Zadanie 1

Wyrazić przez podłogi i sufity moc zbioru $\mathbb{Z}\cap[a,b]$, $\mathbb{Z}\cap[a,b)$, $\mathbb{Z}\cap(a,b]$, $\mathbb{Z}\cap(a,b)$, dla dowolnych rzeczywistych a, b.

Zadanie 2

Czy dla każdego rzeczywistego $x\ge 1$ zachodzi równość $\lceil\lg\lceil x\rceil\rceil = \lceil\lg x\rceil$? Co jeśli wszystkie/niektóre sufity zamienimy na podłogi?

Zadanie 3

Spróbuj udowodnić przez indukcję nierówność $\sum_{k=1}^n 1/k^2\le 2$. Jeśli nie wychodzi, to spróbuj wzmocnić tezę.

Zadanie 4

Udowodnij przez indukcję dolne oszacowanie dla liczb harmonicznych: $H_{2^n}\ge \frac{n}{2}+1$.

Zadanie 5

Udowodnij przez indukcję nierówność Bernoulli'ego:
$$1+nh\le (1+h)^n\ ,$$
która zachodzi dla rzeczywistego $h\ge-1$ i naturalnego $n$.

Zadanie 6

Do problemu wież z Hanoi dokładamy dodatkowe ograniczenie: nie wolno przekładać krążka bezpośrednio między słupkami A i C. Ile teraz potrzeba ruchów? W oryginalnym problemie pojawia się $2^n$ konfiguracji krążków na słupkach, podczas gdy wszystkich jest $3^n$. Jak rozpoznać, czy dana konfiguracja wystąpi podczas przekładania krążków w oryginalnym problemie?