-5)^2-2(m^2-6m+5)>7 \end{array}\right. . \;\)
Układ ten jest równoważny układowi
\( \left\{\begin{array}{l} (m-5)(-3m-1)\geq0\\ -m^2+2m+8>0 \end{array}\right. . \;\)
Stąd
\( \left\{\begin{array}{l} m\in[-\frac{1}{3},5)\\ m\in(-2,4) \end{array}\right. \!\!\!\!,\mathrm{ czyli }\quad m\in\left[-\frac{1}{3},4\right) \;\)
i taką odpowiedź podają autorzy zbioru zadań.

Przykład 6.2 (Matura 2005)

Zadanie. Dane jest równanie \(x^2+(m-5)x+m^2+m+\frac{1}{4}=0\;\). Zbadaj, dla jakich wartości parametru \(m\;\) stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość największą. Wyznacz te wartość.

Rozwiązanie I. Przyjmujemy, że skoro użyte zostały zwroty "suma pierwiastków", "iloczyn pierwiastków", to oznacza to, że jest mowa o dwóch rozwiązaniach \(x_1\;\), \(x_2\;\) i to różnych. Istnienie dwóch rozwiązań gwarantuje warunek
\( \Delta>0,\quad \mathrm{ czyli }\quad (m-5)^2-4\left(m^2+m+\frac{1}{4}\right)>0, \quad\mathrm{ tzn. }\quad m\in\left(-6,\frac{4}{3}\right). \;\)
Skoro mowa jest o ilorazie sumy rozwiązań \(x_1+x_2\;\) i iloczynu rozwiązań \(x_1x_2\;\), to trzeba założyć, iż \(0\;\) nie jest rozwiązaniem równania, tzn.
\( m^2+m+\frac{1}{4}\ne 0\quad \mathrm{ tzn. }\quad m\ne-\frac{1}{2}. \;\)
Tak więc funkcja opisująca zależność \(\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}\;\) od wartości parametru \(m\;\) ma dziedzinę równą \(\left(-6,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right)\;\) i zadana jest wzorem
\( f(m) = \frac{-(m-5)}{m^2+m+\frac{1}{4}} = \frac{5-m}{(m+\frac{1}{2})^2}, \;\)
co łatwo ustalić w oparciu o wzory Viete'a.

Można pokazać, że funkcja \(f\;\) jest rosnąca w \(\left(-6,-\frac{1}{2}\right)\;\) i malejąca w \(\left(-\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right)\;\) (trudne!), co oznacza że funkcja \(f\;\) nie ma wartości największej ani najmniejszej.

Rozwiązanie II Przyjmujemy, że w twierdzeniu należy uwzględnić "dwa identyczne pierwiastki równania". Postulujemy więc, aby
\( \Delta\geq 0,\quad \mathrm{ czyli }\quad (m-5)^2-4\left(m^2+m+\frac{1}{4}\right)\geq0, \quad\mathrm{ tzn. }\quad m\in\left[-6,\frac{4}{3}\right]. \;\)
Skoro mowa jest o ilorazie sumy rozwiązań \(x_1+x_2\;\) i iloczynu rozwiązań \(x_1x_2\;\), to trzeba założyć, iż 0 nie jest rozwiązaniem równania, tzn.
\( m^2+m+\frac{1}{4}\ne 0\quad \mathrm{ tzn. }\quad m\ne-\frac{1}{2}. \;\)
Tak więc funkcja opisująca zależność \(\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}\;\) od wartości parametru \(m\;\;\) ma dziedzinę równą \(\left[-6,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right]\;\) i zadana jest wzorem
\( f(m) = \frac{-(m-5)}{m^2+m+\frac{1}{4}} = \frac{5-m}{(m+\frac{1}{2})^2} , \;\)
co wynika ze wzorów Viete'a, gdyż prawdziwe są także, gdy \(x_1=x_2\;\).

Można pokazać, że funkcja \(f\;\) jest rosnąca w \(\left[-6,-\frac{1}{2}\right)\;\) i malejąca w \(\left(-\frac{1}{2},\frac{4}{3}\right]\;\) (trudne!) i wobec tego wartością najmniejszą jest mniejsza z liczb \(f(-6)=\frac{4}{11}\;\) i \(f(\frac{4}{3})=12\;\), czyli \(\frac{4}{11}\;\).

Rozwiązanie II było wskazane w kluczu jako wzorcowe, ale nieco później komisja uznała, że należy oba rozwiązania traktować jako poprawne

III. Równanie \(W(x)=0\;\), gdzie \(W(x)\;\) jest wielomianem stopnia większego niż 2.

Ogólna strategia rozwiązywania równań polega na zapisaniu wielomianu \(W(x)\;\) w postaci iloczynowej. Można to osiągnąć rozmaitymi metodami.

Metoda 1. Grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnych czynników przed nawias

Zadanie 6.1. Rozwiązać równanie \(x^3+2x^2-3x-6=0\;\).

Zadanie 6.2. Rozwiązać równanie \(2x^5+3x^4+2x^3+3x^2=0\;\).

Zadanie 6.3. Rozwiązać równanie \(4x^3+8ax^2=-x^2-2ax\;\) w zależności od wartości parametru \(a\;\).

Metoda 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia

Zadanie 6.4. Rozwiązać równanie \(x^4-8x^2+16=0\;\).

Zadanie 6.5. Rozwiązać równanie \((2x^2-5x)^2-(4x^2+1)^2=0\;\).

Zadanie 6.6. Rozwiązać równanie \((3x-1)^3-3(3x-1)^2+3(3x-1)-1=0\;\).

Zadanie 6.7. Rozwiązać równanie \(x^4-4x^2-21=0\;\).

Metoda 3. Grupowanie wyrazów połączone z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia

Zadanie 6.8. Rozwiązać równanie \(x^7-x^4-16x^3+16=0\;\).

Zadanie 6.9. Rozwiąż równanie \(x^3-3x+2=0\;\).

Zadanie 6.10. Rozwiąż równanie \(x^4+3x^3+x^2-3x-2=0\;\).

Metoda 4. Użycie zmiennej pomocniczej

Zadanie 6.11. Rozwiązać równanie \(x^6+3x^4-3x^2-1=0\;\).

Zadanie 6.12. Rozwiązać równanie \(4x^4-4x^3-5x^2+3x+2=0\;\).

Metoda 5. Obniżanie stopnia wielomianu w oparciu o twierdzenie Bézouta

Metoda omówiona poniżej jest naturalnym sposobem rozwiązywania równań, w których występuje wielomian o współczynnikach całkowitych. Warto ją zastosować w sytuacji, gdy nie przychodzi nam do głowy żaden sposób grupowania wyrazów ani wprowadzenia zmiennej pomocniczej.

Rozwiązywanie równania wielomianowego \(W(x)=0\;\) tą metodą przebiega w kilku etapach:

• I etap Odgadujemy lub odnajdujemy jedną liczbę \(c\;\) spełniającą równanie \(W(x)=0\;\). Pomocne tutaj może być Twierdzenie 4.1. , lub Twierdzenie 4.2. (patrz również Uwaga 4.5.).
• II etap W oparciu o twierdzenie Bézouta (Twierdzenie 5.5) stwierdzamy, że wielomian \(W(x)\;\) jest podzielny przez dwumian \(x-c\;\).
• III etap Dzielimy wielomian \(W(x)\;\) przez dwumian \(x-c\;\) i uzyskujemy rozkład wielomianu \(W(x)\;\) na iloczyn \((x-c)I(x)\;\), przy czym \(I(x)\;\) jest wielomianem stopnia niższego o jeden od stopnia wielomianu \(W(x)\;\), Dzielenie można wykonać na różne sposoby, szczególnie wygodny jest tutaj schemat Hornera. (patrz Rozdział 6. Dzielenie wielomianów)
• IV etap Zamieniamy równanie \(W(x)=0\;\) na alternatywę równań
  \(x-c=0 \quad\mathrm{ lub }\quad I(x)=0.\;\)
  Istotne jest, że wielomian \(I(x)\;\) ma stopień niższy niż wielomian \(W(x)\;\).
• V etap Rozwiązujemy równanie \(I(x)=0\;\) dowolnym sposobem. Czasami dla równania \(I(x)=0\;\) stosuje się ponownie niniejszą procedurę.

Zademonstrujemy metodę na przykładach.

Zadanie 6.13. Rozwiąż równanie \(2x^3-4x^2+x+1\;\).

Zadanie 6.14. Rozwiązać równanie \(x^4+3x^3-3x^2-7x+6=0\;\).

Uwaga 6.4. (o związku między rozkładem wielomianu na czynniki i rozwiązywaniem równania wielomianowego) W trakcie rozwiązywania niektórych równań wielomianowych \(W(x)=0\;\) otrzymaliśmy rozkład wielomianu \(W(x)\;\) na czynniki nierozkładalne, np.

• w Zadaniu 6.2. równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \(x^2(2x+3)(x^2+1)=0\;\),
• w Zadaniu 6.3. równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \(x(4x+1)(x+2a)=0\;\),
• w Zadaniu 6.4. równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \((x-2)^2(x+2)^2=0\;\),
• w Zadaniu 6.6. równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \((3x-2)^2=0\;\),
• w Zadaniu 6.8 równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \((x-2)(x+2)(x^2+4)(x-1)(x^2+x+1)=0\;\),
• w Zadaniu 6.10 równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \((x-1)(x+1)^2(x+2)=0\;\),
• w Zadaniu 6.14 równanie \(W(x)=0\;\) przyjęło postać \((x-1)^2(x+2)(x+3)=0\;\).

W każdym z otrzymanych równań wielomian \(W(x)\;\) jest zapisany w postaci iloczynowej, w której czynnikami są albo dwumiany liniowe albo wielomiany drugiego stopnia z wyróżnikiem mniejszym od 0. Zapisy te stanowią ilustrację Twierdzenia 5.7. i Twierdzenia 5.8.

W pozostałych zadaniach nie pojawiła się w końcowej fazie taka postać iloczynowa, bo otrzymanie trójmianów kwadratowych pozwalało na szybkie uzyskanie zbioru rozwiązań równania, ale oczywiście w każdym z tych przypadków można by taką postać wielomianu wyjściowego zapisać.

Znajomość postaci iloczynowej wielomianu \(W(x)\;\), w której występują tylko czynniki liniowe lub kwadratowe z wyróżnikiem ujemnym pozwala natychmiast podać zbiór rozwiązań równania \(W(x)=0\;\), ale nie jest do rozwiązania tego równania konieczna. Demonstrujemy to w kolejnym zadaniu.

Zadanie 6.15. Rozwiązać równanie \(3x^{10}-3x^8+2x^2-2=0\;\).

W postaciach iloczynowych wielomianów wspomnianych w Uwadze 6.4. czynniki liniowe występują w rozmaitych potęgach. To zjawisko wiąże się z pojęciem krotności pierwiastka wielomianu.

Definicja 6.1. Liczba \(c\;\) jest pierwiastkiem krotności \(k\;\) (\(k\in\mathbb{N}_1\;\)) wielomianu \(W(x)\;\), jeśli wielomian \(W(x)\;\) jest podzielny przez \((x-c)^k\;\) i nie jest podzielny przez \((x-c)^{k+1}\;\).

Przykład 6.3. Wielomian \(W(x)=6(x+1)^2(x-3)^4(x^2+1)\;\) ma dwa pierwiastki \(-1\;\) i 3. Liczba \(-1\;\) jest pierwiastkiem krotności \(2\;\), liczba \(3\;\) jest pierwiastkiem krotności \(4\;\).

Istotnie mamy:

• \(W(x)=(x+1)^2\big[(x-3)^4(x^2+1) \big]\;\), czyli \(W(x)\;\) jest podzielny przez \((x+1)^2\;\),
• iloraz \(I(x)=(x-3)^4(x^2+1)\;\) nie jest podzielny przez dwumian \(x+1\;\), gdyż \(I(-1)=(-1-3)^4((-1)^2+1)=512\ne 0\;\).

Ponadto

• \(W(x)=(x-3)^4\big[(x+1)^2(x^2+1)\big]\;\), czyli \(W(x)\;\) jest podzielny przez \((x-3)^4\;\),
• iloraz \(J(x)=(x+1)^2(x^2+1)\;\) nie jest podzielny przez dwumian \((x-3)^5\;\), gdyż \(J(3)=(3+1)^2(3^2+1)=160\ne 0\;\).

W obu sytuacjach w punkcie drugim skorzystaliśmy z twierdzenia Bézouta (Twierdzenie 5.5).

Przykład 6.4. Wielomian \(W(x)=6x^4+2x^2\;\) ma jeden pierwiastek i jest nim liczba \(0\;\). Pierwiastek ten ma krotność \(2\;\). Dzielenie wielomianu \(W(x)\;\) przez \(x^2\;\) przedstawia równość wielomianów
\( W(x)=x^2(6x^2+2)=(x-0)^2(6x^2+2). \;\)
Iloraz \(K(x)=6x^2+2\;\) nie jest podzielny przez \(x\;\). Wynika to z zapisu \(K(x)=x\cdot(6x)+2\;\). (Można też użyć argumentu \(K(0)=2\;\), więc \(K(x)\;\) nie jest podzielny przez \(x-0=x\;\)).

W Przykładach mamy podaną jawną postać iloczynową wielomianu. W Zadaniu 6.16. należy ustalić krotność pierwiastka wychodząc od uporządkowanej postaci wielomianu.

Zadanie 6.16. Sprawdź, że liczba \(2\;\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x) = x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8\;\). Określ krotność tego pierwiastka.

Zadanie 6.17. Rozwiąż równanie \(x^5-5x^4+9x^3-9x^2+8x-4=0\;\). Określ krotność każdego z pierwiastków.

Zadanie 6.18. Przedstaw wielomian \(W(x)= x^6-6x^5+14x^4-22x^3+27x^2-20x+6\;\) w postaci iloczynowej. Określ krotność każdego z pierwiastków.

Twierdzenie 6.1 (Viete'a dla wielomianów trzeciego stopnia):

Jeśli wielomian trzeciego stopnia \(W(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\;\) można przedstawić w postaci iloczynowej \(W(x)=a_3(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)\;\), gdzie \(c_1,c_2,c_3\;\) są liczbami rzeczywistymi, niekoniecznie różnymi, to prawdziwe są równości: \( \left\{\begin{array}{l} c_1+c_2+c_3 = -\frac{a_2}{a_3}\\ c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3 = \frac{a_1}{a_3}\\ c_1c_2c_3 = -\frac{a_0}{a_3}. \end{array}\right. \;\) Jeśli dla wielomianu \(F(x)=x^3+Px^2+Qx+R\;\) można wskazać liczby rzeczywiste \(c_1,c_2,c_3\;\) (niekoniecznie równe) takie, że \( \left\{\begin{array}{l} c_1+c_2+c_3 = -P\\ c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3 = Q\\ c_1c_2c_3 = -R, \end{array}\right. \;\) to liczby \(c_1,c_2,c_3\;\) są pierwiastkami wielomianu \(F(x)\;\) i prawdziwa jest równość wielomianów \(F(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3).\;\)

Zadanie 6.19. Czy istnieją takie wartości parametrów \(m\;\) i \(n\;\), dla których liczby \(1\;\) i \(-1\;\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=2x^3+mx^2+nx+3\;\)? Jeśli tak, podaj te wartości oraz zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu.

Rozwiązanie:

Uwaga 6.5. (terminologiczna --- kontynuacja Uwagi 6.2. W Uwadze 6.2. wskazano przykłady nieporozumień, które mogą wynikać przy używaniu terminu "pierwiastki równania". Podobne kłopoty mogą pojawić się w kontekście równań wielomianowych wyższych stopni.

Przykład 6.5. Rozważmy równanie \((x-2)^3(x+5)^2=0\;\). Łatwo pokazać interpretacje zwrotów:

• "suma liczb spełniających równanie" : \(S=2-5=-3\;\),
• "suma rozwiązań równania" : \(S=2-5=-3\;\),
• "suma miejsc zerowych funkcji wielomianowej \(W:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;\), \(W(x)=(x-2)^3(x+5)^2\,\;\)" : \(S=2-5=-3\;\).

Z kolejnymi zwrotami jest już pewien kłopot:

• "suma pierwiastków wielomianu" oznacza \(S=2-5=-3\;\), jeśli nie uwzględniamy ich krotności, oraz \(S=2+2+2-5-5=-4\;\), jeśli uwzględnimy ich krotności, jak we wzorach Viete'a.

Co oznacza zwrot "suma pierwiastków równania" --- liczbę \(-3\;\) czy liczbę \(-4\;\). Doświadczenie pokazuje, że różni autorzy rozumieją ten zwrot rozmaicie. Zatem lepiej go unikać.

Na opisaną tutaj "niewygodę" terminologiczną należy szczególnie uważać przy rozwiązywaniu zadań z parametrem.

Uwaga 6.6. Istnieją odpowiedniki Twierdzenia 6.1. dla wielomianów wyższych stopni.