Zadanie 4.1. (p) Znajdź liczby \(a\;\) i \(b\;\) tak, aby liczby \(x_1=-1\;\) i \(x_2=1\;\) były pierwiastkami wielomianu \(W(x)=3x^4-ax^3+b.\;\)
Zadanie 4.2. (p) Wykazać, że liczby \(a,b,c\;\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)\;\) określonego wzorem \(W(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc.\;\)
Zadanie 4.3. (p) Wykaż, że wielomian \(W(x)=x^4+x^2+1\;\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Zadanie 4.4. (p\(\ast\;\)) Znajdź przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu \(W(x)=x^{100}+2x^{99}+\dots+100x-\frac{100\cdot 101}{2}\;\).
Zadanie 4.5. (p\(\ast\;\)) Sprawdź, że dla każdego \(c\in R\;\) wielomian
\(W(x)=(x+c+1)(x+c-2)(x-c^2-3)\;\)
ma trzy różne pierwiastki. Dla jakiego \(c\;\) suma tych pierwiastków jest najmniejsza? Znajdź tę najmniejszą sumę.