Są dwa sposoby sprawdzania czy wielomiany są równe. Pierwszy oparty jest na następującej intuicji: dwa wielomiany można uznać za równe, jeżeli oba są zerowe lub oba są niezerowe i ich postaci uporządkowane są identyczne. Dokładniej opisuje to
Definicja 3.1. Dwa wielomiany zmiennej \(x\;\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy oba są zerowe lub gdy oba mają ten sam stopień i takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \(x\;\).
| Przykład 3.1.: |
|
Zgodnie z tą definicją wielomiany |
W oparciu o Definicję 3.1. można rozwiązać następujące zadania.
Zadanie 3.1. Czy istnieje taka liczba \(a\;\), dla której wielomiany
- \(W(x) = x^3-3ax^2-9x-1\;\) i\(P(x)=x^3+12x^2+(2a-1)x-1\;\) są równe?
- \(R(x) = x^3-3ax^2+7x\;\) i\(S(x) = x^3+6x^2+(a+1)x\;\) są równe?
Zadanie 3.2. Wskaż wszystkie takie pary liczb \(a\;\) i \(b\;\), że wielomiany
- \(W(x) = x^3-2ax^2+bx+1\;\) i\(P(x) = x\big (x-(a+b)\big )(x-2)+1\;\) są równe.
- \(R(x) = x^3-2ax^2+bx+1\;\) i\(S(x) = x\big (x-(a+b)\big )(x-2)\;\) są równe.
Zadanie 3.3. Czy istnieje taka liczba \(a\;\), dla której wielomiany \(M(x)=5x^4-2x^3+a^2x^2+x+2\;\) i \(N(x) = 5x^4-ax^3+4x^2+x+2\;\) są równe?
Drugi sposób sprawdzania równości wielomianów oparty jest na następującej definicji:
Definicja 3.2. Dwa wielomiany zmiennej \(x\;\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy podstawieniu za zmienną \(x\;\) dowolnej liczby oba wielomiany przyjmują tę samą wartość.
| Przykład 3.2: |
|
W oparciu o tę definicję łatwo można uzasadnić, że np. wielomiany |
Uwaga 3.1. (dotycząca Zadań 3.1., 3.2. i 3.3.) W sytuacji, gdy korzystaliśmy w zadaniach z Definicji 3.2., rozwiązania polegały na tym, że szukaliśmy wartości parametrów, przy których możliwa jest równość wielomianów, a następnie rozstrzygaliśmy, czy te wielomiany są równe. Zadanie 3.3. pokazuje, że drugi etap rozwiązania jest niezbędny.
Zanim sformułowane zostanie Twierdzenie 3.2. opisujące powiązania między Definicję 3.1. i Definicją 3.2., podamy twierdzenie, które ułatwia przeprowadzenie dowodu tego twierdzenia.
| Twierdzenie 3.1.: |
|
Jeśli wyrażenie \(W(x)=a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\;\) ma tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x_0\;\) przyjmuje wartość \(W(x_0)=0\;\), to \(a_ n=a_{n-1}=\ldots =a_1=a_0=0\;\). |
W oparciu o Twierdzenie 3.1. można udowodnić
| Twierdzenie 3.2.: |
|
Wielomiany \(W(x)\;\) i \(P(x)\;\) spełniają warunki Definicji 3.1. wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają warunek Definicji 3.2. |
Uwaga 3.2. Dzięki Twierdzeniu 3.2. w trakcie rozwiązywania zadań możemy posługiwać się zarówno Definicją 3.1. jak i Definicją 3.2., i w zależności od sytuacji wybierać tę, która nam się wydaje w danej chwili wygodniejsza. Trzeba zdawać sobie sprawę z tego, że w niektórych zadaniach dokonanie wyboru jednego z dwóch kryteriów równości wielomianów decyduje o tym, iż rozwiązanie zadania stanie się łatwiejsze bądź trudniejsze. Porównując rozwiązania Zadań 3.2. i 3.3. w oparciu o każdą z definicji można stwierdzić np., iż Zadanie 3.3. łatwiej rozwiązać posługując się Definicją 3.1., a Zadanie 3.2. podpunkt 2. ma prostsze rozwiązanie, jeśli odwołać się do Definicji 3.2.
W rzeczywistości dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych prawdziwe jest znacznie silniejsze twierdzenie niż Twierdzenie 3.1.
| Twierdzenie 3.3.: |
|
Jeśli wielomian \(W(x)=a_ nx^ n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0\;\), gdzie \(n\;\) jest pewną liczbą całkowitą nieujemną, przyjmuje wartość 0 dla \(n+1\;\) różnych liczb rzeczywistych podstawionych za \(x\;\), to przyjmuje wartość 0 dla dowolnej liczby podstawionej za \(x\;\). |
Dowód wymaga szerszej wiedzy matematycznej i dlatego go opuszczamy.
Z Twierdzenia 3.3. wynika jeszcze jedno twierdzenie o równości wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.
| Twierdzenie 3.4.: |
|
Jeżeli dwa wielomiany stopnia \(n\;\) przyjmują jednakowe wartości dla \(n+1\;\) różnych liczb, to są równe. |
Uwaga 3.3. Zapis symboliczny \(W(x)=P(x)\;\) może być rozumiany na różne sposoby.
- Wielomiany \(W(x)\;\) i \(P(x)\;\) są równe, i to, jak już wspomniano, zarówno w sensie Definicji 3.1. jak i Definicją 3.2.
- Równość \(W(x)=P(x)\;\) oznacza równość wartości wielomianów dla \(x\;\).
- Równość \(W(x)=P(x)\;\) traktujemy jako równanie, czyli sygnał, że szukamy tych liczb, dla których wartości wielomianów \(W(x)\;\) i \(P(x)\;\) są równe.
Dlatego tutaj zarówno w sformułowaniach definicji jak i w zadaniach piszemy słowami wielomiany \(W(x)\;\) i \(P(x)\;\) są równe.
Używamy również następującej konwencji,
- zapis "\(\ldots\;\) wielomian \(W(x)=3x^2-5x+2\;\)" oznacza, że wielomianowi \(3x^2-5x+2\;\) została nadana nazwa \(W(x)\;\),
- zapis "\(\ldots\;\) równanie \(W(x)=3x^2-5x+2\;\)" oznacza, że zastanawiamy się, dla jakich wartości zmiennej wielomiany \(W(x)\;\) i \(3x^2-5x+2\;\) mają te same wartości.
W wielu podręcznikach i zbiorach zadań używa się zapisów skróconych i czytając je należy samemu rozstrzygnąć, o jakie znaczenie autorowi chodzi. Jeśli uznamy, że chodzi o równość wielomianów, to trzeba pamiętać, że wiąże się ona zarówno z Definicją 3.1. jak i Definicją 3.2.