Motywacja i definicja zmiennej losowej

Motywacja

Dotychczas nie nakładaliśmy żadnych warunków na to jak wyglądają elementy \(\Omega\). Mogły to być pary liczb, słonie, czy słowa TAK i NIE. Nie miało to dla nas większego znaczenia. Wyobraźmy sobie jednak, że chcemy obliczyć średnią sumę oczek z dwóch kostek albo wykonać histogram wagi słonia. Jak zinterpretować te zadania w obrębie naszej teorii?

Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną \(X \sim \textrm{Binom}(n,p)\). Niech \(K = \lfloor (n+1)p \rfloor\). Pokazać, że \( P(X=k) \) jest funkcją niemalejącą dla \(k \le K\), oraz malejącą dla \(k \ge K\).

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną \(X \sim \textrm{Pois}(\lambda) \). Niech \(K = \lfloor \lambda \rfloor\). Pokazać, że \( P(X=k) \) jest funkcją rosnącą dla \( k \le K\), oraz malejącą dla \(k \ge K\).