Zadanie 1

Znajdź minimalny zbiór generatorów grupy S_n.

Zadanie 2

Opisz wszystkie grupy rzędów 1,...,7.

Zadanie 3

Udowodnij, że grupa A₄ nie zawiera podgrupy rzędu 6.

Zadanie 4

Rozstrzygnij, czy grupa S₄ zawiera podgrupę
(a) Z₂⊕Z₃
(b) Z₂⊕Z₄

Zadanie 5

Podaj liczbę elementów każdego rzędu w grupie Z₄⊕Z₁₀.

Zadanie 6

Znajdź rząd podgrupy S_n generowanej przez n-cykle.

Zadanie 1

Oblicz, na ile sposobów można zapisać liczbę naturalną n jako sumę k nieujemnych całkowitych składników, gdzie rozkłady \(n=s_1+\cdots+s_k\) i \(n=t_1+\cdots+t_k\) są różne, gdy \(s_i\ne t_i\) dla pewnego \(1\le i\le k\).

Zadanie 2

Niech n będzie liczbą naturalną. Znajdź liczbę rozwiązań równania
\[
x_1+2\cdot x_2+2\cdot x_3 = n
\]
w~liczbach naturalnych \(x_1,x_2,x_3\).

Zadanie 3