Logikę można rozumieć jako naukę zajmującą się rozumowaniem. Dotyczy to całego spektrum zagadnień, od zagadki z gazety, aż po analizę pojęcia prawdy w ogólności.
W życiu codziennym używamy logiki, by w ścisły sposób opisać problemy i zagadnienia z którymi się spotykamy. Z pomocą przychodzi tutaj rachunek zdań, logika intuicjonistyczna, czy różnorodne systemy dowodzenia. Zdefiniowane w logice reguły używane są powszechnie, często podświadomie, przez rodziców w dyskusjach z dzieckiem, detektywów, prawników, fizyków, czy wreszcie matematyków. Niektóre związki logiki z życiem codziennym są wymienione w rozdziale Przykłady z życia codziennego.
Oprócz życia codziennego, logika analizuje głębokie pytania dotyczące wnioskowania i prawdy jako takiej. Rozważane są między innymi takie pytania:
- Czym jest prawda?
- Jak poznawać prawdę?
- Jak formułować myśli w jednoznaczny (ścisły) sposób?
- Czy prawdę zawsze można znaleźć?
Intuicja mówiąca, że powyższe pytania to filozofia, jest dobra, gdyż korzenie logiki i filozofii są wspólne. Sięgają one czasów starożytnych i prac Arystotelesa. Dopiero na przełomie XIX i XX wieku wyodrębniła się z ogółu filozofii odrębna dziedzina: Logika Matematyczna. To właśnie jej jest poświęcone to opracowanie.
W logice matematycznej, opisane powyżej pytania nabierają ścisłego i precyzyjnego znaczenia. Oprócz sformułowania pytań, pokazane są metody w jaki sposób szukać odpowiedzi i czym jest odpowiedź. Jako przykład, można podać słynne twierdzenie Goedla o niezupełności z 1931 roku, które w pewnym sensie odpowiada na ostatnie pytanie. W uproszczeniu mówi ono tyle:
- W każdym systemie logicznym istnieje zdanie, którego nie można ani obalić, ani udowodnić.
Czyli pytanie postaci Czy prawdą jest, że ...? nie zawsze ma odpowiedź.
Z drugiej strony są twierdzenia pozytywne, na przykład twierdzenie Goedla o pełności (znów w dużym uproszczeniu):
- Jeśli coś jest prawdą powszechną, to można to bezpośrednio udowodnić.
Wbrew pierwszej intuicji, przytoczone powyżej twierdzenia nie są sprzeczne. Dokładniej zagadnienia te są opisane w rozdziale Logika współczesna.