Równania wielomianowe (zadania)

Zadanie 6.1. (r) Rozwiązać równania

1. \(x^4+2x^3+2x^2+2x+1=0\;\)
2. \(x^5-3x^4+3x^3-x^2=0\;\)
3. \(4x^2(x+2)^2-(x^2-4)^2=0\;\)
4. \((x+1)^3-(x-1)^3=2-x\;\)

Zadanie 6.2. (r\(\ast\;\))

1. Dla jakich wartości parametru \(a\;\) wszystkie rozwiązania równania \(x^2-4x+a=0\;\) są dodatnie?
2. Dla jakich wartości parametru \(a\;\) przynajmniej jedno rozwiązanie równania \(x^2-4x+a=0\;\) jest dodatnie?
3. Dla jakich wartości parametru \(a\;\) przynajmniej jedno rozwiązanie równania \(x^2-4x+a=0\;\) jest ujemne?
4. Dla jakich wartości parametru \(a\;\) wszystkie rozwiązanie równania \(x^2-4x+a=0\;\) są ujemne?

Zadanie 6.3. (r)

1. Dla jakich wartości parametru \(m\;\) równanie \(x^2-mx+4=0\;\) ma dokładnie jedno rozwiązanie?
2. Dla jakich wartości parametru \(m\;\) równanie \(x^2-mx+4=0\;\) ma dokładnie dwa rozwiązania?
3. Dla jakich wartości parametru \(m\;\) równanie \(x^2-mx+4=0\;\) ma co najwyżej jedno rozwiązanie?
4. Dla jakich wartości parametru \(m\;\) równanie \(x^2-mx+4=0\;\) ma co najmniej jedno rozwiązanie?

Zadanie 6.4. (r\(\ast\))

1. Wyznaczyć parametr \(k\;\) tak, by suma wszystkich rozwiązań równania \(9x^2-kx+1=0\;\) była równa \(\frac{1}{3}\;\).
2. Wyznaczyć parametr \(k\;\) tak, by różnica rozwiązań równania \(9x^2-kx+1=0\;\) była równa \(\frac{1}{3}\;\).

Zadanie 6.5. (r\(\ast\;\)) Wyznaczyć liczby naturalne \(n\;\), dla których równanie \(x^{n+1}+32=x^n+32x\;\) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 6.6. (r\(\ast\;\)) Wyznaczyć liczby naturalne \(n\;\), dla których równanie \(x^{n+1}+81=x^n+81x\;\) ma dokładnie trzy rozwiązania będące liczbami całkowitymi.

Zadanie 6.7. (r\(\ast\;\)) Wyznaczyć parametry \(k\;\) dla których równanie \(x^3+x^2+kx=0\;\) ma

1. trzy rzeczywiste rozwiązania,
2. dwa rzeczywiste rozwiązania,
3. jedno rzeczywiste rozwiązanie.

Ile jest wtedy pierwiastków wielomianu \(W(x)=x^3+x^2+kx\;\) i jaką mają krotność?

Zadanie 6.8. (r\(\ast\;\)) Wyznaczyć takie parametry \(m\;\), dla których równanie \(x^3-mx+m-1=0\;\) ma trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 6.9. (r\(\ast\;\)) Liczba \(2\;\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^4-4x^3+mx^2+nx-36\;\). Wyznaczyć współczynniki \(m\;\) i \(n\;\) oraz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 6.10. (r\(\ast\ast\;\)) Dla jakich wartości \(a\;\) i \(b\;\) wielomian \(W(x)=x^3-18x^2+ax+b\;\) ma trzy pierwiastki \(x_1\;\), \(x_2\;\), \(x_3\;\) takie, że \(x_2=2x_1\;\) oraz \(x_3=3x_1\;\). Znaleźć te pierwiastki.