Zadanie 1

Udowodnij, że każdy prostokąt łaciński można rozszerzyć do kwadratu.

Zadanie 2

Do kwadratu n x n wpisano po n liczb 1, 2,..., k (łącznie kn liczb) w taki sposób, że w żadnym wierszu ani kolumnie nie ma dwóch takich samych liczb. Udowodnij, że można uzupełnić ten kwadrat do kwadratu łacińskiego (tzn. w każdym wierszu i w każdej kolumnie zawierającego permutację liczb 1,...,n).

Zadanie 3

Zadanie 1

Centrum grafu G to zbiór wierzchołków v, dla których max_w d(v,w) jest najmniejsze. Udowodnij, że centrum drzewa to pojedynczy wierzchołek albo para wierzchołków połaczonych krawędzią.

Zadanie 2

Udowodnij twierdzenie Cayleya o zliczaniu drzew etykietowanych: K_n ma n^n-2 drzew rozpinających
(a) wskazując bijekcję między takimi drzewami a (n-2)-ciągami o elementach ze zbioru {1,...,n} (kody Prufera);
(b) sumując liczby drzew o ustalonym układzie stopni wierzchołków.

Zadanie 3

Zadanie 1

Udowodnij, że na każdym przyjęciu są dwie osoby o takiej samej liczbie
znajomych.

Zadanie 2

Udowodnij, że przynajmniej jeden z grafów G, G' (dopełnienie) jest spójny. Niech diam(G) oznacza średnicę grafu G (nieskończoność jeśli G jest niespójny) i niech f(G) = min(diam(G), diam(G')). Znajdź sup f(G) po wszystkich grafach G.

Zadanie 3

Udowodnij, że w K₆ dowolnie pokolorowanym krawędziowo na 2 kolory jest
monochromat. trojkat (są nawet dwa!), ale w K₅ niekoniecznie.

Zadanie 4

Rozstrzygnij, czy istnieje: