Zadanie 1

Dla jakich wartości $i$ współczynnik dwumianowy ${n \choose i}$ przyjmuje wartość maksymalną, przy ustalonym $n$?

Zadanie 2

Wyprowadź wzór sumowania równoległego przez interpretację kombinatoryczną.

Zadanie 3

Wyprowadź wzór na sumowanie po górnym wskaźniku:
$$\sum_{i=0}^n {{i}\choose{ k}} = {{n+1}\choose{ k+1}}$$
na trzy sposoby:
a) indukcja z tożsamości Pascala,
b) interpretacja kombinatoryczna,
c) sumując przez różnice skończone.

Zadanie 4

Uprość następujące sumy:
(a) $\sum_{i} i\, {{n}\choose{ i}}$
(b) $\sum_{i}i^2\, {{n}\choose{ i}}$
(c) $\sum_{k=0}^n (-1)^k {{n}\choose{ k}} {{k}\choose{ j}}$
(d) $\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} {{n}\choose{2k}}\, 2^{2k}$;
(e) $\sum_{k=0}^m (-1)^k \,{{n}\choose{ k}}\, {{n}\choose{ m-k}}$

Zadanie 5

Oblicz sumę
$$\sum_{ A,B\subseteq X}|A\cup B|\ ,$$
sumując po wszystkich parach $\langle A, B\rangle$
podzbiorów zbioru X, gdzie $|X|=n$.