Processing math: 100%
Skip to Content

Równość wielomianów

pt., 09/10/2010 - 10:43 — ciebie

Są dwa sposoby sprawdzania czy wielomiany są równe. Pierwszy oparty jest na następującej intuicji: dwa wielomiany można uznać za równe, jeżeli oba są zerowe lub oba są niezerowe i ich postaci uporządkowane są identyczne. Dokładniej opisuje to

Definicja 3.1. Dwa wielomiany zmiennej x są równe wtedy i tylko wtedy, gdy oba są zerowe lub gdy oba mają ten sam stopień i takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

Przykład 3.1.:

Zgodnie z tą definicją wielomiany
W(x)=4x3+2x2−x+1iP(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
a=0,b=4,c=2,d=−1ie=1.

W oparciu o Definicję 3.1. można rozwiązać następujące zadania.

Zadanie 3.1. Czy istnieje taka liczba a, dla której wielomiany

  1. W(x)=x3−3ax2−9x−1 iP(x)=x3+12x2+(2a−1)x−1 są równe?
  2. R(x)=x3−3ax2+7x iS(x)=x3+6x2+(a+1)x są równe?

Zadanie 3.2. Wskaż wszystkie takie pary liczb a i b, że wielomiany

  1. W(x)=x3−2ax2+bx+1 iP(x)=x(x−(a+b))(x−2)+1 są równe.
  2. R(x)=x3−2ax2+bx+1 iS(x)=x(x−(a+b))(x−2) są równe.

Zadanie 3.3. Czy istnieje taka liczba a, dla której wielomiany M(x)=5x4−2x3+a2x2+x+2 i N(x)=5x4−ax3+4x2+x+2 są równe?

Drugi sposób sprawdzania równości wielomianów oparty jest na następującej definicji:

Definicja 3.2. Dwa wielomiany zmiennej x są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy podstawieniu za zmienną x dowolnej liczby oba wielomiany przyjmują tę samą wartość.

Przykład 3.2:

W oparciu o tę definicję łatwo można uzasadnić, że np. wielomiany
W(x)=(x−1)(x2+4x−1)+3iP(x)=x3+3x2−5x+3
nie są równe. Wystarczy zauważyć, że
W(1)=(1−1)(12+4⋅1−1)+3=3,P(1)=13+3⋅12−5⋅1+3=2.
Skoro W(1)≠P(1), to nie może być równości wielomianów W(x)=P(x).

Uwaga 3.1. (dotycząca Zadań 3.1., 3.2. i 3.3.) W sytuacji, gdy korzystaliśmy w zadaniach z Definicji 3.2., rozwiązania polegały na tym, że szukaliśmy wartości parametrów, przy których możliwa jest równość wielomianów, a następnie rozstrzygaliśmy, czy te wielomiany są równe. Zadanie 3.3. pokazuje, że drugi etap rozwiązania jest niezbędny.

Image:End_of_proof.gif

Zanim sformułowane zostanie Twierdzenie 3.2. opisujące powiązania między Definicję 3.1. i Definicją 3.2., podamy twierdzenie, które ułatwia przeprowadzenie dowodu tego twierdzenia.

Twierdzenie 3.1.:

Jeśli wyrażenie W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 ma tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x0 przyjmuje wartość W(x0)=0, to an=an−1=…=a1=a0=0.

W oparciu o Twierdzenie 3.1. można udowodnić

Twierdzenie 3.2.:

Wielomiany W(x) i P(x) spełniają warunki Definicji 3.1. wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają warunek Definicji 3.2.

Uwaga 3.2. Dzięki Twierdzeniu 3.2. w trakcie rozwiązywania zadań możemy posługiwać się zarówno Definicją 3.1. jak i Definicją 3.2., i w zależności od sytuacji wybierać tę, która nam się wydaje w danej chwili wygodniejsza. Trzeba zdawać sobie sprawę z tego, że w niektórych zadaniach dokonanie wyboru jednego z dwóch kryteriów równości wielomianów decyduje o tym, iż rozwiązanie zadania stanie się łatwiejsze bądź trudniejsze. Porównując rozwiązania Zadań 3.2. i 3.3. w oparciu o każdą z definicji można stwierdzić np., iż Zadanie 3.3. łatwiej rozwiązać posługując się Definicją 3.1., a Zadanie 3.2. podpunkt 2. ma prostsze rozwiązanie, jeśli odwołać się do Definicji 3.2.

Image:End_of_proof.gif

W rzeczywistości dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych prawdziwe jest znacznie silniejsze twierdzenie niż Twierdzenie 3.1.

Twierdzenie 3.3.:

Jeśli wielomian W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0, gdzie n jest pewną liczbą całkowitą nieujemną, przyjmuje wartość 0 dla n+1 różnych liczb rzeczywistych podstawionych za x, to przyjmuje wartość 0 dla dowolnej liczby podstawionej za x.

Dowód wymaga szerszej wiedzy matematycznej i dlatego go opuszczamy.

Image:End_of_proof.gif

Z Twierdzenia 3.3. wynika jeszcze jedno twierdzenie o równości wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie 3.4.:

Jeżeli dwa wielomiany stopnia n przyjmują jednakowe wartości dla n+1 różnych liczb, to są równe.

Uwaga 3.3. Zapis symboliczny W(x)=P(x) może być rozumiany na różne sposoby.

  1. Wielomiany W(x) i P(x) są równe, i to, jak już wspomniano, zarówno w sensie Definicji 3.1. jak i Definicją 3.2.
  2. Równość W(x)=P(x) oznacza równość wartości wielomianów dla x.
  3. Równość W(x)=P(x) traktujemy jako równanie, czyli sygnał, że szukamy tych liczb, dla których wartości wielomianów W(x) i P(x) są równe.

Dlatego tutaj zarówno w sformułowaniach definicji jak i w zadaniach piszemy słowami wielomiany W(x) i P(x) są równe.

Używamy również następującej konwencji,

  • zapis "… wielomian W(x)=3x2−5x+2" oznacza, że wielomianowi 3x2−5x+2 została nadana nazwa W(x),
  • zapis "… równanie W(x)=3x2−5x+2" oznacza, że zastanawiamy się, dla jakich wartości zmiennej wielomiany W(x) i 3x2−5x+2 mają te same wartości.

W wielu podręcznikach i zbiorach zadań używa się zapisów skróconych i czytając je należy samemu rozstrzygnąć, o jakie znaczenie autorowi chodzi. Jeśli uznamy, że chodzi o równość wielomianów, to trzeba pamiętać, że wiąże się ona zarówno z Definicją 3.1. jak i Definicją 3.2.

Image:End_of_proof.gif


Theme by Dr. Radut.