Motywacja i definicja zmiennej losowej

Motywacja

Dotychczas nie nakładaliśmy żadnych warunków na to jak wyglądają elementy $\Omega$. Mogły to być pary liczb, słonie, czy słowa TAK i NIE. Nie miało to dla nas większego znaczenia. Wyobraźmy sobie jednak, że chcemy obliczyć średnią sumę oczek z dwóch kostek albo wykonać histogram wagi słonia. Jak zinterpretować te zadania w obrębie naszej teorii?

Rozkład dwumianowy i Poissona

Zadanie 1 (Kształt rozkładu dwumianowego)

Rozważmy zmienną $X \sim \textrm{Binom}(n,p)$. Niech $K = \lfloor (n+1)p \rfloor$. Pokazać, że $P(X=k)$ jest funkcją niemalejącą dla $k \le K$, oraz malejącą dla $k \ge K$.

Zadanie 2 (Kształt rozkładu Poissona)

Rozważmy zmienną $X \sim \textrm{Pois}(\lambda)$. Niech $K = \lfloor \lambda \rfloor$. Pokazać, że $P(X=k)$ jest funkcją rosnącą dla $k \le K$, oraz malejącą dla $k \ge K$.