Praktyka pracy matematyka

Poniżej zaprezentowane są przykładowe błędne rozumowania. Nie chodzi tu bynajmniej o pomyłki obliczeniowe, czy literówki, tylko o błędy logiczne, w strukturze rozumowania. Prezentowane przykłady dotyczą arytmetyki liczb, gdyż jest to prosta i znana większości czytelników dziedzina. Jednak błędy można popełnić też w innych działach!

a = b

Weźmy dowolne liczby a,b. Pokażemy że a = b.

1. Rozważmy liczbę c, taką by a = b + c. Taka liczba istnieje, jest nią c = a − b.
2. Pomnóżmy obie strony równania a = b + c przez (a − b).
3. Otrzymujemy a² − ab = ab − b² + ac − bc.
4. Składnik ac odejmujemy od obu stron, otrzymując a² − ab − ac = ab − b² − bc.
5. Wyciągamy co się da przed nawias: a(a − b − c) = b(a − b − c).
6. Dzielimy obie strony przez a − b − c.
7. Otrzymujemy a = b.

Oczywiście powyższe rozumowanie zawiera błąd. Ale w którym miejscu?

Błąd znajduje się w kroku 6. Dzielimy tam obie strony równości przez pewną liczbę, ale nie sprawdziliśmy, czy ta liczba jest różna od 0. A akurat w tym przypadku a − b − c = 0, bo a = b + c. Czyli powyżej, z faktu że \(a\cdot 0=b\cdot 0\), wywnioskowane zostało że a = b. A tak byś nie musi, bo nawet dla \(a\neq b\), zawsze \(a\cdot 0 = 0 = b\cdot 0\).

1 = 2

Pokażemy, że 1 = 2.

1. Oczywiście − 2 = − 2.
2. Czyli 1 − 3 = 4 − 6, rozpisując obie strony równości.
3. Teraz dodajmy do obu stron \(\frac{9}{4}\), otrzymując \(1-3+\frac{9}{4}=4-6+\frac{9}{4}\).
4. Przepiszmy obie strony równości równoważnie \(1^2-2\cdot 1\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2=2^2-2\cdot 2\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2\).
5. Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy i otrzymujemy \(\left(1-\frac{3}{2}\right)^2=\left(2-\frac{3}{2}\right)^2\).
6. Więc \(1-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}\).
7. Dodajemy stronami \(\frac{3}{2}\).
8. Otrzymujemy 1 = 2.

Wyjaśnienie:

W kroku 6 skasowaliśmy podniesienie do kwadratu po obu stronach równości \(\left(1-\frac{3}{2}\right)^2=\left(2-\frac{3}{2}\right)^2\). Jednak w tym przypadku wartość pierwszego z nawiasów to liczba ujemna! Więc powinniśmy otrzymać \(\frac{3}{2}-1=2-\frac{3}{2}\), zamiast \(1-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}\).

Powyższy błąd można zilustrować przykładem równości ( − 2)² = 4 = 2². Gdy teraz przepiszemy obie strony, pomijając podniesienie do kwadratu, otrzymujemy fałszywą równość − 2 = 2. Aby móc 'spierwiastkować' obie strony, trzeba dopisać na koniec wartość bezwzględną: | − 2 | = | 2 | .

Weryfikacja dowodu

W kontekście powyższych spostrzeżeń, można spytać, skąd wiadomo, czy dowód jest poprawny? A może pewien krok rozumowania, który został tylko zasygnalizowany przez autora, jest w istocie fałszywy i nie daje się go uzupełnić w punktach? Istotnie tak może się zdarzyć, są dwie metody by tego uniknąć:

• Każdy dowód, zanim zostanie powszechnie zaakceptowany, jest czytany przez innych matematyków. Każdy z nich we własnym zakresie uzupełnia wszystkie kroki pośrednie i wyobraża sobie jak wyglądałby idealnie ścisły dowód, rozpisany w punktach. Jeśli wszyscy oni się zgodzą, że dowód jest poprawny, a pozostawione do uzupełnienia kroki są proste, dowód zostanie zaakceptowany. Jeśli natomiast ktoś ma wątpliwości, może prosić autora o uzupełnienie dowodu o jakieś dodatkowe rozumowanie, które wyjaśni wszelkie wątpliwości.
• Jeśli matematyk chce mieć absolutną pewność, że jego rozumowanie jest kompletne i poprawne, zawsze może rozpisać dowód w punktach, tak jak to było opisane powyżej. Wtedy sprawdzenie czy nie ma tam błędów, wymaga tylko weryfikacji czy każdy krok rozumowania jest logicznie poprawny. By to zrobić, nie trzeba rozumieć o czym dowód mówi, wystarczy tylko znać prawa logiki.

Są dostępne pewne programy komputerowe, które mogą wykonać weryfikację opisaną w powyższym punkcie. Użycie takiego programu wymaga następujących czynności:

1. Matematyk wymyśla dowód twierdzenia.
2. Matematyk zapisuje ten dowód, łącznie ze wszystkimi najdrobniejszymi szczegółami, sprowadzając każdy krok do poprzednich, lub powszechnie znanych twierdzeń. Dowód taki zostaje zapisany w pliku tekstowym, z użyciem specjalnej notacji zrozumiałej dla komputera.
3. Program weryfikujący czyta zapisany w pliku dowód i sprawdza, czy każdy krok wynika z poprzednich. Używa w tym celu kilku prostych reguł logicznych.
4. Jeśli wszystkie kroki dowodu są poprawne z formalnego punktu widzenia, cały dowód jest poprawny i program zwraca wynik 'DOWÓD POPRAWNY'. W przeciwnym przypadku, program wskazuje konkretny krok rozumowania, w którym matematyk popełnił błąd.
5. Często okazuje się, że taki błąd nie wynika z fałszywego rozumowania. Zazwyczaj powstaje on w trakcie notowania dowodu, na skutek literówki, lub przeskoczenia jakiś prostych etapów rozumowania. W takim przypadku matematyk uzupełnia i poprawia dowód i powraca do punktu 3).