Zadanie 2. Roztwory solanki

Ile kilogramów solanki trzydziestoprocentowej i ile dziesięcioprocentowej należy zmieszać, by otrzymać 10 kg solanki 24-procentowej?

W tym zadaniu spotykamy te same trzy podstawowe sposoby rozwiązania bez równań.

A1. Przeszukiwanie. Często widziałem uczniów gimnazjum próbujących rozwiązać to zadania metodą przeszukiwania. Wypisują oni kolejno możliwe – ich zdaniem – przypadki. W poniższej tabelce znajdują się przykładowe obliczenia; solanka I to solanka dziesięcioprocentowa, solanka II to solanka trzydziestoprocentowa, solanka III to otrzymana solanka powstała w wyniku zmieszania pierwszych dwóch solanek (wszystkie masy w kilogramach). Oznaczenia kolumn są następujące:

masa I	masa II	masa soli I	masa soli II	masa soli III	stężenie III
0	10	0	3	3	30%
1	9	0,1	2,7	2,8	28%
2	8	0,2	2,4	2,6	26%
3	7	0,3	2,1	2,4	24%

Już za czwartą próbą została znaleziona odpowiedź.

A2. Uczniowe próbujący najpierw wziąć tylko solankę,,bogatszą” (czyli II) stosowali czasami metodę kolejnych przybliżeń. Szczególnie często spotykałem tę metodę, gdy nieco zmieniałem treść zadania: zamiast 10 kg mieli otrzymać 100 kg solanki. Popatrzmy zatem na taki wariant zadania 2. :

Zadanie 2a. Ile kilogramów solanki trzydziestoprocentowej i ile dziesięcioprocentowej należy zmieszać, by otrzymać 100 kg solanki o stężeniu \(19{,}4\%\) ?

masa I	masa II	masa soli I	masa soli II	masa soli III	stężenie III
0	100	0	30	30	30%
10	90	1	27	28	28%
20	80	2	24	26	26%
30	70	3	21	24	24%
40	60	4	18	22	22%
50	50	5	15	20	20%
60	40	6	12	18	18%

Teraz uczeń może dostrzec, że właściwa ilość solanki I zawiera się między 50 i 60 kg.

masa I	masa II	masa soli I	masa soli II	masa soli III	stężenie III
55	45	5,5	13,5	19	19%
52	48	5,2	14,4	19,6	19,6%
53	47	5,3	14,1	19,4	19,4%

Mamy zatem wziąć 47 kg solanki trzydziestoprocentowej i 53 kg solanki dziesięcioprocentowej. Oczywiście ten sposób rozwiązania kończy się stosunkowo łatwo osiągalnym sukcesem dlatego, że dane w zadaniu zostały dobrane przyjaźnie dla ucznia: odpowiedź wyraża się liczbami całkowitymi. W przypadku, gdy odpowiedź nie jest tej postaci, próby rozwiązania tą metodą kończą się najczęściej niepowodzeniem. Niektórzy uczniowie wtedy po prostu stwierdzają, że nie umieją rozwiązać zadania, inni piszą, że zadanie nie ma rozwiązania; nie przychodzi im bowiem do głowy, że rozwiązanie może być liczbą niecałkowitą. Trzeba też wspomnieć, że niektórzy uczniowie próbują znaleźć rozwiązania niecałkowite i czasem im się to udaje.

Zadania, w których rozwiązanie nie jest liczbą całkowitą i w których w związku z tym często zawodzi metoda kolejnych przybliżeń są dla uczniów najlepszym argumentem za tym, że warto nauczyć się innych metod rozwiązywania, na przykład takich jak opisana w sposobie A3.

A3. Ten sposób rozwiązania to w zasadzie powtórzenie sposobu A3 z zadania 1. Rozumujemy następująco. Gdyby wziąć 10 kg solanki dziesięcioprocentowej, to w niej mielibyśmy 1 kg soli. Ale mamy otrzymać solankę 24-procentową, w której będzie 2,4 kg soli. Nadwyżkę 1,4 kg soli otrzymamy po zastąpieniu pewnej ilości solanki dziesięcioprocentowej solanką trzydziestoprocentową. W 1 kg solanki dziesięcioprocentowej jest 0,1 kg soli. W 1 kg solanki trzydziestoprocentowej jest 0,3 kg soli. Zastępując 1 kg solanki uboższej jednym kilogramem solanki bogatszej "zyskujemy" 0,2 kg soli. Ponieważ mamy "zyskać" 1,4 kg soli, więc musimy w ten sposób zastąpić 1,4:0,2 = 7 kg solanki. Stąd wynika, że musimy wziąć 7 kg solanki bogatszej i 3 kg solanki uboższej.

Ten sposób rozwiązania można też opisać za pomocą proporcji. Gdybyśmy wzięli 10 kg solanki uboższej, to mielibyśmy 1 kg soli. Gdybyśmy wzięli 10 kg solanki bogatszej, to mielibyśmy 3 kg soli. Maksymalna nadwyżka wynosi zatem 2 kg. Nadwyżka, której oczekujemy, wynosi (tak jak wyżej) 1,4 kg, czyli \(\frac{7 }{ 10}\) maksymalnej nadwyżki. Zatem \(\frac{7 }{ 10}\) całej masy solanki ma stanowić solanka bogatsza. Musimy jej wziąć 7 kg. Inaczej mówiąc, mamy proporcję:

W tym zadaniu także zaczniemy od szukania warunków wiążących wielkości nieznane. Nie znamy mas obu solanek. Pierwszy warunek wiążący te wielkości mówi, że suma tych mas jest równa 10 kg. Drugi warunek otrzymamy porównując masy soli w solance, którą mamy otrzymać. Z jednej strony wiemy, że masa soli po zmieszaniu solanek ma być równa sumie mas soli w obu solankach przed zmieszaniem. Z drugiej strony dowiadujemy się w zadaniu, że ta masa ma być równa 2,4 kg (bo tyle jest równe 24%całej masy 10 kg). Warunek drugi mówi zatem, że suma mas soli w obu solankach jest równa 2,4 kg. Przy najbardziej naturalnym wyborze niewiadomej ten warunek stanie się poszukiwanym równaniem. Tym razem omówię dwa podstawowe sposoby ułożenia równania z jedną niewiadomą.

Sposób B1. Niech x oznacza masę solanki dziesięcioprocentowej. Masę solanki trzydziestoprocentowej wyznaczymy z pierwszego warunku, a drugi warunek zapiszemy jako nasze równanie. Mamy zatem (wszystkie masy są wyrażane w kg):

x	masa solanki dziesięcioprocentowej,
10-x	masa solanki trzydziestoprocentowej,
\(\frac{10}{100}x\)	masa soli w solance dziesięcioprocentowej,
\(\frac{30}{100}(10-x)\)	masa soli w solance trzydziestoprocentowej.

Otrzymujemy równanie

\(\frac{10 }{ 100} \cdot x + \frac{30 }{ 100} \cdot (10 - x) = 2{,}4,\)

którego rozwiązaniem jest x = 3. Mamy zatem wziąć 3 kg solanki dziesięcioprocentowej i 7 kg solanki trzydziestoprocentowej.

Uwaga. Częstym błędem jest niekonsekwentne dobieranie jednostek. Uczniowie piszą np. takie równanie:
0,1x + 0,3(10 − x) = 2400.
Po lewej stronie równania masy są wyrażone w kilogramach, po prawej w gramach. Należy zatem zwracać szczególną uwagę na zgodność jednostek we wszystkich fazach rozwiązania (w opisie nieznanych wielkości i w równaniu).

Sposób B2.

x	masa solanki trzydziestoprocentowej,
10-x	masa solanki dziesięcioprocentowej,
\(\frac{30}{100}x\)	masa soli w solance trzydziestoprocentowej,
\(\frac{10}{100}(10-x)\)	masa soli w solance dziesięcioprocentowej.

Otrzymujemy równanie

\(\frac{30 }{ 100} \cdot x + \frac{10 }{ 100} \cdot (10 - x) = 2{,}4,\)

którego rozwiązaniem jest x = 7. Mamy zatem wziąć 7 kg solanki trzydziestoprocentowej i 3 kg solanki dziesięcioprocentowej.

Znów wprowadzamy dwie niewiadome oznaczające obie wielkości nieznane: masy obu solanek. Oba sformułowane wyżej warunki zapisujemy w postaci równań. A oto szczegóły (znów wszystkie masy są wyrażane w kg):

x	\(\quad \)	masa solanki dziesięcioprocentowej,
y		masa solanki trzydziestoprocentowej,
\(\frac{10}{100}x\)		masa soli w solance dziesięcioprocentowej,
\(\frac{30}{100}y\quad \)		masa soli w solance trzydziestoprocentowej.

Otrzymujemy stąd układ równań

x + y = 10

\(\frac{10 }{100} x + \frac{30 }{ 100} y = 2,4\)

którego rozwiązaniem jest

x = 3

y = 7

Mamy zatem wziąć 3 kg solanki dziesięcioprocentowej i 7 kg solanki trzydziestoprocentowej.

Zauważmy, że zadanie 2. nie różni się istotnie od zadania poprzedniego. Zasadnicza różnica polega na tym, że dla każdych danych sensownych - solanka, którą mamy otrzymać, ma mieć stężenie z przedziału \(\langle 10% , 30% \rangle\) - zadanie 2. ma rozwiązanie. Poprzednie zadanie, ze względu na to, że liczby królików i bażantów muszą być całkowite, nie dla każdych danych miało rozwiązanie. Na przykład, nie ma rozwiązania, gdy zwierzęta mandaryna mają razem 35 głów i 93 nogi. To, że w tym przypadku nie ma rozwiązania, jest od razu widoczne: liczba nóg jest nieparzysta, a powinna być parzysta. Jednak w nieco innym wariancie nie musi to być widoczne. Jeśli mandaryn hoduje siedmionogi i jedenastonogi, mające razem 35 głów i 329 nóg, to nie jest od razu widoczne, czy rozwiązanie istnieje. W tym przypadku istnieje: 14 siedmionogów i 21 jedenastonogów, ale dla innych danych o braku rozwiązania przekonamy się dopiero po próbie rozwiązania.

W zadaniu drugim każde dane sensowne prowadzą do rozwiązania, które nie musi być wyrażane liczbami całkowitymi. Na przykład zadanie:

Zadanie 2b. Ile kilogramów solanki trzydziestoprocentowej i ile dziesięcioprocentowej należy zmieszać, by otrzymać 10 kg solanki o stężeniu 19,4% ?

ma rozwiązanie niecałkowite: należy wziąć \(4,\! 7\) kg solanki trzydziestoprocentowej i \(5,\! 3\) kg solanki dziesięcioprocentowej.

I jeszcze jedno podobne zadanie, wyraźnie świadczące o zaletach sposobu A3:

Takie rozwiązanie rzeczywiście dość trudno znaleźć metodą kolejnych przybliżeń.

Rozwiązanie sposobem A3 kilkadziesiąt lat temu było standardowym sposobem rozwiązywania takich zadań w szkole podstawowej. Uczniów uczono takich sposobów analizy zadania.

Teraz chyba już się tego nie robi (lub robi się tylko w nielicznych szkołach). Algebraizacja programu nauczania doprowadziła do tego, że uczniowie przestają myśleć na lekcji matematyki, zastępując myślenie postępowaniem schematycznym. Zachęcam nauczycieli do uczenia takiego sposobu myślenia jak właśnie w sposobie A3.

Zajmijmy się chwilę analizą poprawności rozwiązania metodą przeszukiwania lub kolejnych przybliżeń. Jeśli rozwiązanie zadania musi być liczbą całkowitą i uczeń rzeczywiście sprawdzi wszystkie przypadki (co jest możliwe np. w zadaniu 1), to nikt nie będzie miał wątpliwości, że poprawnie rozwiązał zadanie. Jak jednak ocenić rozwiązanie metodą "prób i błędów", w której uczeń sprawdza tylko niektóre przypadki, zbliżając się do rozwiązania? Szczególnie zwracam uwagę na ten problem w rozwiązaniu Zadania~2 sposobem A2. Uczeń odgaduje, że rozwiązanie wyraża się liczbą całkowitą i znajduje je metodą kolejnych przybliżeń. Czy to rozwiązanie możemy zaakceptować u naszego ucznia i czy jest ono poprawne?

Możemy mieć wątpliwości dwojakiego rodzaju. Po pierwsze, wybrana metoda rozwiązania na ogół nie gwarantuje, że uczeń rozwiąże zadanie. Po drugie, a priori zadanie może mieć wiele rozwiązań, a tą metodą znajdziemy na ogół tylko jedno. Czy zatem możemy uznać rozwiązanie zadania za poprawne? Może się przecież okazać, że jest niekompletne. Ponadto zawsze możemy postawić zarzut, że nawet jeśli zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, to ta jedyność rozwiązania nie została wykazana i przez to będziemy mieli wątpliwość, czy rzeczywiście zostały znalezione wszystkie rozwiązania. Widzimy, że pierwszy zarzut dotyczy w zasadzie celu nauczania, drugi zaś dotyczy samej matematyki. Moje poglądy w obu kwestiach przedstawię na zakończenie całego tekstu.

Tutaj tylko stwierdzę, że zależność stężenia procentowego ("liczba procentów") mieszanki od masy solanki bogatszej jest liniowa (wyraża się wzorem f(x) = 2x + 10), więc jest monotoniczna. To pozwala łatwo znaleźć wynik, przybliżając go z góry i z dołu. Takie rozwiązania widziałem. W ten sposób można znaleźć także rozwiązania niecałkowite, choć zdarza się, że pojawiające się wtedy trudności przerastają możliwości uczniów.

Wielokrotnie widywałem rozwiązania metodą "przeszukiwania" mniej lub bardziej systematycznego. Odróżniam tę metodę od metody "prób i błędów”. W metodzie "prób i błędów" na ogół uczniowie przybliżają się do wyniku z obu stron. W metodzie "przeszukiwania" podążają z jednej strony (próbują kolejno: 0,5 kg solanki bogatszej, 1 kg, 1,5 kg, 2 kg i tak dalej). Jeśli natrafią na wynik, to dobrze; jeśli nie, to często poddają się.

Częste były też próby chaotyczne - strzelanie na oślep. W przypadku, gdy wynik był liczbą całkowitą, często ci uczniowie trafiali.