Zadanie 1

Wyrazić przez podłogi i sufity moc zbioru \(\mathbb{Z}\cap[a,b]\), \(\mathbb{Z}\cap[a,b)\), \(\mathbb{Z}\cap(a,b]\), \(\mathbb{Z}\cap(a,b)\), dla dowolnych rzeczywistych a, b.

Zadanie 2

Czy dla każdego rzeczywistego \(x\ge 1\) zachodzi równość \(\lceil\lg\lceil x\rceil\rceil = \lceil\lg x\rceil\)? Co jeśli wszystkie/niektóre sufity zamienimy na podłogi?

Zadanie 3

Spróbuj udowodnić przez indukcję nierówność \(\sum_{k=1}^n 1/k^2\le 2\). Jeśli nie wychodzi, to spróbuj wzmocnić tezę.

Zadanie 4

Rozwiązania poniższych zadań to proste procedury operujące na liczbach całkowitych.
Dla każdej procedury rekurencyjnej podaj jej specyfikację, tj. warunek wstępny i końcowy,
oraz uzasadnij jej poprawność.
Poprawność procedur rekurencyjnych można pokazać przez indukcję.

1. Stopień parzystości liczby całkowitej \(x\), to największa taka liczba naturalna \(i\), że \(x\) dzieli się przez \(2^i\).
   Liczby nieparzyste mają stopień parzystości 0, liczby 2 i -6 mają stopień parzystości 1,
   a liczby 4 i 12 mają stopień parzystości 2.