Równość wielomianów (zadania)

Zadanie 3.1. (p) Dla jakich $a\;$ wielomiany
$P(x)=3(x-a)(x+2)\quad \textrm{i}\quad Q(x)=(2a-3)x^2-ax-a^2-9\;$
są równe?

Zadanie 3.2. (p) Dla jakich $a\;$ wielomiany
$P(x)=x^2-2a-6\quad \textrm{i} \quad Q(x)=x^2+(a^2-9)(x+1)\;$
są równe?

Zadanie 3.3. (p $\ast$) Dla jakich a wielomiany
$P(x)=x^2+(a+2)(x+1)\quad \textrm{i} \quad Q(x)=x^2+a^2(a-1)x+a^2\;$
są równe?

Zadanie 3.4. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby rzeczywiste $a\;$ i $b\;$, dla których każda liczba rzeczywista $x\;$ jest rozwiązaniem równania
$x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(ax+b). \;$

Zadanie 3.5. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby rzeczywiste $a\;$ i $b\;$, dla których każda liczba rzeczywista $x\;$ jest rozwiązaniem równania
$x^3+x^2+x-3=(x^2+2x-3)(ax+b). \;$

Zadanie 3.6. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby $a\;$ i $b\;$, dla których każda liczba rzeczywista $x\;$ jest rozwiązaniem równania
$x^3-3x^2-4x+12=(x^2-a^2)(x+b). \;$

Zadanie 3.7. (r$\ast\;$) Wyznacz wszystkie możliwe liczby $a\;$ i $b\;$, przy których każda liczba rzeczywista $x\;$ jest rozwiązaniem równania
$x^2+(a-b)x+a^2-b^2=x^2-x+5. \;$

Zadanie 3.8. (r) Wielomiany
$P(x)=(ax+b)(x^2-1)+(cx+d)(x^2+1) \;$
i
$Q(x)=6x^3+8x^2+2x+2 \;$
są równe. Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$, $d\;$.

Zadanie 3.9. (r$\ast\;$) Wielomiany
$P(x)=(x^2+ax+b)^2 \;$
i
$Q(x)=x^4-4x^3+cx^2-4x+d \;$
są równe. Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$, $d\;$.

Zadanie 3.10. (r$\ast\ast\;$) Wielomiany
$P(x)=x^2(ax+b)^2 \;$
i
$Q(x)=x(x-1)(x-c)(x-d) \;$
są równe. Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$, $d\;$.

Zadanie 3.11. (p$\ast\;$) Dane są wielomiany
$\begin{array}{rl} W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\ P(x)&=x^2+b,\\ Q(x)&=x^2+cx+1. \end{array}\;$
Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$ tak, aby wielomiany $W(x)+P(x)\;$ i $P(x)\cdot Q(x)\;$ były równe.

Zadanie 3.12. (p$\ast\;$) Dane są wielomiany
$\begin{array}{rl} W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\ P(x)&=x^2+b,\\ Q(x)&=x^2+cx+1. \end{array}\;$
Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$ tak, aby wielomian $W(x)-P(x)\cdot Q(x)\;$ był wielomianem zerowym.

Zadanie 3.13. (p$\ast\ast\;$) Dane są wielomiany
$\begin{array}{rl} W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\ P(x)&=x^2+b,\\ Q(x)&=x^2+cx+1. \end{array}\;$
Wyznacz $a\;$, $b\;$, $c\;$ tak, aby wielomian $W(x)-P(x)\cdot Q(x)\;$ był wielomianem stopnia 0.

Zadanie 3.14. (r $\ast\;$) Dane są wielomiany
$\begin{array}{rl} W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\ P(x)&=x^2+b. \end{array}\;$
Wyznacz $a\;$ i $b\;$ tak, aby $W(x)=(P(x))^2\;$.

Zadanie 3.15. (p) Podaj przykład jednomianów zmiennej $x\;$, które można wstawić w miejsce $A\;$, $B\;$ i $C\;$, aby zachodziły podane niżej równości wielomianów:

1. $A(x^2-6x+9)=3x^3+Bx+C,\;$
2. $A(x^3+2x+B)=6x^6-4x^4-C.\;$

Zadanie 3.16. (r$\ast\;$) Dla jakich $a\;$ i $b\;$ wielomian $P(x)=4x^4-ax^3+bx^2-32x+1\;$ jest kwadratem pewnego wielomianu?

Zadanie 3.17. (r$\ast\;$) Dla jakich $p\;$ i $q\;$ wielomian
$Q(x)=x^4+(3p+1)x^3+(3q-1)x^2+6x+9 \;$
jest kwadratem pewnego wielomianu?

Zadanie 3.18. (r$\ast\ast\;$) Dla jakich $a\;$ i $b\;$ wielomian $W(x)=ax^3+abx^2+(a+b-19)x+b\;$ jest trzecią potęgą pewnego dwumianu o współczynnikach całkowitych?

Zadanie 3.19. (r$\ast\ast\;$) Wyznacz wielomiany $P(x)\;$ i $Q(x)\qquad\;$ najniższego stopnia z możliwych tak, aby zachodziła równość wielomianów:
$(x^4+2x^3+3x^2+4x)P(x)+(x^3-x^2+x-4)Q(x)=x^4. \;$

Zadanie 3.20. (r$\ast\ast\;$) Znajdź wszystkie wielomiany $P(x)\;$ takie, że
$xP(x-1)=(x-2)P(x). \;$
(Witold Bednarek Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę)

Zadanie 3.21. (r$\ast\ast\;$) Znajdź wszystkie wielomiany $P(x)\;$ takie, że
$(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x). \;$
(Witold Bednarek Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę)