Pierwiastek wielomianu (zadania)

Zadanie 4.1. (p) Znajdź liczby $a\;$ i $b\;$ tak, aby liczby $x_1=-1\;$ i $x_2=1\;$ były pierwiastkami wielomianu $W(x)=3x^4-ax^3+b.\;$

Zadanie 4.2. (p) Wykazać, że liczby $a,b,c\;$ są pierwiastkami wielomianu $W(x)\;$ określonego wzorem $W(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc.\;$

Zadanie 4.3. (p) Wykaż, że wielomian $W(x)=x^4+x^2+1\;$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zadanie 4.4. (p$\ast\;$) Znajdź przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu $W(x)=x^{100}+2x^{99}+\dots+100x-\frac{100\cdot 101}{2}\;$.

Zadanie 4.5. (p$\ast\;$) Sprawdź, że dla każdego $c\in R\;$ wielomian
$W(x)=(x+c+1)(x+c-2)(x-c^2-3)\;$
ma trzy różne pierwiastki. Dla jakiego $c\;$ suma tych pierwiastków jest najmniejsza? Znajdź tę najmniejszą sumę.