Zadanie 1. Mandaryn, bażanty i króliki

W ogrodzie mandaryna były bażanty i króliki. Miały razem 35 głów i 94 nogi. Ile było bażantów, a ile królików?

Pokażemy kilka sposobów rozwiązania tego zadania bez układania równań.

A1. Pierwszy sposób polega po prostu na sprawdzeniu wszystkich przypadków. W tabeli w trzech kolumnach wypisujemy: liczbę królików, liczbę bażantów (od 35 odejmujemy liczbę królików) i liczbę nóg. Wynik tej nietrudnej, nieomal mechanicznej pracy jest następujący:

liczba królików	liczba bażantów	liczba nóg
0	35	70
1	34	72
2	33	74
3	32	76
4	31	78
5	30	80
6	29	82
7	28	84
8	27	86
9	26	88
10	25	90
11	24	92
12	23	94
13	22	96
14	21	98
...	...	...

Oczywiście można w ten sposób wypisać wszystkie możliwości (jest ich 36). Można też zauważyć, że jeśli zwiększa się liczba królików (i tym samym zmniejsza się liczba bażantów), to liczba nóg też się zwiększa. Zatem po znalezieniu rozwiązania (12 królików i 23 bażanty) możemy zaprzestać dalszych poszukiwań (tzn. wypisywania kolejnych liczb), bo w następnych wierszach tabeli liczba nóg będzie większa od 94.

liczba królików	liczba bażantów	liczba nóg
0	35	70
10	25	90
20	15	110
15	20	100
13	22	96
12	23	94

Próbujemy kilku liczb w pierwszej kolumnie, np. 0, 10, 20. Widzimy, że jeśli będzie 10 królików, to liczba nóg będzie za mała, jeśli zaś będzie 20 królików, to liczba nóg będzie za duża. Próbujemy wziąć 15 królików. Okazuje się, że liczba nóg znów jest za duża. Przy próbie 13 królików liczba nóg jest nadal za duża. Wreszcie znajdujemy właściwą odpowiedź: 12 królików i 23 bażanty.

A3. Trzeci sposób rozwiązania polega na dostrzeżeniu po wypisaniu kilku pierwszych wierszy pierwszej tabeli, że zwiększenie liczby królików o 1 powoduje zwiększenie liczby nóg o 2. Ponieważ w pierwszym wierszu mamy 70 nóg, a potrzebne są 94 nogi, więc musimy wypisać 12 następnych wierszy. Zatem liczba królików jest równa 12.

Zamiast od razu pospiesznie rozwiązać zadanie, spróbujmy zastanowić się starannie, w jaki sposób układamy równanie z jedną niewiadomą w zadaniach tekstowych. W naszym zadaniu mamy dwa warunki dotyczące wielkości nieznanych:

1. Warunek pierwszy. Łączna liczba zwierząt jest równa 35; tyle jest bowiem głów.
2. Warunek drugi. Liczba królików pomnożona przez 4 i liczba bażantów pomnożona przez 2 w sumie dają 94; tyle jest bowiem nóg (wiemy przecież, że każdy królik ma cztery nogi i każdy bażant ma dwie nogi).

Widzimy, że każdy z warunków powstaje z porównania dwóch informacji o wielkościach nieznanych. Warunek pierwszy powstaje z porównania informacji podanej w zadaniu, że liczba głów jest równa 35, z informacją, która wprawdzie w zadaniu nie jest zapisana wyraźnie, ale powinna być oczywista dla rozwiązującego to zadanie: każde zwierzę ma jedną głowę. Warunek drugi powstaje podobnie: z porównania informacji podanej w zadaniu, że liczba nóg jest równa 94, z informacją domyślną, że każdy królik ma 4 nogi i każdy bażant ma 2 nogi.

Układanie równania musimy zacząć od znalezienia takich dwóch warunków.

Następnie jedną z nieznanych wielkości przyjmujemy za niewiadomą x. Z jednego ze znalezionych warunków możemy teraz obliczyć drugą nieznaną wielkość, wyrażając ją za pomocą niewiadomej x. Wreszcie, drugi warunek zapisujemy w postaci równania. Popatrzmy teraz na przykłady pokazujące, w jaki sposób możemy ułożyć równanie z jedną niewiadomą w naszym zadaniu.

Pokażemy teraz kilka różnych równań, które można ułożyć do tego zadania.

Sposób B1. Niech x oznacza liczbę królików. Liczbę bażantów obliczymy korzystając z pierwszego warunku, a drugi zapiszemy jako nasze równanie. Mamy zatem:

x	liczba królików,
35 − x	liczba bażantów,
4x	liczba nóg królików,
2(35 − x)	liczba nóg bażantów.

Stąd otrzymujemy równanie 4x + 2(35 − x) = 94, którego rozwiązaniem jest x = 12 . Mandaryn ma zatem 12 królików i 23 bażanty.

Sposób B2. Niewiadomą będzie liczba bażantów. Liczbę królików wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi warunek znów zapiszemy jako nasze równanie.

Stąd otrzymujemy równanie 2x + 4(35 − x) = 94,którego rozwiązaniem jest x = 23 . Mandaryn ma zatem 23 bażanty i 12 królików.

Sposób B3. Niech x, jak w sposobie B1, oznacza liczbę królików.

Stąd otrzymujemy równanie \(x + \frac{94 - 4x }{ 2} = 35,\)którego rozwiązaniem jest x = 12 . Mandaryn ma zatem 12 królików i 23 bażanty.

Sposób B4. Niech x oznacza tym razem liczbę bażantów. Liczbę królików wyznaczymy z drugiego warunku i znów pierwszy zapiszemy jako równanie.

Stąd otrzymujemy równanie \(x + \frac{94-2x }{ 4} = 35,\)którego rozwiązaniem jest x = 23 . Mandaryn ma zatem 23 bażanty i 12 królików.

To wcale nie są jedyne równania, które można ułożyć do tego zadania. Możemy przecież przyjąć za x inną nieznaną wielkość, np. liczbę nóg królików. Akurat tu nie jest to najbardziej naturalne rozwiązanie, ale czasami takie z pozoru nienaturalne rozwiązania okazują się najbardziej praktyczne. Przyjrzyjmy się zatem takiemu rozwiązaniu:

Sposób B5. Niech x oznacza tym razem liczbę nóg królików. Liczbę królików i bażantów wyznaczymy z drugiego warunku i pierwszy warunek zapiszemy jako równanie.

Tym razem wprowadzamy dwie niewiadome oznaczające obie nieznane wielkości (liczbę królików i liczbę bażantów). Oba warunki nałożone w zadaniu na te nieznane wielkości zapisujemy w postaci równań. Ten sposób rozwiązania wymaga zatem także znalezienia najpierw obu warunków.

Otrzymany układ równań możemy rozwiązywać dwiema podstawowymi metodami: podstawiania i przeciwnych współczynników. Przyjrzyjmy się dokładniej obu sposobom, zaczynając od metody podstawiania.

• Wyznaczmy y z pierwszego równania i obliczoną wartość y podstawmy do drugiego równania: otrzymamy y = 35 − x, a drugie równanie zmieni się 4x + 2(35 − x) = 94. Zauważmy, że to równanie jest dokładnie równaniem z jedną niewiadomą otrzymanym powyżej (w sposobie B1).

• Wyznaczmy x z pierwszego równania i podstawmy otrzymaną wartość do drugiego równania: dostaniemy x = 35 − y, a drugie równanie przybierze postać 4(35 − y) + 2y = 94. Zauważmy, że jest to równanie otrzymanym w sposobie B2.

• Pozostawimy jako ćwiczenie sprawdzenie, że jeśli wyznaczymy jedną niewiadomą z drugiego równania i podstawimy otrzymaną wartość do pierwszego równania, to otrzymamy równania, które widzieliśmy w sposobach B3 i B4.

Nie powinno nas dziwić, że metoda podstawienia prowadzi nas do równań otrzymanych w sposobie B. Przeanalizujmy dokładniej sposób B1. Niewiadoma x oznaczała liczbę królików. Następnie obliczyliśmy liczbę bażantów, korzystając z pierwszej informacji podanej w zadaniu: tej mianowicie, że mandaryn miał łącznie 35 zwierząt. Zatem liczba bażantów była równa 35 − x . To właśnie jest wyznaczeniem niewiadomej y z pierwszego równania układu ze sposobu C. Następnie obliczamy liczbę nóg królików (jest ona równa 4x ) i bażantów (jest równa 4y , czyli po podstawieniu 4(35 − x) ).

Popatrzmy teraz na metodę przeciwnych współczynników. Pomnóżmy obie strony pierwszego równania przez 2 i popatrzmy na oba równania:

2x + 2y = 70

4x + 2y = 94

Stąd otrzymujemy 2x = 24 , czyli x = 12 . Pomnożenie obu stron pierwszego równania przez 2 ma następujący sens: gdyby każde z 35 zwierząt miało dwie nogi, to łącznie te zwierzęta miałyby 70 nóg. Teraz z drugiego równania dowiadujemy się, że dzięki x królikom zwierzęta mandaryna miały o 24 nogi więcej, a więc było 12 królików. Na tym dokładnie polegał sposób A3 rozwiązania zadania.

Może się wydawać dziwnym to, że w ogóle rozważamy sposoby rozwiązania tego zadania bez równań. Czy warto takie sposoby rozwiązania pokazywać uczniom i uczyć ich takiego sposobu podejścia do zadań tekstowych? Metody algebraiczne wydają się prostsze i są bardziej uniwersalne.

Spróbuję tu jednak uzasadnić, że warto poświęcić nieco czasu na naukę rozwiązywania zadań metodami niealgebraicznymi.

Zacznę od oczywistego stwierdzenia, że układ dwóch równań jest na ogół prostszy od równania z jedną niewiadomą. Główne trudności przenoszą się na raczej techniczną stronę: rozwiązania układu (np. metodą podstawienia), czyniąc prostszym proces najtrudniejszy dla ucznia: ułożenie równania. Nikt wszakże chyba nie wątpi w to, że naukę algebry należy jednak rozpocząć od równań z jedną niewiadomą, a nie od układów równań z dwiema niewiadomymi. Argument prostoty środków musi ustąpić wobec argumentu prostoty pojęć. Pojęcie równania z jedną niewiadomą jest na pewno łatwiejsze do przyswojenia niż pojęcie układu równań. Takie samo rozumowanie można przenieść szczebel niżej. Rozumowania bez równań są z pewnością pojęciowo prostsze od algebry. Wydaje się zatem właściwsze, by dość trudne pojęciowo zagadnienie układania równań poprzedzić prostszą analizą treści zadania również prowadzącą do rozwiązania.

Moje doświadczenia w pracy z uczniami gimnazjum każą mi myśleć, że jedną z najtrudniejszych rzeczy przy rozwiązywaniu zadań tekstowych jest znajdowanie tego, co wyżej nazwałem warunkami wiążącymi wielkości nieznane. Inaczej mówiąc, najtrudniejsze jest wyszukiwanie w treści zadania informacji istotnych i uświadamianie sobie, które informacje podane w zadaniu dotyczą tego samego (co pozwala sformułować odpowiedni warunek) lub które informacje podane w zadaniu muszą być uzupełnione samodzielnie przez ucznia informacjami w jakimś sensie w stosunku do zadania zewnętrznymi – tak jak to miało miejsce w zadaniu o królikach i bażantach. Uczniowie na ogół natychmiast dostrzegają warunek pierwszy i potrafią go sformułować; zdarza się, że uświadomienie sobie warunku drugiego sprawia uczniom kłopot. Moje doświadczenia pokazują, że uczniowie, którzy wcześniej próbują (nawet bez większego powodzenia) rozwiązywać zadania tekstowe bez równań, uczą się lepiej odczytywać treść zadania i doszukiwać się w niej informacji istotnych. Już z tego powodu warto poświęcić temu nieco czasu; powinien on się zwrócić wtedy, gdy będziemy uczyć układania równań.

Przedwczesna i nadmierna algebraizacja szkolnego programu matematyki doprowadziła do tego, że uczniowie na lekcjach matematyki myślą coraz rzadziej, zastępując myślenie wkuwaniem gotowych schematów postępowania. Bardzo często np. każde równanie kwadratowe jest rozwiązywane za pomocą wzorów z deltą (nawet równanie postaci x² + x = 0 ). Często widuje się uczniów, którzy ,,wymnażają” równanie postaci (x − 2)(x + 5) = 0 , by dopiero wtedy zastosować znane wzory. Wydaje się, że każda okazja, by na lekcji matematyki zmusić ucznia do samodzielnego myślenia, powinna być wykorzystana. Zadania tekstowe rozwiązywane z uczniami na początku I klasy gimnazjum dają właśnie taką okazję. Bardzo wielu uczniów radzi sobie z takimi zadaniami zupełnie nieźle. Większość z nich ostatecznie rozwiązuje zadanie różnymi metodami prób i błędów, odgadując odpowiedź lub przeszukując wszystkie przypadki. Nawet tak proste i skuteczne tylko w niektórych przypadkach sposoby rozwiązania dają uczniom wielką satysfakcję i poczucie własnego sukcesu. Pokazują przy tym, że zadanie matematyczne można rozwiązać samodzielnie, bez potrzeby uczenia się gotowych, "jedynych słusznych" metod podanych przez nauczyciela. Co więcej, uczniowie o wiele lepiej doceniają metody bardziej zaawansowane, bo dzięki nim mogą rozwiązać zadanie, którego zwykłą metodą przeszukania rozwiązać nie umieli – bo rozwiązanie nie było całkowite. Zresztą uświadomienie sobie, że w wielu zadaniach rozwiązania nie muszą być całkowite, jest już dużym zaskoczeniem dla niektórych uczniów.

Wreszcie warto przypomnieć nieco już zapomnianą dawną prawdę dydaktyczną: lepiej rozwiązać jedno zadanie wieloma sposobami niż wiele zadań tym samym sposobem.