Zadanie 1

Dla jakich wartości \(i\) współczynnik dwumianowy \({n \choose i}\) przyjmuje wartość maksymalną, przy ustalonym \(n\)?

Zadanie 2

Wyprowadź wzór sumowania równoległego przez interpretację kombinatoryczną.

Zadanie 3

Wyprowadź wzór na sumowanie po górnym wskaźniku:
\[\sum_{i=0}^n {{i}\choose{ k}} = {{n+1}\choose{ k+1}}\]
na trzy sposoby:
a) indukcja z tożsamości Pascala,
b) interpretacja kombinatoryczna,
c) sumując przez różnice skończone.

Zadanie 4

Uprość następujące sumy:
(a) \(\sum_{i} i\, {{n}\choose{ i}} \)
(b) \(\sum_{i}i^2\, {{n}\choose{ i}}\)
(c) \(\sum_{k=0}^n (-1)^k {{n}\choose{ k}} {{k}\choose{ j}}\)
(d) \(\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} {{n}\choose{2k}}\, 2^{2k} \);
(e) \(\sum_{k=0}^m (-1)^k \,{{n}\choose{ k}}\, {{n}\choose{ m-k}}\)

Zadanie 5

Oblicz sumę
\[ \sum_{ A,B\subseteq X}|A\cup B|\ , \]
sumując po wszystkich parach \(\langle A, B\rangle \)
podzbiorów zbioru X, gdzie \(|X|=n\).