Zadanie 3.1. (p) Dla jakich \(a\;\) wielomiany
\(
P(x)=3(x-a)(x+2)\quad \textrm{i}\quad Q(x)=(2a-3)x^2-ax-a^2-9\;
\)
są równe?
Zadanie 3.2. (p) Dla jakich \(a\;\) wielomiany
\(
P(x)=x^2-2a-6\quad \textrm{i} \quad Q(x)=x^2+(a^2-9)(x+1)\;
\)
są równe?
Zadanie 3.3. (p \(\ast\)) Dla jakich a wielomiany
\(
P(x)=x^2+(a+2)(x+1)\quad \textrm{i} \quad
Q(x)=x^2+a^2(a-1)x+a^2\;\)
są równe?
Zadanie 3.4. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby rzeczywiste \(a\;\) i \(b\;\), dla których każda liczba rzeczywista \(x\;\) jest rozwiązaniem równania
\(
x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(ax+b).
\;\)
Zadanie 3.5. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby rzeczywiste \(a\;\) i \(b\;\), dla których każda liczba rzeczywista \(x\;\) jest rozwiązaniem równania
\(
x^3+x^2+x-3=(x^2+2x-3)(ax+b).
\;\)
Zadanie 3.6. (p) Wyznacz wszystkie możliwe liczby \(a\;\) i \(b\;\), dla których każda liczba rzeczywista \(x\;\) jest rozwiązaniem równania
\(
x^3-3x^2-4x+12=(x^2-a^2)(x+b).
\;\)
Zadanie 3.7. (r\(\ast\;\)) Wyznacz wszystkie możliwe liczby \(a\;\) i \(b\;\), przy których każda liczba rzeczywista \(x\;\) jest rozwiązaniem równania
\(
x^2+(a-b)x+a^2-b^2=x^2-x+5.
\;\)
Zadanie 3.8. (r) Wielomiany
\(
P(x)=(ax+b)(x^2-1)+(cx+d)(x^2+1)
\;\)
i
\(
Q(x)=6x^3+8x^2+2x+2
\;\)
są równe. Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\), \(d\;\).
Zadanie 3.9. (r\(\ast\;\)) Wielomiany
\(
P(x)=(x^2+ax+b)^2
\;\)
i
\(
Q(x)=x^4-4x^3+cx^2-4x+d
\;\)
są równe. Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\), \(d\;\).
Zadanie 3.10. (r\(\ast\ast\;\)) Wielomiany
\(
P(x)=x^2(ax+b)^2
\;\)
i
\(
Q(x)=x(x-1)(x-c)(x-d)
\;\)
są równe. Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\), \(d\;\).
Zadanie 3.11. (p\(\ast\;\)) Dane są wielomiany
\(\begin{array}{rl}
W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\
P(x)&=x^2+b,\\
Q(x)&=x^2+cx+1.
\end{array}\;\)
Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\) tak, aby wielomiany \(W(x)+P(x)\;\) i \(P(x)\cdot
Q(x)\;\) były równe.
Zadanie 3.12. (p\(\ast\;\)) Dane są wielomiany
\(\begin{array}{rl}
W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\
P(x)&=x^2+b,\\
Q(x)&=x^2+cx+1.
\end{array}\;\)
Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\) tak, aby wielomian \(W(x)-P(x)\cdot Q(x)\;\) był wielomianem zerowym.
Zadanie 3.13. (p\(\ast\ast\;\)) Dane są wielomiany
\(\begin{array}{rl}
W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\
P(x)&=x^2+b,\\
Q(x)&=x^2+cx+1.
\end{array}\;\)
Wyznacz \(a\;\), \(b\;\), \(c\;\) tak, aby wielomian \(W(x)-P(x)\cdot Q(x)\;\) był wielomianem stopnia 0.
Zadanie 3.14. (r \(\ast\;\)) Dane są wielomiany
\(\begin{array}{rl}
W(x)&=x^4+(a+1)x^2-a+1,\\
P(x)&=x^2+b.
\end{array}\;\)
Wyznacz \(a\;\) i \(b\;\) tak, aby \(W(x)=(P(x))^2\;\).
Zadanie 3.15. (p) Podaj przykład jednomianów zmiennej \(x\;\), które można wstawić w miejsce \(A\;\), \(B\;\) i \(C\;\), aby zachodziły podane niżej równości wielomianów:
- \(A(x^2-6x+9)=3x^3+Bx+C,\;\)
- \(A(x^3+2x+B)=6x^6-4x^4-C.\;\)
Zadanie 3.16. (r\(\ast\;\)) Dla jakich \(a\;\) i \(b\;\) wielomian \(P(x)=4x^4-ax^3+bx^2-32x+1\;\) jest kwadratem pewnego wielomianu?
Zadanie 3.17. (r\(\ast\;\)) Dla jakich \(p\;\) i \(q\;\) wielomian
\(
Q(x)=x^4+(3p+1)x^3+(3q-1)x^2+6x+9
\;\)
jest kwadratem pewnego wielomianu?
Zadanie 3.18. (r\(\ast\ast\;\)) Dla jakich \(a\;\) i \(b\;\) wielomian \(W(x)=ax^3+abx^2+(a+b-19)x+b\;\) jest trzecią potęgą pewnego dwumianu o współczynnikach całkowitych?
Zadanie 3.19. (r\(\ast\ast\;\)) Wyznacz wielomiany \(P(x)\;\) i \(Q(x)\qquad\;\) najniższego stopnia z możliwych tak, aby zachodziła równość wielomianów:
\(
(x^4+2x^3+3x^2+4x)P(x)+(x^3-x^2+x-4)Q(x)=x^4.
\;\)
Zadanie 3.20. (r\(\ast\ast\;\)) Znajdź wszystkie wielomiany \(P(x)\;\) takie, że
\(
xP(x-1)=(x-2)P(x).
\;\)
(Witold Bednarek Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę)
Zadanie 3.21. (r\(\ast\ast\;\)) Znajdź wszystkie wielomiany \(P(x)\;\) takie, że
\(
(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x).
\;\)
(Witold Bednarek Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę)